FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH 0 ≥ − + yx yx

1
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
JeŜeli kaŜdemu punktowi (x, y) ze zbioru E
płaszczyzny 0XY przyporządkujemy pewną
liczbę rzeczywistą z, to mówimy, Ŝe na zbiorze E
określona została funkcja z = f(x, y).
Gdy zbiór E nie jest wyraźnie podany,
sprawdzamy dla jakich par (x, y) funkcja
Z = f(x, y) ma sens, np.:
Funkcja
z=x
2
x+ y
x− y
jest określona gdy:
1. pod pierwiastkiem jest liczba nieujemna tj.
x+ y
≥0
x− y
czyli :
(x +y)≥
≥0 i (x -y) ≥0 albo
(x +y)≤
≤0 i (x -y)≤
≤0
2
Pole funkcji
z=x
2
x+ y
x− y
2.wyraŜenie w mianowniku jest róŜne od zera
tj. gdy (x -y)≠
≠0 to x≠
≠y
Def.
Zbiór E to pole funkcji dwóch zmiennych,
inaczej zwany dziedziną funkcji. Jest to część
płaszczyzny.
3
Wykresem funkcji dwóch zmiennych
nazywamy zbiór W punktów w przestrzeni R3
spełniających warunki:
W = (( x, y, z ) : (x, y ) ∈ E ∧ z = f (x, y ))
Jest to zatem pewna powierzchnia w
przestrzeni R3.
Na przykład obrazem geometrycznym
funkcji:
z = x 2 + y 2 , gdzie( x, y ) ∈ R 2
jest powierzchnia zwana paraboloidą
obrotową.
4
Paraboloida
z = x2 + y2
5
Funkcja potęgowa
z = 4 x2 y3
Def.
Rzut prostopadły na płaszczyznę OXY
przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną
równoległą do płaszczyzny OXY nazywamy
warstwicą tej funkcji.
Jak wynika z definicji warstwice funkcji
dwóch zmiennych są pewnymi prostymi lub
krzywymi na płaszczyźnie OXY.
6
7
POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI
z =f(x, y)
Def.
Dana jest funkcja z= f (x, y). Zakładając, Ŝe
jedna ze zmiennych jest ustalona, np. zmienna
y=y0 otrzymujemy w ten sposób funkcję jednej
zmiennej z=f(x, y0). JeŜeli funkcja f(x, y0)
posiada pochodną w punkcie x0, to pochodną tę
nazywamy pochodną cząstkową w punkcie (x0,
y0) funkcji f(x, y) względem zmiennej x i
oznaczamy przez
f
'
x
(x y )
0,
0
δf ( x, y)
lub
δx ( x , y
0
0)
Analogicznie definiujemy pochodną
cząstkową względem zmiennej y f'y(x0, y0)
Analogicznie moŜemy definiować pochodną
pochodnej czyli drugą pochodną. Z tym, Ŝe w
tym przypadku mamy aŜ cztery pochodne
rzędu drugiego:
f´´xx, f´´xy, f´´yx, f´´yy
Przykład:
8
z = x2 y + x − 3y + 6
f ' x = 2 xy + 1
f '' xx = 2 y
f ' y = x2 − 3
f '' yy = 0
f '' xy = 2 x
f '' yx = 2 x
GRADIENT FUNKCJI z= f(x, y)
GRADIENTEM funkcji z nazywamy wektor,
którego składowymi są pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego
 f ' x (x0, y0 ) 
gradf ( x0 , y0 ) =  '

 f y ( x0 , y0 )
W otoczeniu punktu (x0, y0) gradient wskazuje
kierunek w którym funkcja f wzrasta
najszybciej.
Przykład:
WskaŜ kierunek najszybszego przyrostu
wartości funkcji
z = 6 x − 5 xy 3 + x 2
przy (x 0 = 2, y 0 = 1)
9
6 − 5 y 3 + 2 x 
grad f (x, y ) = 

2
 − 15 xy 
6 − 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 
grad f (2,1) = 

