20.11.
Transkrypt
20.11.
Rachunek kwantyfikatorów 1 Formy zdaniowe Forma zdaniowa ϕ(x) określona w zbiorze X to wyrażenie, które jest zdaniem, jeśli za x wstawimy dowolny element zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x). 2 Przykłady. • ϕ(x) = „ x2 < 1” , gdzie x ∈ R, ϕ(x) jest zdaniem: – prawdziwym dla x ∈ (−1, 1), – fałszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞); • ϕ(x) = „ x2 > 0” , gdzie x ∈ R, ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R; 3 • ϕ(n) = „ n | 6” (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1, ϕ(n) jest zdaniem: – prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6 – fałszywym dla pozostałych n; • ϕ(n) = „ n = n + 1” , gdzie n ∈ Z, ϕ(n) jest zdaniem fałszywym dla każdego n ∈ Z. 4 Uwaga. Forma zdaniowa określona w zbiorze X pozwala każdemu elementowi tego zbioru przyporządkować zdanie. Możemy więc ją nazwać funkcją zdaniową. Pytanie. Co jest dziedziną, a co zbiorem wartości tej funkcji? 5 Kwantyfikatory Jeśli ϕ(x) jest formą zdaniową określoną w zbiorze X, to możemy rozważyć następujące dwa zdania. 1. Zdanie „Dla każdego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)”, które zapisujemy symbolicznie ∀x∈X ϕ(x). Zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X. 6 2. Zdanie „Istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x)”, które zapisujemy ∃x∈X ϕ(x). Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X. 7 Przykłady: • ∀x∈R x2 < 1 – zdanie fałszywe, ∃x∈R x2 < 1 – zdanie prawdziwe, • ∀x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe, ∃x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe, 8 • ∀n∈N1 n | 6 – zdanie fałszywe, ∃n∈N1 n | 6 – zdanie prawdziwe, • ∀n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe, ∃n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe. 9 Zauważmy, że: – jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) są prawdziwe, – jeśli ϕ(x) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) są fałszywe, – jeśli zbioru zdanie we. ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów X, a fałszywym dla innych elementów tego zbioru, to ∀x∈X ϕ(x) jest fałszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi- 10 Zbiorem spełniania formy zdaniowej ϕ(x), określonej w zbiorze X, nazywamy zbiór wszystkich elementów x ∈ X, dla których ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym. Zauważmy, że: – zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiorem spełniania formy ϕ(x) jest cały zbiór X, – zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór spełniania formy ϕ(x) jest niepusty. Pytanie. Jak należy określić wartość logiczną zdań ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) w przypadku, gdy X jest zbiorem pustym? 11 Symbol „ ∀” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, a symbol „ ∃” nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym. ∀ – for All ∃ – Exists Jeśli zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno określony, to zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) możemy pisać: ∀x ϕ(x), ∃x ϕ(x). 12 W matematyce elementarnej popularne są polskie symbole kwantyfikatorów: V – kwantyfikator ogólny (zamiast ∀), W – kwantyfikator szczegółowy (zamiast ∃). Kwantyfikatory te są uogólnieniami spójników logicznych, gdyż w przypadku zbioru skończonego X mamy: ^ ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn), x∈{x1 ,...,xn } _ ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∨ · · · ∨ ϕ(xn). x∈{x1 ,...,xn } 13 Formy zdaniowe wielu zmiennych Możemy rozważać formy zdaniowe większej liczby zmiennych, np. ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X. Przykłady: • „ x < y”, gdzie x, y ∈ N; • „ x · y = 0”, gdzie x ∈ Z, y ∈ R; • „ A ∈ k”, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych; • „Punkt A leży między punktami B i C”. 14 Rozważmy formę zdaniową ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X. Zdanie ∀x∈X ∀y∈X ϕ(x, y) oznacza, że dla każdego x ∈ X zachodzi to, że dla każdego y ∈ X zachodzi ϕ(x, y). Prościej: „dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y)”, co zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora: ∀x,y∈X ϕ(x, y). 15 Zdanie ∃x∈X ∃y∈X ϕ(x, y) oznacza, że istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, że zachodzi ϕ(x, y). Prościej: „istnieją x, y ∈ X takie, że ϕ(x, y)”, co też zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora: ∃x,y∈X ϕ(x, y). 16 Niech teraz ϕ(x1, . . . , xn) będzie formą zdaniową zmiennych x1, . . . , xn, gdzie x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn. Zdanie „Dla dowolnych x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn (zachodzi) ϕ(x1, . . . , xn)” zapisujemy ∀x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn). Zdanie „Istnieją x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn takie, że ϕ(x1, . . . , xn)”, zapisujemy ∃x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn). 17 Przykład. fałszywe: Które z następujących zdań są prawdziwe, a które ∀x,y∈Z x < y, ∀x,y∈R x · y = y · x, ∃x∈N ∃y∈Z x < y? 18 Niech ϕ(x, y) będzie formą zdaniową zmiennych x ∈ X, y ∈ Y . Zdanie ∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y) oznacza, że istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x, y) zachodzi dla każdego y ∈Y. Zdanie ∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y) oznacza, że dla każdego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , że zachodzi ϕ(x, y). To nie jest to samo! 19 Przykład. fałszywe: Które z następujących zdań są prawdziwe, a które ∀x∈Z ∃y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x · y = 0? 20 Ćwiczenie. Utwórz kilka ciekawych zdań z użyciem kwantyfikatorów ∀, ∃ i form zdaniowych: x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1, gdzie x, y przebiegają zbiory: N, N1, Z, Q, R. Określ prawdziwość utworzonych zdań. 21 Jeśli ϕ(x, y) jest formą zdaniową zmiennych x, y, gdzie x ∈ X, y ∈ Y , to ∀y∈Y ϕ(x, y) i ∃y∈Y ϕ(x, y) są formami zdaniowymi zmiennej x. Mówimy, że w tych wyrażeniach x jest zmienną wolną, a y jest zmienną związaną. Natomiast w wyrażeniach ∀x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y), ∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y), ∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y) i ∃x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y) zmienne x i y są obie zmiennymi związanymi. 22 Przykład. x ∈ Z: Rozważmy następujące funkcje zdaniowe zmiennej 1) ∀y∈N x < y; 3) ∀y∈R x · y = 0; 2) ∃y∈N x < y; 4) ∃y∈Z x · y = 1. Dla jakich wartości x ∈ Z są to zdania prawdziwe? 23 Odpowiedź: 1) dla wszystkich x < 0, 2) dla wszystkich x ∈ Z, 3) dla x = 0, 4) dla x ∈ {1, −1}. 24 Przykłady użycia kwantyfikatorów • a ∈ Z, a jest liczbą parzystą: ∃k∈Z a = 2k. • a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b: ∃k∈Z a = k · b. • p ∈ N1, p jest liczbą pierwszą: (p 6= 1) ∧ ∀a∈N1 (a | p ⇒ a = 1 ∨ a = p). 25 • b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A: ∀a∈A a 6 b. • Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna: ∀x∈R ∀y∈R (x 6= y ⇒ ∃w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))). • Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (xn) są dodatnie: ∃N ∀n>N xn > 0. • Zasada indukcji matematycznej: (T (0) ∧ ∀n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀n∈N T (n). 