Topologia ogólna MAP1219 Lista 6

Topologia ogólna MAP1219
Lista 6
1. Udowodnić równoważność warunków:
(a) X jest spójna,
(b) jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są X i zbiór pusty,
(c) żadna funkcja ciągłą f : X → {0, 1} (z topologią dyskretną) nie jest surjekcją.
2. Udowodnić, że jeśli A jest rodziną zbiorów spójnych, taką że każde dwa elementy
mają niepusty przekrój, to suma wszystkich elementów A jest spójna.
(W szczególności wynika stąd twierdzenie z wykładu mówiące, że suma zbiorów spójnych mających punkt wspólny jest spójna.)
3. Udowodnić, że jeśli każde dwa punkty przestrzeni dają się w niej połączyć zbiorem
spójnym (tzn. istnieje zbiór spójny, do którego te punkty należą), to ta przestrzeń
jest spójna.
4. Udowodnić, że jeśli przestrzenie X i Y są spójne, to produkt X × Y jest spójny.
Uwaga: Mieliśmy oczywiście na wykłądzie ogólniejsze twierdzenie, ale dla dwóch przestrzeni dowód jest prostszy.
5. Wykorzystując pojęcie spójności udowodnić, że odcinki [0, 1], [0, 1), (0, 1) nie są homeomorficzne.
6. Udowodnić, że przestrzenie metryczne spójne o mocy większej od 1 muszą być mocy
przynajmniej continuum.
Wskazówka: Metryczność jest ważna!
7. Niech B będzie przeliczalnym podzbiorem przestrzeni Rn , gdzie n > 1. Udowodnić,
że wtedy Rn \ B jest zbiorem spójnym.
Wskazówka: wykorzystać łukową spójność lub fakt, że suma zbiorów spójnych, mających w przekroju wspólny punkt, jest zbiorem spójnym.
8. Wywnioskować z poprzedniego zadania, że przestrzeń R nie może być homeomorficzna z Rn dla n > 1.