Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych

Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach
f FD (E ) =
1
⎛ E − EF
exp⎜⎜
⎝ k BT
⎞
⎟⎟ + 1
⎠
Styczna do krzywej w punkcie fFD(EF)=0,5 przecina oś energii i prostą
fFD(E)=1 w punktach odległych o 2kBT od EF
Pojemność cieplna gazu elektronów swobodnych w metalu
Oszacowanie:
Wzbudzenia termiczne elektronów w
przedziale energii od EF-2kBT do EF+2kBT
Średnio wzrost energii elektronu o 2kBT
Liczba wzbudzonych elektronów nkBT/EF
Wzrost energii wewnętrznej ∆U=2nkB2T2/EF
Pojemność cieplna Ce=d(∆U)/dT=4nkB2T/EF
Wynik obliczeń dokładnych:
Pojemność cieplna Ce=4,93nkB2T/EF
1
Wkłady elektronów swobodnych i drgań sieci krystalicznej do ciepła
właściwego metalu
drgania
atomów
C(T) = γT + βT3
elektrony
swobodne
Wykres C/T w funkcji T2 dla miedzi
Gęstość stanów elektronów
dla pasma przewodnictwa
metalu przejściowego
Przewodność elektryczna metali o różnej koncentracji elektronów walencyjnych
2
Opór elektryczny metali
Rozpraszanie elektronów na
nieregularnościach kryształu:
a) drganiach atomów - fononach,
b) defektach i atomach domieszki.
Opór elektryczny w niskiej temperaturze
dwu próbek potasu o różnej koncentracji
domieszek i defektów sieci
3
Opór elektryczny metali
W wysokiej temperaturze dominuje rozpraszanie
elektronów na drganiach atomów. W opisie
kwantowym mówimy o fononach – falach drgań
sieci krystalicznej.
Przekrój czynny na rozpraszanie jest proporcjonalny
do średniej z kwadratu amplitudy drgań atomów,
która zgodnie z zasadą ekwipartycji energii jest
proporcjonalna do temperatury
k BT
Mω 2
1
Średnia droga swobodna jest Λ = vFτ =
na S
ne 2 Λ
Przewodność elektryczna σ =
∝ T −1
mvF
S ∝ x2 ≈
Zależność od temperatury
oporu elektrycznego metalu
ρ =σ
Oporność właściwa
wzrasta liniowo z temperaturą
−1
∝T
W niskiej temperaturze dominuje rozpraszanie
elektronów na defektach i domieszkach. Przekrój
czynny i średnia droga swobodna nie zależą od
temperatury, zatem oporność nie zmienia się z
temperaturą – oporność resztkowa.
Przewodzenie ciepła przez metale
Strumień energii termicznej jest proporcjonalny
do gradientu temperatury
dT
JQ = −Κ
dx
Współczynnik przewodzenia ciepła elektronów
1
π 2 k B2 nΛ
K = Ce v F Λ =
T
3
3mvF
Przewodność elektryczna σ i współczynnik
przewodzenia ciepła K metalu są powiązane
prawem Wiedemanna-Franza:
2
Zależność od temperatury
współczynnika
przewodzenia ciepła metalu
K π 2 ⎛ kB ⎞
−8
−2
=
⎜ ⎟ = 2,45 × 10 W Ω K
3 ⎝ e ⎠
σT
Prawo to jest potwierdzone doświadczalnie w zakresie
wysokich i niskich temperatur.
W pośrednim zakresie temperatury prawo to nie
obowiązuje, gdyż różne są czasy relaksacji τ=Λ/vF
nierównowagowych rozkładów elektronów wywołanych
przepływem prądu i gradientem temperatury.
4
Zjawisko Halla
W polu magnetycznym o indukcji B na ładunek q
poruszający się z prędkością v działa siła Lorenza
→
→
→
F = q v× B
Stałą Halla RH wyznacza się na
podstawie pomiaru napięcia
Halla UH, natężenia prądu I w
warstwie o grubości d oraz
indukcji magnetycznej B:
RH=UHd/(IB)
Schemat układu doświadczalnego do
pomiaru efektu Halla.
Linie przerywane oznaczają tory, po których
poruszałyby się elektrony n i dziury p w polu
magnetycznym o indukcji B, gdyby nie
pojawiło się napięcie Halla UH.
Jeśli występuje tylko jeden
rodzaj nośników ładunku
(elektrony albo dziury) to
stała Halla jest odwrotnie
proporcjonalna do ich
koncentracji n
RH=1/(ne)
e - ładunek elementarny
Efekt Halla – wyznaczanie znaku i koncentracji nośników
5
Pasma energetyczne w ciałach stałych
Poziomy elektronowe atomów w
cząsteczkach ulegają rozszczepieniu.
W kryształach zjawisko to prowadzi do
wytworzenia się pasm.
Klasyfikacja ciał stałych na podstawie struktury pasmowej
6
Metale, półprzewodniki, izolatory
Model prawie swobodnych elektronów
Energia elektronu
swobodnego
Energia elektronu
w krysztale
jednowymiarowym
o stałej sieci a
Powstawanie fal stojących, gdy spełniony jest warunek Bragga odbicia
funkcji falowej elektronu od struktury periodycznej kryształu.
Fale stojące:
ψ(+) ∝ cos(πx/a)
ψ(-) ∝ sin(πx/a)
Energia potencjalna
elektronu w liniowej sieci
rdzeni jonowych
ψ(+) – elektrony skupione w pobliżu rdzeni jonów – obniżenie energii potencjalnej
ψ(-) – elektrony skupione pomiędzy jonami – zwiększenie energii potencjalnej
7
Energia w funkcji wektora falowego dla elektronów prawie swobodnych
w jednowymiarowym krysztale o odległości a między atomami.
Funkcja E(k) jest nieciągła przy k=pπ/a, |p|=1,2,3...
występują przerwy energetyczne między pasmami dozwolonymi.
Różne sposoby przedstawiania zależności E(k)
Strefa periodyczna
Strefa zredukowana
Strefa rozwinięta
8
Struktura pasmowa i stany obsadzone
Izolator
pasmo walencyjne
całkowicie zapełnione
Metal (półmetal)
przekrywanie się
pasm
Metal
pasmo walencyjne
częściowo zapełnione
Elektron w potencjale periodycznym – funkcja falowa
9
Kształt zależności energii od wektora falowego a masa efektywna
Energia w zależności od wektora
falowego E(k) i pochodne tej
funkcji – zachowanie w pobliżu
granicy strefy Brillouina k=π/a.
a) Szerokie pasma,
wąska lub szeroka przerwa,
mała masa efektywna.
b) Wąskie pasma,
szeroka przerwa energetyczna,
duża masa efektywna.
Masa efektywna m*
1
1 d2E
=
m* h 2 d k 2
Masa efektywna elektronów m*(k) dla jednowymiarowej struktury pasmowej
Silne zakrzywienie pasm Mała krzywizna pasm
mała masa efektywna
duża masa efektywna
W punktach przegięcia zależności E(k) masa efektywna jest nieokreślona
10
Półprzewodniki samoistne
Krzem Si
German Ge
Wafel krzemowy z wytworzonymi
układami scalonymi
Metoda Czochralskiego otrzymywania monokryształów – 1916 r
Jan Czochralski
od 1928 profesor Politechniki Warszawskiej
Monokryształ krzemu o średnicy 10 cm
wyhodowany metodą Czochralskiego
11