26 Prawa rachunku kwantyfikatorów Prawo rachunku kwantyfikatorów to wyrażenie utworzone poprawnie z symboli kwantyfikatorów, funkcji zdaniowych i spójników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej funkcji zdaniowej i dowolnych wartości zmiennych. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ∼ (∀x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃x∈X (∼ ϕ(x)), ∼ (∃x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀x∈X (∼ ϕ(x)). 27 Przykłady: • Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A: ∼ (∀a∈A a 6 b) ⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b) ⇔ ∃a∈A a > b. • W zbiorze N nie ma liczby największej: ∼ (∃m∈N ∀n∈N m > n) ⇔ ∀m∈N ∼ (∀n∈N m > n) ⇔ ∀m∈N ∃n∈N ∼ (m > n) ⇔ ∀m∈N ∃n∈N m < n. 28 Inne ważne prawa rachunku kwantyfikatorów: (∀x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)), (∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y)). Dla danego elementu x0 ∈ X mamy prawa: (∀x∈X ϕ(x)) ⇒ ϕ(x0), ϕ(x0) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)). 29 Algebra logiki 30 W zbiorze {0, 1} określamy działania dwuargumentowe ∨, ·, +, | oraz działanie jednoargumentowe ( )0. Działanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a działanie x | y nazywamy kreską Sheffera. x x0 0 1 1 0 x 0 0 1 1 y x∨y x·y x+y x|y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 31 Przykłady: 00 = 1, 1 · 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1, 1 | 1 = 0, ((0·1) | (1∨0))0 +(10 ∨0)0 = (0 | 1)0 +(0∨0)0 = 10 +00 = 0+1 = 1. Pytanie. Ile wynosi x, jeśli: a) x | y = 0 dla pewnego y ∈ {0, 1}, b) x | y = 1 dla dowolnego y ∈ {0, 1}? Uwaga. Związek symboli działań ∨, ·, 0 ze spójnikami logicznymi ∨, ∧, ∼. Dla dowolnych zdań złożonych P i Q zachodzą następujące równości: v(P ∨ Q) = v(P ) ∨ v(Q), v(P ∧ Q) = v(P ) · v(Q), v(∼ P ) = v(P )0. 32 Zadanie. Wyraź: a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji, b) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji, c) kreskę Sheffera za pomocą alternatywy i negacji, d) kreskę Sheffera za pomocą koniunkcji i negacji, e) negację, alternatywę oraz koniunkcję za pomocą kreski Sheffera. 33 Dwójkowy system liczenia – przypomnienie zapisy dziesiętne 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 zapisy dwójkowe 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 zapisy dziesiętne 10 11 12 13 14 15 16 zapisy dwójkowe 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 34 W zapisie dziesiętnym liczby 2016 cyfrą tysięcy jest 2, cyfrą setek jest 0, cyfrą dziesiątek jest 1, a cyfrą jedności jest 6. Możemy to przedstawić następująco: (2016)10 = 2·1000+0·100+1·10+6·1 = 2·103+0·102+1·101+6·100. Podobnie tworzymy zapis dwójkowy, np.: (11010)2 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 24 + 23 + 21 = = 16 + 8 + 2 = 26. 35 Jeśli chcemy znaleźć zapis dwójkowy danej liczby, to wystarczy ją przedstawić w postaci sumy różnych potęg dwójki, np.: 345 = 256 + 89 = 256 + 64 + 25 = 256 + 64 + 16 + 9 = = 256 + 64 + 16 + 8 + 1 = 28 + 26 + 24 + 23 + 20 = = 1 · 28 + 0 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = = (101011001)2. Jest też inny sposób, polegający na wyznaczeniu cyfr zapisu dwójkowego od końca. 36 Zadania. 1) Jaka liczba ma zapis dwójkowy postaci (11111001001)2? 2) Przedstaw liczbę 543 w zapisie dwójkowym. 3) Dodaj pisemnie w zapisie dwójkowym liczby 110101 i 10111. 