Funkcja ciągła

Funkcja ciągła
Mówimy, że funkcja
jest ciągła w punkcie , jeśli spełniony jest warunek
Przypominając sobie definicję granicy funkcji
ciągłej w punkcie mamy:
Dla dowolnego ciągu {
} takiego, że
w punkcie
można więc powiedzieć, że dla funkcji
zachodzi
Jeśli w równości (1) zastąpić granicę przez granicę jednostronną, to otrzymamy definicję ciągłości
jednostronnej:
Granica jednostronna
Mówimy, że funkcja
jest prawostronnie (lewostronnie) ciągła w punkcie , jeśli
Jeśli funkcja jest określona nie dla wszystkich , dla których określona jest granica, to w
powyższych definicjach ograniczamy zakres zmienności do zbioru argumentów funkcji.
I tak np. jeśli jest określona na odcinku domkniętym
, to ciągłość w punkcie
jedynie jej ciągłość prawostronną, ciągłość w punkcie — ciągłość lewostronną.
oznacza
Funkcja ciągła na odcinku
Funkcję ciągłą dla każdej wartości argumentu ze zbioru
nazywamy funkcją ciągłą na
I tak np. mówiąc, że funkcja jest ciągła na odcinku domkniętym
prawostronnie ciągła w punkcie , lewostronnie ciągła w punkcie
punktach wewnętrznych odcinka
.
mamy na myśli, że jest
oraz obustronnie ciągła w
.
Funkcja ciągła przedziałami
Mówimy, że funkcja jest przedziałami ciągła na odcinku
, jeśli ten odcinek można podzielić za
pomocą skończonego układu punktów
, gdzie
na podprzedziały
(
) w taki sposób, że wewnątrz każdego przedziału funkcja
jest ciągła i istnieją granice jednostronne
i
.
Innymi słowy, funkcja posiadająca skończoną ilość punktów nieciągłości, w których istnieją obie
granice jednostronne, jest funkcją przedziałami ciągłą.
Przykłady
1. Pokazaliśmy niedawno, że
. Znaczy to, że funkcja
(jest też ciągła na całym zbiorze , co niedługo pokażemy).
2. Plik:Floor function.svg
Funkcja schodkowa
jest ciągła w punkcie
Funkcja
(patrz wykres) jest nieciągła w punktach całkowitych. Dokładniej, w tych
punktach jest ciągła prawostronnie, lecz nie lewostronnie. Ponieważ jednak granice
lewostronne istnieją, to jest przedziałami ciągła na dowolnym odcinku skończonym.
3. Funkcja
ma nieokreśloną wartość w punkcie
. Dookreślmy ją tam,
definiując:
. Nawet tak dookreślona funkcja jest nieciągła w
istnieją granice (lewo- ani prawostronne) w tym punkcie.
4. Funkcja Dirichleta jest nieciągła w każdym punkcie.
, ponieważ nie
Warunek ciągłości Cauchy'ego
Twierdzenie poniżej może być przyjęte jako definicja ciągłości funkcji (definicja Cauchy'ego). Jest
ona równoważna definicji Heinego. Ta równoważność jest konsekwencją twierdzenia o
równoważności warunków istnienia granic funkcji: Cauchy'ego i Heinego.
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja
była ciągła w punkcie , jest, aby
Można to wyrazić bardziej obrazowo mówiąc, że dostatecznie małym przyrostom zmiennej
niezależnej odpowiadają tak małe, jak tylko się chce, przyrosty wartości funkcji. Można to zapisać
następująco (po ostatnim kwantyfikatorze w wyrażeniu powyżej):
Warunek
implikuje:
.
Inna postać twierdzenia
Jeszcze inaczej: Funkcja
jest ciągła w punkcie , jeżeli
Uwaga
Ciągłość funkcji w punkcie jest własnością lokalną: Aby zbadać, czy funkcja jest ciągła w punkcie ,
wystarczy znać znać tę funkcję w dowolnie małym otoczeniu .
Ciągłość funkcji elementarnych
Z wzorów na działania na granicach funkcji wynika od razu, że działania arytmetyczne wykonywane
na funkcjach ciągłych dają w wyniku funkcje ciągłe. Innymi słowy: Jeśli funkcje , są ciągłe w
punkcie , to ich suma, różnica, iloczyn, iloraz (jeśli
) są również ciągłe w punkcie .
