Matematyka II - Lekcja Funkcje wielu zmiennych

gdzie
punkt wewnętrzny
Definicja pochodnej cząstkowej
JeŜeli iloraz
ma granicę dla
to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji
względem
w punkcie
.
Oznaczenia:
Pochodną cząstkową funkcji
względem
w punkcie
nazywamy granicę (o ile ona istnieje)
Oznaczenia:
Sposób liczenia
Pochodną
w punkcie
traktując przy jej obliczaniu
liczymy tak jak pochodną funkcji jednej zmiennej
jako stały parametr. Podobnie liczymy pochodną po y.
Pochodne funkcji jednej zmiennej dla odróŜnienia od pochodnych cząstkowych nazywamy zwyczajnymi.
Dla pochodnych cząstkowych mają miejsce podobne twierdzenia dotyczące pochodnej sumy,
róŜnicy funkcji, iloczynu funkcji i ilorazu jak dla pochodnych zwyczajnych.
I tak na przykład
i tak dalej.
Interpretacja geometryczna
Niech równanie
przedstawia powierzchnię w przestrzeni
.
1z8
Pochodna cząstkowa
jest pochodną funkcji jednej zmiennej
,
a więc współczynnikiem kątowym stycznej w punkcie
do krzywej, opisanej przez parę
równań:
,
czyli przekroju danej powierzchni płaszczyzną
Oznacza to, Ŝe
, gdzie
krzywej
równoległą do osi
w punkcie
.
jest kątem jaki tworzy z osią równoległą do osi
. Podobnie
, gdzie
prosta styczna do krzywej
w punkcie
styczna do
jest kątem jaki tworzy z osią
.
Uwaga
Pojęcie pochodnej cząstkowej mozna uogólnic na funkcje dowolnej liczby zmiennych. JeŜeli
to
Pochodne wyŜszych rzędów
Niech funkcja
gdzie
pewnego otwartego zbioru
JeŜeli funkcja ta ma pochodną
ma pochodną cząstkową
Wtedy dla
określona jest funkcja
dla pewnego
pochodną drugiego rzędu albo drugą pochodną funkcji
W przypadku gdy
we wszystkich punktach
i
względem
to pochodną tę nazywamy
i
i oznaczamy przez
pochodne te zapisujemy jako
2z8
Pochodne drugiego rzędu
w przypadku gdy
nazywamy mieszanymi.
a wtedy
i
W podobny sposób (pochodne trzeciego rzędu to pochodne pochodnych drugiego rzędu itd.)
wprowadza się pochodne wyŜszych rzędów.
Twierdzenie o równości pochodnych mieszanych
JeŜeli pochodne
i
są ciągłe w otoczeniu punktu
to
Twierdzenie o przyrostach skończonych
JeŜeli funkcja
, gdzie
jest zbiorem otwartym, ma pochodne ciągłe w otoczeniu punktu
, to dla kaŜdego punktu
naleŜącego do tego otoczenia istnieje taka
, Ŝe
RóŜniczka funkcji
Niech
będzie zbiorem z
punkty
jego punktem wewnętrznym. Będziemy rozpatrywać
z otoczenia punktu
róŜniczkowalna w punkcie
w punkcie
,a
zawartego w
. Funkcja
nazywa się
, jeŜeli funkcja ta ma wszystkie pochodne pierwszego rzędu
i istnieje funkcja rzeczywista
określona dla rozpatrywanych punktów
taka, Ŝe
przy czym
Warunek wystarczający rózniczkowalności
JeŜeli funkcja
ma w pewnym otoczeniu punktu
pochodne cząstkowe
i pochodne
3z8
te są ciągłe, to funkcja jest w tym punkcie róŜniczkowalna.
Definicja gradientu
Gradientem funkcji róŜniczkowalnej
w punkcie
nazywamy wektor
Piszemy
Definicja róŜniczki
Funkcja nazywa się róŜniczkowalna na zbiorze jeŜeli jest róŜniczkowalna w kaŜdym punkcie tego
zbioru.
WyraŜenie
(tzw. liniowa część przyrostu funkcji ) nazywa się róŜniczką funkcji
oznaczamy przez
. RóŜniczkę tę
i piszemy
gdzie
JeŜeli funkcja
w punkcie
.
jest róŜniczkowalna w punkcie
przybliŜonej wartości
i odległość
jest mała, to do obliczenia
stosuje się często wzór
Przykład. ZałóŜmy, Ŝe chcemy obliczyć przybliŜoną wartość wyraŜenia
Pochodna kierunkowa
Niech dana będzie funkcja
wektor
niech punkt
będzie taki, Ŝe
będzie punktem wewnętrznym i niech
(wektor taki nazywamy wersorem). JeŜeli istnieje
skończona granica
(1)
to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji
Pochodną tę oznaczamy przez
w kierunku wektora
w punkcie
.
