DRGANIA - STUDIA ZAOCZNE 2013/2014 Przydział zadań

DRGANIA - STUDIA ZAOCZNE 2013/2014
Przydział zadań domowych
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Imię
Nazwisko
Ikemesi
Zdzisław
Michał
Arkadiusz
Tomasz
Paweł
Andrzej
Paulina
Łukasz
Nadia
Maciej
Aneta
Łukasz
Piotr
Rafał
Anna
Maciej
Paweł
Lidia
Łukasz
Łukasz
Piotr
Jarosłąw
Łukasz
Natalia
Iwo
Dominik
Mikołaj
Paweł
Michał
Piotr
Sylwia
Sandra
Dominik
Konrad
Paweł
Akpan
Banik
Bartyś
Brygoła
Cergowski
Chabracki
CięŜkowski
Dolińska
Dzierzbiński
Fedak
Gaweł
Gienibor
Jaros
Kamiński
Kaźmierski
Kilanowska
Kłos
Kolek
Kraska
Krzyszycha
Kwaśnik
Lech
Łudzień
Majczyn
Malicka
Malinowski
Matyjek
Niegowski
Pionka
Piotrowski
Przybyłowski
Puchalska
Roćko
Sawicki
Stańczuk
Stojak
Imię
Zadanie
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
60.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
-1-
Damian
Tomasz
Mateusz
Konrad
Arnold
Michał
Karolina
Sylwester
Adrian
Łukasz
Kamil
Przemysław
Miron
Pawł
Mariusz
Malwina
Jacek
Bartłomiej
Jacek
Krzysztof
Maciej
Paweł
Marek
Tomasz
Kamil
Krzysztof
Nazwisko
Stokarski
Strójwąs
Strzałkowski
Suchecki
Susłowski
Sylwesiuk
Szymańska
Tkacz
Tuzimek
Wyzgał
Zawisza
Baran
Geratowski
Głąb
Górski
Grudzień
Holak
Komuda
Leśko
Łukomski
Michalak
Ruszniak
Skrobarczyk
Utrata
Wasilewski
Włodarczyk
Zadanie
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
ZADANIE DOMOWE Z DRGAŃ
Wyznaczyć częstości i postacie małych drgań własnych mechanizmu płaskiego składającego
się z dwu ciał:
- belki o długości a+b lub krąŜka o promieniu r ,
- masy skupionej M przymocowanej do niewaŜkiego pręta o długości c+d.
Masy belki lub krąŜka są równe m. Belka lub krąŜek są połączone z prętem za pomocą
przegubu płaskiego. Do obu elementów dołączone są spręŜyny liniowe o stałych spręŜystości
k1, k2. CięŜary elementów pomijamy (g = 0).
Dane: (przykład) Jacek (5 liter) Kowalski (8 liter) , numer indeksu 123456
m = 5 = 5 kg
M = 8 = 8 kg
a = 0.3 + 0.2*1 = 0.5 m
b = 0.2 + 0.1*2 = 0.4 m
c = 0.4 + 0.1*3 = 0.7 m
d = 0.1 + 0.2*4 = 0.9 m
r = 0.1 + 0.5*1 = 0.6 m
k1 = 1000 * (1+ 0.1*5) = 1500 N/m
k2 = 500 * (1+ 0.2*6) = 1100 N/m
-2-
Schemat rozwiązania
1. Wybrać współrzędne uogólnione.
2. Narysować mechanizm w pozycji lekko odchylonej od połoŜenia równowagi.
3. Narysować kartezjański układ współrzędnych.
Obliczenie energii kinetycznej
4. Obliczyć moment bezwładności ciała poruszającego się ruchem obrotowym (belki lub
krąŜka). W razie potrzeby skorzystać z twierdzenia Steinera.
5. Wyprowadzić wzór na energię kinetyczną dla belki lub krąŜka.
6. Wyznaczyć promień-wektor masy skupionej jako funkcję współrzędnych uogólnionych.
7. Zlinearyzować promień-wektor: sin(α) ~ α, cos(α) ~ 1 .
8. Wyznaczyć wektor prędkości masy skupionej jako pochodną promienia-wektora.
9. Wyprowadzić wzór na energię kinetyczną dla masy punktowej.
10. Wyznaczyć całkowitą energię kinetyczną układu ciał.
Obliczenie energii potencjalnej
11. Narysować układ z rozciągniętym spręŜynami. ZałoŜyć niewielkie wydłuŜenia spręŜyn
wzdłuŜ ich kierunku (pominąć przemieszczenia boczne końców spręŜyn).
12. Wyprowadzić wzory na energię potencjalną obu spręŜyn w postaci funkcji współrzędnych
uogólnionych.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
UłoŜenie równań ruchu
Obliczyć pochodne całkowitej energii kinetycznej względem prędkości uogólnionych.
Obliczyć pochodne całkowitej energii kinetycznej względem współrzędnych uogólnionych.
Obliczyć pochodne względem czasu pochodnych energii kinetycznej względem prędkości
uogólnionych.
Obliczyć pochodne energii potencjalnej względem współrzędnych uogólnionych.
UłoŜyć równania ruchu.
JeŜeli to konieczne, to zlinearyzować równania ruchu: odrzucić iloczyny α⋅α ~ 0, itd.
Wyznaczenie częstości i postaci drgań mechanizmu
19. Napisać równanie charakterystyczne układu.
20. Obliczyć parametry zadania na podstawie liczb liter imienia i nazwiska oraz numeru
indeksu według podanego wzoru.
21. Wyznaczyć częstości drgań własnych układu.
22. Wyznaczyć postacie drgań własnych układu i narysować je.
UWAGA! Zadanie wykonujemy na liczbach ogólnych aŜ do uzyskania równań ruchu!
-3-
UWAGA! Rysunki pokazują mechanizmy w połoŜeniach równowagi!
ZADANIE „A”
ZADANIE „B”
M
k1
m, r
d
k1
O
a
O
b
A
A
m
c
c
k2
d
k2
M
ZADANIE „D”
ZADANIE „C”
m, r
k1
k1
O
a
b
A
O
m
c
k2
A
c
d
k2
d
M
M
-4-
ZADANIE „E”
ZADANIE „F”
m, r
k1
a
A
O
b
O
A
m
c
d
c
k2
k2
k1
d
M
Legenda
- belka o masie m i długości a + b,
- krąŜek o masie m i promieniu r,
- masa skupiona (punktowa) M,
- pręt niewaŜki o długości c + d,
- przegub płaski (oś) (O, A) ,
- spręŜyna liniowa (k1, k2)
-5-
M