15
2
1
−
⋅
⋅


 5 
grad f (2,1) = 

−
30


Elastyczność cząstkowa funkcji z= f(x, y)
Elastyczności cząstkowe funkcji dwóch
zmiennych definiujemy:
x
Ez x = E x f ( x, y ) =
⋅ f ' x ( x, y )
f ( x, y )
10
y
Ez y = E y f (x, y ) =
⋅ f ' y ( x, y )
f ( x, y )
Określamy w ten sposób % wzrost wartości
funkcji z= f(x, y), gdy jedna zmienna
niezaleŜna (x lub y)wzrasta o 1%.
Przykład:
Obliczyć elastyczności cząstkowe funkcji
z = 2x y
2
z x = 4xy
'
3
z y = 6x y
'
2
3
2
stąd
x
Ezx = 2 3 4xy3 = 2
2x y
y
Ezy = 2 3 6x2 y2 = 3
2x y
x2 + y2
Z kolei dla funkcji z = e
pochodne
cząstkowe i elastyczności wynoszą:
11
z x = 2 xe
'
Ez x =
Ez y =
x
e
x2 + y2
y
2
2
2 xe
x2 + y 2
,
z y = 2 ye
x2 + y2
= 2x2
x2 + y2
= 2y2
2 ye
'
x2 + y 2
ex +y
RÓśNICZKA ZUPEŁNA z= f(x, y)
Zakładamy, Ŝe funkcja z= f(x, y) jest
róŜniczkowalna w pewnym obszarze. RóŜniczki
cząstkowe tej funkcji względem zmiennej x i
zmiennej y są określone następującymi wzorami:
d x f ( x, y ) = f ' x ⋅ ∆x oraz d y f ( x, y ) = f ' y ∆y
Jako, Ŝe róŜniczka zmiennej niezaleŜnej jest po
prostu równa przyrostowi tej zmiennej to
powyŜsze wzory moŜna zapisać:
d x f ( x, y ) = f ' x ⋅ dx oraz d y f ( x, y ) = f ' y dy
Sumę róŜniczek cząstkowych nazywamy róŜniczką
zupełną funkcji f(x,y).
12
df ( x, y ) = d x f ( x, y ) + d y f ( x, y ) = f ' x ⋅ dx + f ' y dy
Przykład:
z = 2x 2 + y 3 z
Obliczyć przyrost funkcji
punktu (x0=2, y0=1) przy ∆x=∆y=0,01
∆f ( x , y ) ( x
0 , y0
)
≈ 4x (x
0 , y0
2
∆
x
+
3
y
)
( x0 , y 0 )
⋅ ∆y = 8 ⋅ 0,01 + 3 ⋅ 0,01 = 0,11
Przykład:
W badaniach ekonomicznych stosowana jest tzw
funkcja Cobb-Douglasa
α
D = aM Z
β
D- wielkość wytworzonego dochodu narodowego
M- wielkość produkcyjnego majątku trwałego
funkcjonującego w gospodarce narodowej
Z- wielkość zatrudnienia w produkcji materialnej
a, α, β- parametry (dodatnie)
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego:
∆D
rD =
D
13
poniewaŜ :
D = f (M , Z )
to przyrost zupełny funkcji wynosi:
∆D = DM′ ∆M + DZ′ ∆Z
DM′ = α a M
α −1
Z
β
α β −1
′
DZ = β a M Z
czyli:
∆D = αaM
α −1
β
α
Z ∆M + βaM Z
β −1
stąd średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
∆D αaM α −1 Z β ∆M + βaM α Z β −1 ∆Z
∆M
∆Z
α
β
=
=
+
D
M
Z
aM α Z β
∆Z
14
Uwzględniając inny zapis:
∆M
= rm
M
oznacza średnie tempo wzrostu produkcyjnego
majątku trwałego
∆Z
= rZ
Z
oznacza średnie tempo wzrostu zatrudnienia w
produkcji materialnej
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
rD = α rM + β rZ
Na podstawie funkcji Cobb-Douglasa obliczamy
elastyczność dochodu narodowego względem
produkcyjnego majątku trwałego i zatrudnienia:
EDM =
M
M
⋅ DM′ =
α a M α −1Z β = α
α β
D
aM Z
EDZ =
Z
Z
⋅ DZ′ =
β a M α Z β −1 = β
α β
D
aM Z
15
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
F: D→ Z, D∈R2 i (x, y)∈D
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) maksimum,
jeŜeli istnieje otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla
kaŜdego punktu (x, y) naleŜącego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 ) czyli
(
x − x0 ) + ( y − y 0 )
r > 0 ( x , y )∈D
⇒ f ( x, y ) ≤ f ( x 0 , y 0 )
∨
∧
2
2
≤ r2
Def.
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0,y0) minimum
jeŜeli istnieje otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla
kaŜdego punktu (x, y) naleŜącego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
16
f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) czyli
(
x − x0 ) + ( y − y0 )
r > 0 ( x , y )∈D
⇒ f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 )
∨
∧
2
2
≤ r2
Maksima i minima funkcji to inaczej ekstrema
funkcji.
Tw. [WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA
EKSTREMUM]
JeŜeli funkcja F: D→Z, D∈R2 ma w punkcie
(x0,y0)∈D ekstremum i obie pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu, to pochodne te są w tym
punkcie równe zeru to jest:
f ' x (x0 , y 0 ) = 0 i
f ' y (x0 , y 0 ) = 0
Tw. [WARUNEK WYSTARCZAJACY
ISTNIENIA EKSTREMUM]
ZałóŜmy, Ŝe funkcja f(x, y) ma w otoczeniu punktu
(x0, y0) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu
i oznaczmy:
17
w( x, y ) = f xx ( x, y ) ⋅ f yy ( x, y ) − f xy ( x, y ) ⋅ f yx ( x, y ) =
=
f xx
f xy
f yx
f yy
wyraŜenie W wyróŜnik funkcji f
Zakładamy, Ŝe fx(x0, y0)=fy(x0, y0)=0
10JeŜeli W(x0, y0)>0 i fxx>0 to funkcja ma w
punkcie (x0, y0) minimum.
20JeŜeli W(x0, y0)>0 i fxx<0 to funkcja ma w
punkcie (x0, y0) maksimum
30JeŜeli W(x0, y0)<0 to funkcja nie ma w punkcie
(x0, y0) ekstremum
40JeŜeli W(x0, y0)=0 to funkcja moŜe mieć lub nie
mieć w punkcie (x0, y0) ekstremum
Przykład:
Zbadać ekstrema funkcji
f ( x, y) = -4x 2 − 9 y 2 + 16 x − 54 y − 98
f x′ = −8 x + 16
f y′ = −18 y − 54
f x′ = f y′ = 0
18
− 8 x + 16 = 0
x=2
f xx′′ = −8
− 18 y − 54 = 0
y = -3
f yy′′ = −18
f xy′′ = f yx′′ = 0
W (2,−3) = (− 8)(− 18) − 0 ⋅ 0 = 144 > 0
f xx′′ < 0
czyli funkcja f posiada w tym punkcie (2, -3)
maksimum.
19
W zastosowaniach matematyki do ekonomii
występuje problem wyznaczenia zaleŜności
między wielkościami ekonomicznymi na przykład:
między dochodem narodowym, a inwestycjami,
popytem na dane dobro, a dochodami ludności.
Przez X określimy jedną z wielkości
ekonomicznych, a przez Y drugą oraz załoŜymy,
Ŝe mamy odpowiednie informacje statystyczne o
tych wielkościach w ilości „n” danych.
Metoda najmniejszych kwadratów polega na
wyznaczeniu parametrów funkcji f(x), które
zapewniałyby, Ŝe suma kwadratów S odchyleń
przyjmowała wartość najmniejszą:
n
n
S = ∑ e = ∑ ( y i − f ( xi ))
2
i
i =1
2
i =1
ZałóŜmy, Ŝe zaleŜność między zmiennymi ma
charakter liniowy:
Y = aX + b
Metoda najmniejszych kwadratów pozwala nam na
wyznaczenie parametrów a i b :
n
S = ∑ ( y i − axi − b )
2
i =1
Jest to funkcja dwóch zmiennych a i b
20
Naszym zadaniem jest znalezienie minimum
funkcji dwóch zmiennych.
Pochodne cząstkowe funkcji S(a,b) określonej
wzorem:
n
S = ∑ ( y i − axi − b )
2
i =1
wynoszą:
n
n
i =1
i =1
S a′ (a, b ) = 2∑ ( y i − ax i − b ) ⋅ (− x i ) = −2∑ x i ( y i − ax i − b )
n
n
i =1
i =1
Sb′ (a, b ) = 2∑ ( yi − axi − b ) ⋅ (− 1) = −2∑ ( yi − axi − b )
warunek konieczny na ekstremum przyjmuje
postać układu równań:
n
∑ x (y
i
i
− axi − b ) = 0,
i =1
n
∑ (y
i =1
i
− axi − b ) = 0,
21
po przekształceniach równania przyjmują postać:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
a ∑ xi2 + b∑ xi = ∑ xi y i
n
n
i =1
i =1
a ∑ xi + nb = ∑ y i
co daje rozwiązanie tego układu względem
zmiennych a i b:
a=
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i
 n 
2
n∑ xi −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
n
b=
∑y
i =1
2
n
i
− a ∑ xi
i =1
n
Zakładając, Ŝe:
2


