Szeregi funkcyjne. Ciągłość i pochodna odwzorowania.

Wykład 3
1
Szeregi funkcyjne
Definicja 1.1 Niech dany będzie ciąg funkcyjny fn , gdzie fn : X → R. Oznaczmy przez Sk
funkcję
Sk (x) =
k
X
fi (x)
i=1
Dla szeregu S(x) = ∞
i=1 fi (x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak
powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny Sk (x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze
tych x ∈ X dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy.
P
Przykłady:
P
n
Szeregi potęgowe, np: ∞
i=1 x =
1
,
1−x
dla x ∈ (−1, 1). Zbieżność jednak nie jest jednostajna:
1 − xk
1 −
=
sup |Sk (x) − f (x)| = sup 1 − x
x∈(−1,1)
x∈(−1,1) 1 − x
−xk sup = +∞ dla k → ∞.
x∈(−1,1) 1 − x Uwaga: Dla szeregów potęgowych zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale
domkniętym zawartym w kole zbieżności szeregu. Tak więc możemy sprawdzić, że w poprzednim przykładzie zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale domkniętym
zawartym w przedziale (−1, 1).
Twierdzenie 1.1 Jeśli ciąg funkcji ciągłych fn jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A do
funkcji f , to funkcja graniczna f jest ciągła na A.
Wniosek: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla szeregu funkcyjnego. Wobec tego, suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągła w całym kole zbieżności
Uwaga: w wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - wystarczy stwierdzić, że funkcja
graniczna jest nieciągła, wtedy wiemy już, jeśli funkcje fn są ciągłe, że zbieżność nie jest
jednostajna.
Uwaga: Implikacja przeciwna nie zachodzi - pomimo tego że funkcja graniczna jest ciągła,
zbieżność może nie być jednostajna.
2
Ciągłość odwzorowań
Definicja 2.1 (granica odwzorowania) Niech (X, d), (Y, ρ) - przestrzenie metryczne. Mówimy że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y ma w punkcie x0 granicę y0 jeśli dla każdego ciągu
xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 mamy f (xn ) → y0 .
Definicja 2.2 (Ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (X, dx ), (Y, dy ) - przestrzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x0 jeśli
dla każdego ciągu xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 ciąg f (xn ) jest zbieżny do f (x0 ).
1
Definicja 2.3 (Otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (X, dx ), (Y, dy ) - przestrzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x0 jeśli dla każdego
otoczenia U punktu f (x0 ) przeciwobraz f −1 (U ) jest zbiorem otwartym w przestrzeni X.
Definicja 2.4 (definicja ciągłości wg Cauchy’ego) Niech (X, dx ), (Y, dy ) - przestrzenie
metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x0 jeśli zachodzi:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε
Uwaga: Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dziedziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym.
Uwaga: Do wykazywania, że dana funkcja nie jest ciągła najwygodniej jest stosować definicję wg Heinego - wystarczy znaleźć dwa ciągi zbieżne do tego samego punktu w zbiorze
argumentów, na których to ciągach wartości zbiegają do różnych granic. Do wykazywania,
że dana funkcja jest ciągła najwygodniej natomiast stosować dwie pozostałe definicje.
Przykład:
Wykażemy że funkcja
( xy
dla (x, y) 6= (0, 0)
2
2
f (x, y) = x +y
0
dla (x, y) = (0, 0)
jest nieciągła w punkcie (0, 0). W tym celu rozważmy ciągi ( n1 , 0) oraz ( n1 , n1 ). Zauważmy, że
obydwa te ciągi są zbieżne do punktu (0, 0). Mamy jednak: f ( n1 , 0) = 0 oraz f ( n1 , n1 ) → 12 dla
n → ∞. Ponieważ granice te są różne, funkcja jest nieciągła w (0, 0).
Stwierdzenie 2.1 Niech (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) - przestrzenie metryczne, przekształcenia
f : X → Y , g : Y → Z są ciągłe. Wtedy złożenie g ◦ f : X → Z jest ciągłe.
3
Różniczkowanie funkcji i odwzorowań określonych na
przestrzeniach liniowych unormowanych
Przyjmijmy następujące oznaczenia: (X, k · kX ), (Y, k · kY ) - przestrzenie liniowe unormowane
(u nas najczęściej Rk ), X ⊃ G - podzbiór otwarty, p ∈ G, f : G → Y .
Definicja 3.1 (pochodna kierunkowa funkcji) Pochodną kierunkową odwzorowania f : Rn ⊃
G :→ Y ⊂ Rk w punkcie p ∈ G w kierunku wektora h ∈ X nazywamy granicę
∂f
1
(p) = fh0 (p) = Dh f (p) = lim (f (p + th) − f (p)),
t→0
∂h
t
o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczywiście w obszarze tych t ∈ R, dla których p + th ∈ G.
Przez e1 , . . . , en oznaczamy bazę kanoniczną przestrzeni Rn , tzn. ei = (|{z}
0 , . . . , |{z}
1 , . . . , |{z}
0 )
1
i
n
Definicja 3.2 (pochodna cząstkowa) Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową tej funkcji w punkcie p w kierunku ei o
∂f
ile ona istnieje i oznaczamy fx0 i (p), Dxi f (p), Di f (p), ∂x
(p).
i
2
Zauważmy, że definicja pochodnej cząstkowej jest niemal identyczna z definicją pochodnej
funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podobieństwo to wykorzystamy do obliczania pochodnych cząstkowych - będziemy je obliczać tak jakby wszystkie zmienne były ustalonymi parametrami, a funkcja zależała tylko od zmiennej względem której szukamy pochodnej cząstkowej. Niemniej jednak jak wiadomo posiadanie pochodnej w danym punkcie jest dla funkcji
jednej zmiennej bardzo silną własnością. Jak się zaraz przekonamy dla funkcji wielu zmiennych posiadanie wszystkich pochodnych kierunkowych nie gwarantuje nawet ciągłości. Rozważmy funkcję
(
0 dla x = y 2 i (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
1 dla (x, y) = (0, 0) lub x 6= y 2
funkcja ta jest oczywiście nieciągła na całej paraboli x = y 2 . zauważmy jednak, że w punkcie
(0, 0) istnieją pochodne kierunkowe w każdym kierunku - są one równe 0, gdyż jeśli zbliżamy
się do zera wzdłuż dowolnej prostej to dla dostatecznie bliskich punktów nie ”jesteśmy”już na
paraboli i funkcja ma wartość stale równą 1, czyli przyrost w definicji pochodnej kierunkowej
jest zerowy.
Przystąpimy teraz do zdefiniowania pojęcia różniczki funkcji (odwzorowania) wielu zmiennych.
Definicja 3.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe L ∈ L(X, Y ) spełniające warunek:
lim
u→0
f (p + u) − f (p) − L(u)
= 0.
kuk
Oznaczamy je również Df (p).
3