Zróbmy teraz mały katalog funkcji ciągłych:
Funkcja stała
i funkcja
są funkcjami ciągłymi, co widać od razu z
definicji.
Stąd oraz z twierdzenia o ciągłości iloczynu i sumy funkcji ciągłych wynika, że wielomiany są
funkcjami ciągłymi.
Stąd oraz z twierdzenia o ciągłości ilorazu funkcji ciągłych wynika, że funkcje wymierne
są funkcjami ciągłymi w tych punktach, gdzie
Ciągłość funkcji wykładniczej ,
. Najsampierw pokażemy, że
Pamiętamy bowiem granicę dla ciągów:
Stąd wynika, że również
Dlatego też, dla dowolnego
Jeżeli teraz weźmiemy takie , że
można znaleźć wskaźnik
, (czyli
taki, że (dla
), to mamy
)
skąd
a to oznacza, że
Teraz! Weźmy dowolne .
Mamy:
oraz
, skąd
, co zgodnie z
wersją warunku ciągłości (3) oznacza, że funkcja
jest ciągła w dowolnym punkcie .
Ciągłość funkcji trygonometrycznych
Przypominając sobie definicję funkcji
(RYS) mamy nierówność (dla
):
Funkcja
Stąd, na mocy twierdzenia o granicach trzech funkcji, wynika, że
(ściśle rzecz biorąc, powyższa granica jest granicą prawostronną; ale z antysymetrii funkcji sin
wynika również ta sama równość dla granicy lewostronnej). Równość (4) znaczy też, że funkcja
jest ciągła w
.
Znając granicę (4) łatwo pokażemy, że
Mamy bowiem:
funkcji — oznacza, że
, co — na mocy twierdzenia o granicach trzech
.
Mamy też w ten sposób ustanowioną ciągłość funkcji
Teraz pokażemy, że funkcje:
i
w zerze.
są wszędzie ciągłe, korzystająctu z warunku (3).
Mamy bowiem:
i, korzystając z nierówności:
oraz
, mamy
czyli
Podobnie
co daje
Wniosek
Funkcja
jest ciągła dla
,a
— dla
(tu
).
Ciągłość logarytmu i funkcji cyklometrycznych
Do kompletu funkcji elementarnych trzeba by jeszcze pokazać ciągłość logarytmu oraz funkcji
cyklometrycznych (odwrotnych do funkcji trygonometrycznych). Zrobimy to za chwilę, kiedy
pokażemy ciągłość funkcji odwrotnych do ciągłych. Na razie zaś będziemy potrzebować:
Twierdzenie
Jeśli
i
, to
.
Dowód
Niech
; mamy wtedy
. Weźmy
, a to znaczy, że
. Mamy
, zatem
.
CBDO
Twierdzenie — superpozycja dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
Korzystając z tego, pokażemy, że superpozycja (złożenie) dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Dokładniej:
Tw.Jeśli funkcja
jest ciągła w punkcie
, to funkcja
jest ciągła w punkcie
, zaś funkcja
jest ciągła w punkcie
.
Dowód
Weźmy ciąg {
} taki, że
mamy
. Mamy wtedy
. Biorąc
i
, skąd — wykorzystując z kolei ciągłość funkcji :
CBDO
Przykład
Przywoływana tu kilkakrotnie funkcja
jest ciągła we wszystkich punktach poza
.
Niektóre ogólne własności funkcji ciągłych
Ciągłość jednostajna
Mówimy, że funkcja
jest ciągła jednostajnie na zbiorze X, jeśli
Uwaga I
Zauważmy, że definicja ciągłości zwykłej mówiła o ciągłości funkcji w punkcie, natomiast definicja
ciągłości jednostajnej mówi o ciągłości funkcji na zbiorze.
Uwaga II
Porównując to z definicją ciągłości funkcji
w punkcie :
widać następujące różnice: W definicji ciągłości zwykłej, delta {\em mogła zależeć od wybranego
oraz }. W definicji ciągłości jednostajnej, delta może zależeć tylko od , musi zaś być taka sama dla
wszystkich
.
Przykład I
Rozważmy funkcję
na zbiorze
i na zbiorze
.
