METODA MAXWELLA

METODA MAXWELLA-MOHRA
Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w
postaci:
δ =
gdzie:
n
M( x k )M ( x k )
dx k
EJ z
k = 1 lk
∑∫
δ - poszukiwane przemieszczenie,
k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,
l k - długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej xk na końcu przedziału),
M ( x k ) - równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem
rzeczywistym,
M ( x k ) - równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i
wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,
E - moduł Younga,
J z - moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.
l
Całki typy
∫φ
i
⋅ φ k dx można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji φi i φk jest
0
liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole Ωi wykresu funkcji φi przez rzędną ωk wykresu
funkcji φk (ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola Ωi .
l
∫φ
i
⋅ φ k dx = Ω j ⋅ ω k
0
x
Ωi
φi
x
ωk
φk
Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy φi i φk są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole
któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:
l
∫φ
i
⋅ φ k dx = Ω j ⋅ ω k = Ω k ⋅ ω
j
0
Iloczyn Ω⋅ω jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.
Pola figur i położenia środków ciężkości
POLE
Ω
a
xc
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
XC
1
2
f
l⋅f
f
1
2
l⋅f
2
3
l
1
3
l⋅f
3
4
l
l
l
ax
xc
l
ax2
xc
f
l
POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU
WZORU MAXWELLA-MOHRA:
1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.
2) Obciążyć układ tylko i wyłącznie siłą jednostkową w miejscu i na kierunku
poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.
(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła
jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu
- obciążamy układ momentem jednostkowym)
3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach
obciążeń.
4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.
5) Zastosować
wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego
przemieszczenia.
POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU
SPOSOBU WERESZCZAGINA
DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:
1)
2)
3)
4)
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami
czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych S1(x) od obciążenia układu siłą
jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego
przemieszczenia.
Obliczyć powierzchnię Ω i wyznaczyć środki ciężkości xc pól wykresu S(x)
odpowiadających odcinkom prostym S1(x)
Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji) ϖ=S1(xc) odpowiadające położeniom
środków ciężkości pół wykresu S(x)
Podziału na pola wykresu S(x) dokonujemy po wykonaniu wykresu S1(x) , kiedy
wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie S1(x)
W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę
superpozycji - wykresy S(x) mają prostą postać