7. Funkcje elementarne i ich własności.
Transkrypt
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: • stałe • potęgowe, np. • wykładnicze • logarytmiczne • trygonometryczne Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji (np. logx) nazywamy funkcjami elementarnymi. Funkcja liniowa Funkcję określoną wzorem ( ) nazywamy funkcją liniową. Litery a i b oznaczają liczby dane, a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b-wyrazem wolnym. Gdy a=0, to funkcja liniowa jest stała, Gdy , to funkcja liniowa jest monotoniczna, dla a>0 rosnąca, a dla a<0 malejąca. Jest ciągła i różnowartościowa. Jeśli funkcje liniowe mają ten sam współczynnik kierunkowy a, to ich wykresy są prostymi równoległymi. Jeśli dwie funkcje liniowe mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn jest równy -1, to ich wykresy są prostymi prostopadłymi. Współczynnik a odpowiada za kierunek, zaś współczynnik b za miejsce przecięcia z osią. nazywamy funkcją postaci ( ) . Dziedzina tej funkcji zależy od wartości a. Jeżeli a jest liczbą całkowitą dodatnią, to dziedzina tej funkcji jest całym zbiorem liczb rzeczywistych. W przypadku gdy, a jest liczbą całkowitą niedodatnią to dziedziną tej funkcji jest { }. Jeżeli wykładnik a>0, to funkcja jest rosnaca w przedziale ), a jeśli a<0, to jest malejąca w tym przedziale. Funkcją potęgową 1 Wykres - przykłady ( ) ( ) Funkcje ( ) ( ) √ są wzajemnie odwrotne. ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) WŁASNOŚCI FUNKCJI POTĘGOWEJ Dla a,b>0 oraz ( ( ( ) mamy: ) ) . ( ) , przy czym liczba ( ) ( ) jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej. ) Dziedziną funkcji wykładniczej jest , a zbiorem wartości przedział ( Gdy ( ), to funkcja jest malejąca, zaś gdy ( ), to funkcja jest rosnąca. FUNKCJA WYKLADNICZA nazywamy funkcję opisaną wzorem: Szczególnym przykładem funkcji wykładniczej, jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Wzór funkcji: ( ) 3 FUNKCJA LOGARYTMICZNA Definicja logarytmu: Dla taką liczbę i piszemy Wzory logarytmiczne: Dla ( ) oraz x>0 logarytmem przy podstawie a z liczby x nazywamy że oraz x,y>0 zachodzą następujące równości: ( ) Jak się mają do siebie: Funkcją logarytmiczną przy podstawie a, gdzie nazywamy funkcję określoną wzorem: ( ) ( ) ( ), . Dziedziną funkcji logarytmicznej jest . Wartościami jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest różnowartościowa. ( ) to funkcja jest malejąca, a gdy Jeżeli ( ) jest rosnąca. Funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza ( ) . FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Funkcje trygonometryczne kąta ostrego α wyrażają stosunki długości odpowiednich boków w trójkącie prostokątnym mającym kąt α. 4 Wykresy funkcji trygonometrycznych Definicja funkcji sinus i cosinus Dla kładziemy: ( ) ∑ ( ( ) ( ) ) ∑ ( ( ) ) I nazywamy odpowiednio sinusem x oraz cosinusem x. Funkcje nazywamy odpowiednio funkcją sinus i funkcją cosinus i odpowiednio oznaczamy sin i cos. Przy czym szeregi (*) i (**) są zbieżne bezwzględnie dla każdego . f(x)=sinx Dziedziną funkcji jest Zbiór wartości [-1,1] Okres wynosi 2 Dziedziną funkcji jest Zbiór wartości [-1,1] Okres wynosi 2 f(x)=cosx Definicja funkcji tangens i cotangens Niech Liczbę gdy Liczbę gdy Funkcję oznaczamy tg. Funkcję oznaczamy ctg. nazywamy tangensem i oznaczamy tg nazywamy cotangensem i oznaczamy ctg. } nazywamy funkcją tangens i określoną w zbiorze { określoną w zbiorze { } nazywamy funkcją cotangens i 5 f(x)=tgx bez punktów +k , k jest dow liczbą całkowitą. Dziedziną jest Zbiorem wartości jest Okres wynosi Jest funkcją rosnącą f(x)=ctgx Dziedziną jest bez punktów k , k jest dow liczbą całkowitą. Zbiorem wartości jest Okres wynosi Jest funkcją malejącą Funkcje trygonometryczne dowolnego kata - Jeżeli dany kąt skierowany ustawimy w układzie współrzędnych tak aby wierzchołek kąta był początkiem układu a oś x (odcięta) była ramieniem początkowym kąta i punkt P leżał na ramieniu końcowym kąta to możemy wyróżnić następujące funkcje tego kąta. Sinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Cosinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Tangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do odciętej tego punktu. Cotangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do rzędnej tego punktu. 6 Funkcje sin i cos określone są dla wszystkich kątów . Tg nie jest określony dla kątów , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Ctg nie jest określony dla kątów jest dowolną liczbą całkowitą. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. , gdzie k PRZYKŁADY Rozwiązać równanie: Równanie to jest równoważne alternatywie równań: W przedziale ( ) pierwsze z tych równań ma rozwiązanie a drugie Zatem rozwiązaniem wyjściowego równania jest każda liczba . . FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE Funkcja cyklometryczna jest funkcją odwrotną do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy ją po zawężeniu funkcji trygonometrycznej do maksymalnego przedzialu, w którym ta funkcja jest różnowartościowa. Wszystkie wykresy funkcji cyklometrycznych uzyskujemy zgodnie z zasadą sporządzania wykresów funkcji odwrotnych, stosując symetrię względem prostej y=x. Funkcję sinus zawężamy do przedziału 〈 〉, funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x) = arcsinx. [ ] ] ] 7 [ ] Jej dziedziną jest <-1,1>, a zbiorem wartości 〈 Jest to funkcja: Rosnąca Nieparzysta Odwracalna Ciągła Ograniczona Funkcję cosinus zawężamy do przedziału 〈 〉. 〉, funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x)=arccosx ] Jej dziedziną jest <-1,1>, a zbiorem wartości 〈 Jest to funkcja: malejąca Odwracalna Ciągła Ograniczona arccosx: 〉. Funkcję tangens zawężamy do przedziału 〈 ] ] ] 〉, funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x)=arctgx ( ) ( 8 ) Jej dziedziną jest wykresu. a zbiorem wartości 〈 〉, proste y= i y= są asymptotami poziomymi Jest to funkcja: Rosnąca nieparzysta Odwracalna Ciągła Ograniczona Funkcję cotangens zawężamy do przedziału ( ), funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x)=arcctgx. ( Jej dziedziną jest a zbiorem wartości 〈 Jest to funkcja: malejąca Odwracalna Ciągła Ograniczona ) ( ) 〉, proste y=0 i y=π są asymptotami poziomymi wykresu. OBLICZENIA FUNKCJI CYKLOMETRYCZNYCH 9