Na obu tych zbiorach jest oczywiście ciągła w zwykłym sensie.
Co do ciągłości jednostajnej, to
jest ciągła jednostajnie na
(wystarczy wziąć
przy
sprawdzaniu warunku (5)), natomiast nie jest ciągła jednostajnie na
. Weźmy bowiem np.
jakiekolwiek . Wtedy
i mamy:
dużym przez odpowiedni dobór
, co można uczynić dowolnie
— tu wystarczy wziąć
.
Przykład II
Funkcja
jest ciągła na zbiorze
, natomiast nie jest tam jednostajnie ciągła.
Następujące twierdzenie mówi o tym, że taka sytuacja nie może się zdarzyć dla funkcji ciągłych na
odcinku domkniętym.
Twierdzenie o ciągłości jednostajnej
Funkcja ciągła na odcinku domkniętym
jest też na nim jednostajnie ciągła.
Dowód
będzie się odbywał przez sprowadzenie do niedorzeczności (tzn. przyjmijmy, że prawdziwe jest
zaprzeczenie tezy, i jako konsekwencję otrzymamy sprzeczność). Przyjmijmy więc, że istnieje
takie, że dla każdego
istnieje para argumentów
W szczególności, biorąc
Ponieważ ciąg
i
takich że
, wnioskujemy, że istnieją takie dwa ciągi
i
, że
jest ograniczony, zatem — na podstawie tw. Bolzano-Weierstrassa — zawiera
podciąg zbieżny
.
Oznaczmy jego granicę jako :
Funkcja
. Z pierwszej z nierówności (6) mamy:
z założenia jest ciągła wszędzie na
, więc także w punkcie
.
. Mamy więc:
. Ale teraz: Rozważmy podciąg ciągu
{
} o tych samych numerach, co podciąg {
}, tzn.
Z trzeciej z nierówności (6) wynika, że również
, bo
.
dąży do tej samej granicy:
. Ciągłość funkcji
jak poprzednio daje:
. A zatem:
Ale to jest sprzeczne z ostatnią z nierówności (6).
CBDO
Twierdzenie Weierstrassa
Funkcja
ciągła w przedziale domkniętym
dolny
jest ograniczona, a ponadto osiąga tam swoje kresy:
oraz górny
dwa punkty
i , że
. Innymi słowy, istnieją w tym przedziale takie
oraz
.
Dowód
Pokażemy najsampierw, że funkcja jest ograniczona, tzn.
. Otóż z
poprzedniego twierdzenia (o ciągłości jednostajnej) wnioskujemy, że: Wziąwszy np.
istnieje
takie
, że jeśli punkty
należą do przedziału o długości mniejszej o , to
.
Weźmy takie, aby zachodziła nierówność:
. W ten sposób, jeśli podzielimy przedział
na części, to długość każdego z nich jest mniejsza od . Oznaczmy przez
końce tych
przedziałów, przy czym
,
. rys. W ten sposób mamy: dla
:
, skąd
; i ogólnie, w -tym przedziale: dla
,skąd
.
Oznaczmy przez
największą z liczb ze zbioru
sposób:
dla dowolnego
,
. Mamy w ten
. W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja
jest
ograniczona (tzn. zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony). Istnieją więc kresy: górny i dolny tego
zbioru.
Pokażemy teraz — przez sprowadzenie do niedorzeczności — że
dla pewnego
jest jedną z wartości funkcji, tzn.
. Przypuśćmy więc, że jest to nieprawda, tzn.
. Skoro tak, to funkcja
jest określona na całym przedziale
i jest w tym przedziale ciągła. Jest to więc — zgodnie z tym
co pokazaliśmy przed chwilą — funkcja ograniczona. Istnieje więc takie
czyli
, lub w innej formie:
Ale jest to sprzeczne z założeniem, że
, że
:
,
.
jest kresem górnym zbioru wartości funkcji
na
.
Dla kresu dolnego dowód jest analogiczny.
CBDO
Twierdzenie (własność Darboux)
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym
pośrednie. Innymi słowy: Jeśli
przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości
lub
) to
.
Dowód
Załóżmy, że
(gdy
, dowód jest analogiczny). Przypuśćmy, że
twierdzenie jest fałszywe, a w/ęc, że
jest ona określona na całym
Niech
. Zdefiniujmy funkcję
;
, a ponadto — na mocy twierdzenia Weierstrassa — ograniczona.