37 Funkcje algebry logiki Algebra logiki zajmuje się funkcjami, których argumenty i wartości należą do zbioru {0, 1}. Są 4 funkcje jednej zmiennej, 16 funkcji dwóch zmiennych, 256 funkcji trzech zmiennych i tak dalej. Funkcje te najprościej przestawić za pomocą tabelek. 38 Funkcje jednej zmiennej. x B01(x) B11(x) B21(x) B31(x) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Widzimy, że dla każdego x ∈ {0, 1} zachodzą równości: B01(x) = 0, B11(x) = x, B21(x) = x0, B31(x) = 1. 39 Funkcje dwu zmiennych. x 0 0 1 1 y B02(x, y) B12(x, y) B22(x, y) B32(x, y) B42(x, y) B52(x, y) . . . 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 x 0 0 1 1 2 (x, y) . . . B 2 (x, y) B 2 (x, y) y . . . B10 14 15 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 40 Możemy zauważyć, że dowolnych x, y ∈ {0, 1}: 2 (x, y) = 1, B 2 (x, y) = x, B 2 (x, y) = y, B02(x, y) = 0, B15 3 5 2 (x, y) = x | y. B12(x, y) = x·y, B62(x, y) = x+y, B72(x, y) = x∨y, B14 41 Numeracja powyższych funkcji jest związana z zapisami dwójko2 , to (gdy je wymi. Kolumny wartości funkcji B02, B12, B22, . . . , B15 zapiszemy poziomo) odpowiednio 0000, 0001, 0010, . . . , 1111, czyli zapisy dwójkowe liczb 0, 1, 2, . . . , 15. Dopuszczamy zapisy liczb zaczynające się od zer, więc każda liczba od 0 do 15 ma czterocyfrowy zapis dwójkowy. 2 to 1010, gdyż Na przykład kolumna wartości funkcji B10 10 = 8 + 2 = 23 + 21 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = (1010)2. 2 , gdyż Z kolei funkcja, której kolumną wartości jest 1101, to B13 (1101)2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 4 + 1 = 13. 42 Funkcje trzech zmiennych. Mamy 8 możliwych układów argumentów (x, y, z), więc każdą funkcję zero-jedynkowa zmiennych x, y, z możemy określić przez jej ośmiocyfrową kolumnę wartości, która jest zapisem dwójkowym pewnej liczby n ∈ {0, 1, 2, . . . , 255}. Wówczas tę funkcję oznaczamy symbolem Bn3(x, y, z). 43 x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 B03 (x, y, z) B13 (x, y, z) . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 (x, y, z) . . . B100 0 1 1 0 0 1 0 0 3 (x, y, z) . . . B170 1 0 1 0 1 0 1 0 Numerem funkcji w ostatniej kolumnie jest 255, gdyż 8 (11111111 | {z })2 = (100000000 | {z })2 − 1 = 2 − 1 = 255. 8 8 44 3 (x, y, z) B255 1 1 1 1 1 1 1 1 Przykłady. 3 (x, y, z) to 01100100, ponie• Kolumna wartości funkcji B100 waż 100 = 64+32+4 = 26+25+22 = (1100100)2 = (01100100)2. 3 , ponieważ • Funkcją o kolumnie wartości 10101010 jest B170 (10101010)2 = 27 + 25 + 23 + 21 = 128 + 32 + 8 + 2 = 170. 3 (x, y, z). Zadanie. Narysuj tabelkę wartości funkcji B200 Pytanie. Ile jest funkcji zero-jedynkowych k zmiennych? 45 Formy normalne alternatywno – koniunkcyjne Cztery funkcje zero-jedynkowe dwóch zmiennych przyjmują wartość 1 dla dokładnie jednego układu argumentów. Są to koniunkcje, których pierwszym czynnikiem jest x lub x0, a drugim czynnikiem jest y lub y 0 (jeśli rozważamy funkcje zmiennych x i y). Takie funkcje nazywamy iloczynami minimalnymi. x 0 0 1 1 y x0 · y 0 x0 · y x · y 0 x · y 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 46 Jeśli funkcja dwóch zmiennych nie jest ani funkcją zerową, ani iloczynem minimalnym, to przyjmuje wartość 1 dla dwóch, trzech lub czterech układów argumentów. Taką funkcję możemy przedstawić w postaci alternatywy odpowiednio dwóch, trzech lub czterech iloczynów minimalnych, na przykład: x ∨ y = (x0 · y) ∨ (x · y 0) ∨ (x · y), x + y = (x0 · y) ∨ (x · y 0), x | y = (x0 · y 0) ∨ (x0 · y) ∨ (x · y 0). Przedstawienie funkcji w postaci alternatywy iloczynów minimalnych nazywamy formą normalną alternatywno – koniunkcyjną. 47