Różniczkowanie numeryczne

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Różniczkowanie
1
Zadanie 1. Wyprowadzić wzór różnicowy do obliczenia pochodnej w punkcie i (patrz
rysunek)
2h
h
i−1
i+1
i
a następnie policzyć pochodną f ′ (0.4) dla danych f (0.2) = 5.2, f (0.4) = 5.3, f (0.8) = 5.1
Odpowiedź:
1. Wyprowadzenie wzoru różnicowego
• Sposób I - z wykorzystaniem szeregu Taylora
1
fi−1 = fi − hfi′ + h2 fi′′ + · · ·
2
1
′
fi+1 = fi + 2hfi + (2h)2 fi′′ + · · ·
2
po przemnożeniu pierwszego równania przez −4 a następnie dodaniu do siebie dwóch
równań otrzymano:
fi+1 − 4fi−1 = −3fi + 6hfi′
co ostatecznie daje wzór:
fi′ =
fi+1 + 3fi − 4fi−1
6h
• Sposób II - z wykorzystaniem interpolacji Lagrange’a
wzór interpolacyjny Lagrange’a
(x − xi )(x − xi+1 )
+
(xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 )
(x − xi−1 )(x − xi )
(x − xi−1 )(x − xi+1 )
+ f (xi+1 ) ·
+ f (xi ) ·
(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )
(xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi )
f (x) ≈ f¯(x) = f (xi−1 ) ·
stąd :
(x − xi )(x − xi+1 )
(x − xi−1 )(x − xi+1 )
(x − xi−1 )(x − xi )
f¯(x) = fi−1 ·
+fi ·
+fi+1 ·
−h · −3h
h · −2h
3h · 2h
natomiast pochodna wynosi:
2x − (xi + xi+1 )
2x − (xi−1 + xi+1 )
2x − (xi−1 + xi )
f¯′ (x) = fi−1 ·
+fi ·
+fi+1 ·
2
2
3h
−2h
6h2
a dla x = xi
−h
h
− 2h
+ fi ·
+ fi+1 · 2
fi′ ≈ f¯′ (xi ) = fi−1 ·
3h2
−2h2
6h
czyli:
fi′ =
fi+1 + 3fi − 4fi−1
6h
Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Różniczkowanie
2
Odpowiedź:
2. Obliczenie pochodnej
h = 0.2
f (0.8) + 3f (0.4) − 4f (0.2)
6 · 0.2
5.1
+
3
·
5.3
− 4 · 5.2 1
=
f ′ (0.4) =
1.2
6
f ′ (0.4) =
Zadanie 2. Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji f (x) = 3x2 − 2x + 4 w punkcie x =
3 wykorzystując wzory różnicowe dla równoodległych węzłów xi−1 , xi , xi+1 .
Przyjąć h = 0.2
Odpowiedź:
1. Policzenie pierwszej pochodnej
f ′ (3) = f0′ =
f1 − f−1 f (3 + 0.2) − f (3 − 0.2)
=
=
2·h
0.4
f (3.2) − f (2.8) 28.32 − 21.92
=
=
= 16
0.4
0.4
2. Policzenie drugiej pochodnej
f ′′ (3) = f0′′ =
f1 − 2f0 + f−1 f (3 + 0.2) − 2f (3) + f (3 − 0.2)
=
=
h2
0.04
f (3.2) − 2f (3) + f (2.8) 28.32 − 2 · 25 + 21.92
=
=
=6
0.04
0.04
Zadanie 3. Dla gwiazdy różnicowej podanej w zadaniu 1 wyprowadzić wzór różnicowy
dla drugiej pochodnej.
Zadanie 4. Dla dowolnie wybranej funkcji f (x) obliczyć w wybranym punkcie x0 pierwszą
i drugą pochodną funkcji wykorzystując wzory wyprowadzone na wykładzie.
Zadanie 5. Za pomocą wzorów różnicowych znaleźć f’(0.5) a następnie f”(0.5) dla poniższych danych:
x
f(x)
f’(x)
0.4
1.2
0.8
0.6
1.5
?
Zadanie 6. Niech f (x) = 2x sin(x). Znajdź f’(1.05) stosując krok h = 0.05 oraz h = 0.01
i ”różnice centralne” korzystając z poniższych danych:
x
f(x)
1.0
1.6829420
1.04
1.7732994
1.06
1.8188014
1.10
1.9103448