, tzn.
Podstawiając w twierdzeniu o ciągłości jednostajnej
dla dowolnych punktów
wnioskujemy, że istnieje
takie, że
należących do przedziału o długości mniejszej niż , zachodzi
Niech oznacza liczbę naturalną taką, że
. Podzielmy odcinek
W oznaczeniach z poprzedniego twierdzenia mamy
na
równych części.
Ponieważ
liczba
, więc wśród liczb
, że
. Mamy więc
istnieje taka najmniejsza
oraz
(ostatnia nierówność wynika z (8)), co jednak przeczy (7).
CBDO
Twierdzenie
Zestawiając dwa poprzednie twierdzenia, możemy powiedzieć, że zachodzi następujące
Tw.Funkcja ciągła w przedziale domkniętym
do kresu górnego
.
, włącznie z
i
przyjmuje wszystkie wartości od kresu dolnego
. Innymi słowy, zbiorem wartości funkcji jest przedział
Uwaga
Plik:Darboux.png
Funkcja jest nieciągła, a
mimo to przyjmuje
wszystkie wartości
pośrednie z przedziału
[m,M]
Własność Darboux wdzięcznie ilustruje się rysunkowo. Jednak ciągłość funkcji nie jest warunkiem
koniecznym, aby ta własność miała miejsce; zachodzi ona również dla niektórych funkcji nieciągłych.
Przykład I
Jak z wł. Darboux wynika istnienie pierwiastków rzeczywistych równania:
.
Ciągłość funkcji odwrotnych
Niech
— zbiory. Wiadomo, że jeśli
jest bijekcją, to istnieje funkcja odwrotna
.
Pokażemy teraz, że funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła. Dokładniej, zachodzi następujące
Twierdzenie
Jeśli funkcja
jest ciągła.
jest ciągłą bijekcją, to funkcja odwrotna
też
Uwaga
Z tw.Weierstrassa wiemy, że
oraz
.
Dowód
Niech
. Na mocy ostatniego Twierdzenia, funkcja
Niech
, gdzie
należy do przedziału
Trzeba pokazać, że
, tzn. jest postaci
pociąga za sobą
ograniczony, jako leżący w przedziale
. Wykażemy, że
. Trzeba pokazać, że warunek
(bo
). Ciąg {
. Z ciągłości funkcji
jego podciągi zbieżne są zbieżne do tej samej granicy
. Ponieważ zaś
} jest
. Jeśli tak, to można wybrać z niego podciąg zbieżny
(w drugiej równości korzystaliśmy z twierdzenia, że jeśli ciąg
więc
.
.
Przeformułujmy to w następujący sposób: Niech
Niech
Ponieważ zaś
jest określona w punkcie .
wynika, że
.
jest ograniczony i jeśli wszystkie
, to również sam ciąg
jest wzajemnie jednoznaczna, to
jest zbieżny do
.
CBDO
Twierdzenie
Korzystając z powyższego twierdzenia, pokażemy, że
Tw.Każda funkcja , ciągła na odcinku
rosnąca bądź ściśle malejąca).
, będąca bijekcją, jest ściśle monotoniczna (tzn. ściśle
Dowód
Z założenia
. Załóżmy, że
analogiczne). Udowodnimy, że wtedy
Trzeba pokazać, że
(gdy jest na odwrót, rozumowanie jest
jest w całym przedziale
rosnąca. Niech
.
.
Zauważmy najsampierw, że warunki
i
.
implikują
.
)
Gdyby bowiem tak nie było, to mielibyśmy albo
1.
, albo
2.
.
W przypadku 1. mielibyśmy nierówność:
w przedziale
punkt
różnowartościowa (bo
że
taki, że
; ale to przeczy założeniu, że
). W przypadku 2. natomiast istniałby w przedziale
jest
punkt
, co z kolei jest sprzeczne z założeniem o różnowartościowości funkcji
podobnie jak uprzednio —
Pokazaliśmy więc, że
pociągają za sobą
CBDO
i, na mocy własności Darboux, istniałby
taki,
(bo —
).
. Jednocześnie wnioskujemy, że warunki
. Tak więc
.
i