n∑ x −  ∑ xi  ≠ 0
i =1
 i =1 
n
n
2
i
22
funkcja S moŜe mieć ekstremum w punkcie o
współrzędnych określonych wzorami na a ib
Sprawdzimy jeszcze czy funkcja spełnia warunek
dostateczny istnienia ekstremum w tym punkcie:
n
n
i =1
i =1
′′ = 2∑ (− xi )(− xi ) = 2∑ xi2
S aa
n
′′ = 2∑ (− 1)(− 1) = 2n
S bb
i =1
n
n
i =1
i =1
′′ = 2∑ (− 1)(− xi ) = 2∑ xi
S ab
n
n
i =1
i =1
′′ = 2∑ (− xi )(− 1) = 2∑ xi
S ba
WyróŜnik:
2
2
n
n
n






2
2
W (a, b ) = 2∑ xi ⋅ 2n −  2∑ xi  = 4 n∑ xi −  ∑ xi  
i =1
 i =1 
 i =1  
 i =1
n
MoŜna udowodnić, Ŝe jeŜeli xi (i=1, 2, 3, 4,…,n)
23
nie są wszystkie równe, (załoŜenie to w metodzie
najmniejszych kwadratów jest spełnione), to
2


n∑ x −  ∑ xi  > 0
i =1
 i =1 
n
n
2
i
Z tego warunku wynika, Ŝe wyróŜnik jest dodatni
w kaŜdym punkcie (a, b). Jest on funkcją stałą
zmiennych a, b- jest więc dodatni w punkcie o
współrzędnych a, b wyznaczonych MNK. Zatem w
punkcie tym funkcja S ma ekstremum i jest to
′′ (a, b ) > 0 dla kaŜdego punktu (a, b).
minimum ( S aa