4z8
Twierdzenie
JeŜeli funkcja
jest róŜniczkowalna w punkcie
istnieje pochodna kierunkowa w punkcie
i pochodne są ciągłe, to dla dowolnego kierunku
i moŜna ją przedstawić w postaci
Przykład. Znaleźć pochodną kierunkową funkcji
Mamy tu
w punkcie
w kierunku
więc
Komentarz. Jak wiemy wektor
nazywamy gradientem funkcji
w punkcie
i oznaczamy symbolem
moŜemy teraz zapisać jako iloczyn skalarny wektorów
i
Z własności iloczynu skalarnego wynika, Ŝe pochodna kierunkowa
największą, gdy wektor
. Prawą stronę wzoru
jest zgodnie równoległy z wektorem
w punkcie
osiąga wartość
i ma wartość najmniejszą, gdy
wektory te są przeciwnie równoległe. Pochodna kierunkowa jest miarą wzrostu wartości funkcji
punkcie
w kierunku wersora
Wektory
wzrostu i najszybszego spadku funkcji
w punkcie
i
w
wskazują kierunki najszybszego
.
Ekstrema lokalne
Niech dana będzie funkcja
, gdzie
. Niech
będzie punktem wewnętrznym zbioru
.
5z8
Mówimy, Ŝe funkcja
osiąga w punkcie
punktu, Ŝe dla punktów
maksimum lokalne, jeŜeli istnieje takie otoczenie tego
z tego otoczenia
.
JeŜeli istnieje otoczenie, w którym
punkcie
, to mówimy, Ŝe funkcja osiąga minimum lokalne w
.
Warunek konieczny istnienia ekstremum
JeŜeli funkcja
ma ciągłe pochodne w punkcie wewnętrznym
i w punkcie tym osiąga lokalne
ekstremum, to
Punkt
, w którym spełnione są warunki nazywa się punktem stacjonarnym.
JeŜeli funkcja ma ciągłe pochodne w zbiorze otwartym, to moŜe ona osiągać ekstremum jedynie w
punktach stacjonarnych.
Nie zawsze w punkcie stacjonarnym osiągane jest ekstremum (podany wyŜej warunek to warunek
konieczny, a nie dostateczny).
Przykład: funkcja
ekstremum (
z
w
, taka, Ŝe
nie osiąga w punkcie
, w I i II ćwiartce układu współrzędnych wartości funkcji są dodatnie, a w III i IV ujemne),
chociaŜ obie pochodne w tym punkcie są równe zero, a więc punkt ten jest stacjonarny.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji 2 zmiennych
Niech funkcja dwóch zmiennych
ma ciągłe pochodne do drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu
i
6z8
Wprowadźmy w tym otoczeniu funkcję
JeŜeli
, to funkcja
taką, Ŝe
ma w punkcie
ekstremum lokalne właściwe:
maksimum, gdy
a minimum, gdy
JeŜeli
.
, to funkcja
W przypadku gdy
nie osiąga ekstremum w punkcie
.
twierdzenie nie rozstrzyga czy w punkcie
mamy ekstremum.
Uwagi na temat przybliŜonego szukania ekstremów
Znajdowanie wartości ekstremalnych (lokalnych i globalnych) funkcji jest jednym z najwaŜniejszych
zastosowań rachunku róŜniczkowego. Przedstawione wyŜej podejście analityczne do tego problemu moŜe
być stosowane jedynie do dostatecznie prostych funkcji.
Obecnie rozwaŜymy zagadnienie znajdowania wartości ekstremalnych w przypadku gdy złoŜoność
funkcji uniemoŜliwia podejście analityczne i musimy zastosować metodę przybliŜoną. Wśród duŜego
bogactwa takich metod wyróŜnia się metoda gradientowa. Rozpatrzymy działanie tej metody na
przykładzie funkcji dwóch zmiennych przyjmując, Ŝe poszukujemy minimum (w podobny sposób
poszukuje się.maksimum)
Przesłanki teoretyczne metody są następujące. ZałóŜmy, Ŝe funkcja ma minimum w punkcie .
RozwaŜmy warstwicę funkcji
znajdującą się w pewnym otoczeniu punktu
i niech
będzie punktem
tej warstwicy.
Wektor
wskazuje kierunek najszybszego spadku wartości funkcji
Kierunek ten moŜe być uznany jako właściwy przy poszukiwaniu punktu
punkcie .
w punkcie
.
gdy znajdujemy się w
W wersji podstawowej przebieg algorytmu poszukiwania punktu minimum jest następujący. Kolejne
przybliŜenia
punktu
wyznaczamy według schematu:
(0) Ustalamy przybliŜenie początkowe
Przyjmujemy
.
7z8
(1) Wyznaczamy kierunek poszukiwań
(2) WzdłuŜ kierunku
w punkcie
wykonujemy krok o długości
i określamy współrzędne następnego
przybliŜenia
(3) Podstawiamy
. Powtarzamy cykl od punktu 1.
Dobór długości kroku
> 0 zaleŜy od wersji stosowanej metody.
8z8