Matematyka Dyskretna 10/2008 1. W pewnym małym zakładzie

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Matematyka Dyskretna 10/2008
1. W pewnym małym zakładzie produkcyjnym jest pięć stanowisk pracy, z których każde wymaga
innych umiejętności. Wyszkolenie pracownika do obsługi jednego stanowiska kosztuje 1000 zł. Jaką
minimalną kwotę należy wydać na szkolenie 8 pracowników, aby przy absencji dowolnych trzech z
nich, produkcję można było prowadzić bez zakłóceń (tzn., aby wszystkie stanowiska pracy mogły być
obsadzone pracownikami wyszkolonymi do ich obsługi).
2. Obszar 10 hektarów przeznaczony na osiedle domków jednorodzinnych został podzielony na dwa
różne sposoby (przez dwóch różnych geodetów) na sto działek po tysiąc m2 każda. Udowodnić, że na
tym obszarze można zasadzić 100 drzewek tak, żeby na każdej działce było posadzone jedno drzewo,
niezależnie od tego, który z podziałów byłby potem wybrany.
3. Skończony zbiór X jest podzielony na n zbiorów jednakowej mocy na dwa sposoby:
X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn = Y1 ∪ Y2 ∪ . . . ∪ Yn .
Pokazać, że istnieją różne elementy x1 , x2 , . . . , xn , które należą do różnych zbiorów w obu podziałach.
4. Która z rodzin zbiorów A = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 } ma własność Halla (tzn. dowolne k zbiorów
tej rodziny zawiera co najmniej k elementów), jeśli:
a) A1 = {1, 3}, A2 = {2, 3}, A3 = {1, 3, 4, 5}, A4 = {2, 4, 6, 7}, A5 = {1, 5}, A6 = {1, 2};
b) A1 = {1, 2, 3}, A2 = {2, 3}, A3 = {3, 5, 7}, A4 = {1, 2}, A5 = {1, 2, 3}, A6 = {4, 5, 6};
c) A1 = {1, 2}, A2 = {1, 2, 4}, A3 = {1, 2, 3}, A4 = {1, 3}, A5 = {4, 5, 6}, A6 = {1, 2, 5};
d) A1 = {1, 3, 5}, A2 = {1, 3}, A3 = {1, 5}, A4 = {1, 2, 3, 4, 5}, A5 = {3, 5}, A6 = {2, 4, 6, 7}.
5. Transwersalą rodziny niekoniecznie różnych podzbiorów A = {A1 , A2 , . . . , An } pewnego zbiory
X nazywamy zbiór n różnych elementów, wybranych po jednym elemencie z każdego zbioru Ai . Ile
różnych transwersali ma rodzina
({1, 2}, {2, 3}), {3, 4}, . . . , {50, 1}).
6. Załóżmy, że rodzina n zbiorów spełnia warunek Halla i każdy zbiór ma co najmniej k elementów.
Udowodnić, że jeśli k 6 n, to ta rodzina ma co najmniej k! różnych transwersali, jeśli natomiast
k!
k > m, to liczba różnych transwersali tej rodziny jest nie mniejsza niż (k−m)!
.
7. Podać przykład prostokąta łacińskiego wymiaru 5 × 8 i kwadratu łacińskiego 6 × 6.
8. Na ile różnych sposobów można rozszerzyć poniższy prostokąt łaciński 2×5 do kwadratu łacińskiego
5 × 5:
!
1 2 3 4 5
.
5 3 1 2 4
9. Udowodnić, że jeśli m < n, to prostokąt łaciński o wymiarach m×n można rozszerzyć do prostokąta
łacińskiego o wymiarach (m + 1) × n na co najmniej (n − m)!.
Przygotował: Cz. Bagiński