Modelowanie fal. Drgania strun

Spis treści
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Drgania struny półnieskończonej . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Drgania struny półnieskończonej z zamocowanym jednym
końcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Drgania struny półnieskończonej ze swobodnym końcem .
4.2. Fale stojące jako rozwiązania równania falowego . . . . . . . . . .
4.2.1. Fale stojące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Rozwiązania równania falowego w postaci fali stojącej . .
4.2.3. Fale stojące w skończonej strunie. . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Mody drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
3
3
.
.
.
.
.
.
.
3
5
6
6
6
8
9
Wykład 4
Modelowanie fal. Drgania strun
As in chess small moves pave the way for big ones.
4.1. Drgania struny półnieskończonej
4.1.1. Drgania struny półnieskończonej z zamocowanym jednym
końcem
Zbadamy teraz drgania półnieskończonej struny w chwili, gdy zaburzenie
dotrze do punktu zamocowania struny.
Równanie musi teraz więc spełnić tutaj dodatkowo do poprzedniego zadania
oprócz warunków początkowych jeszcze warunek brzegowy u(0, t) = 0.
PDE:
IC:
utt = c2 uxx ,
−∞ < x < ∞ , t > 0 ,
u(x, 0) = f (x) ,
(4.1)
ut (x, 0) = g(x) ,
BC: u(0, t) = 0 .
Rozwiązanie ogólne ma postać
x+ct
1
1 Z
g(s)ds ,
u(x, t) = (f (x − ct) + f (x + ct)) +
2
2c
(4.2)
x−ct
o ile zarówno x − ct jak i x + ct są nieujemne (to wniosek z warunku brzegowego). Zakładamy oczywiście, że c > 0.
X
[
Rys. 4.1. Struna półnieskończona z zamocowanym lewym końcem.
4
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun
Rys. 4.2. Impuls przemieszczający się w lewo napotyka zamocowany koniec struny
w punkcie x = 0 i odbija się z przeciwną amplitudą.
— x + ct ­ 0 gdy x ­ 0 i t ­ 0 ;
— x − ct < 0 gdy x < ct – w tym przypadku rozwiązanie u(x, t) nie jest
reprezentowane przez (4.2) lecz przez
x+ct
1
1 Z
u(x, t) = (f (x − ct) + f (x + ct)) +
g(s)ds ,
2
2c
(4.3)
ct−x
Przykład
Stawiamy zagadnienie początkowo-brzegowe w następującej postaci:
PDE:
IC:
utt = 4 uxx ,
−∞ < x < ∞ , t > 0 ,
2
u(x, 0) = e−(x−5) ,
ut (x, 0) = 0 ,
BC: u(0, t) = 0 .
dla półnieskończonej struny z√nieruchomym lewym końcem. Fala biegnąca
porusza się z prędkością c = 4 = 2 > 0. Początkowo struna jest napięta
wzdłuż swego położenia równowagi, a następnie w chwili t = 0 jest wychylona
w punkcie x = 5 i puszczona swobodnie bez nadawania prędkości początkowej. Rozwiązanie ma postać

1 −(x+2t−5)2 1 −(x−2t−5)2


+ e
,
 e
2
2
u(x, t) =

1
2

 e−(x+2t−5) + 1 e−(2t−x−5)2 ,
2
2
gdy x ­ 2t ,
gdy x < 2t .
5
4.1. Drgania struny półnieskończonej
X
[
Rys. 4.3. Struna półnieskończona ze swobodnym lewym końcem.
4.1.2. Drgania struny półnieskończonej ze swobodnym końcem
Stawiamy zagadnienie początkowo-brzegowe w następującej postaci:
PDE:
IC:
utt = c2 uxx ,
−∞ < x < ∞ , t > 0 ,
u(x, 0) = f (x) ,
(4.4)
ut (x, 0) = g(x) ,
BC: ux (0, t) = 0 .
dla półnieskończonej struny ze swobodnym lewym końcem.
Rozwiązanie ma postać

x+ct

1
1 Z



(f (x − ct) + f (x + ct)) +
g(s)ds , gdy x ­ ct ,


 2
2c
x−ct
 x+ct

u(x, t) = 
ct−x
Z
Z

1
1




g(s)ds +
g(s)ds ,

 2 (f (x + ct) + f (ct − x)) + 2c
0
0
Przykład
Stawiamy zagadnienie początkowo-brzegowe w następującej postaci:
PDE:
IC:
utt = 4 uxx ,
−∞ < x < ∞ , t > 0 ,
2
u(x, 0) = e−(x−5) ,
ut (x, 0) = 0 ,
BC: ux (0, t) = 0 .
dla półnieskończonej struny ze swobodnym lewym końcem.
Rozwiązanie ma postać
u(x, t) =

1 −(x+2t−5)2 1 −(x−2t−5)2


+ e
,
 e
2
2

1
1
2
2

−(x+2t−5)
 e
+ e−(2t−x−5) ,
2
2
gdy x ­ 2t ,
gdy x < 2t .
gdy x < ct .
6
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun
Rys. 4.4. Impuls przemieszczający się w lewo napotyka swobodny koniec struny w
punkcie x = 0 i odbija się z identyczną amplitudą i orientacją.
4.2. Fale stojące jako rozwiązania równania falowego
Postać d’Alemberta rozwiązania równania falowego oparta była na obserwacji, że rozwiązanie może być sumą dwu fal biegnących z prędkością c w
przeciwnych kierunkach, jednej w lewo i drugiej w prawo. Inne podejście
polega na rozkładzie rozwiązania na fale stojące.
4.2.1. Fale stojące
Jak już dobrze pamiętamy, rozwiązaniem równania falowego utt = c2 uxx jest
funkcja postaci u(x, t) = F (x − t) + G(x + t), czyli suma dwu fal biegnących.
Przykładem takiego rozwiązania jest
u(x, t) = sin(x − t) + sin(x + t) = 2 cos(t) sin(x) .
Profil fali v(x) = sin(x) jest skalowany wielkością w(t) = 2 cos(t).
W ogólności, zmienna funkcja postaci
u(x, t) = w(t) v(x) ,
jest nazywana falą stojącą.
4.2.2. Rozwiązania równania falowego w postaci fali stojącej
Nie każda fala stojąca jest rozwiązaniem równania falowego. Podstawmy falę
stojącą u(x, t) = w(t) v(x) do równania falowego
utt = c2 uxx , −∞ < x < ∞ , t > 0 ,
w00 (t) v(x) = c2 w(t) v 00 (x) .
7
4.2. Fale stojące...
Rys. 4.5. Profile fali u(x, t) − sin(x − t) + sin(x + t).
Rys. 4.6. Ruch struny umocowanej na obu końcach.
Dzielimy dwustronnie przez w(t) v(x)
00
w00 (t)
2 v (x)
=c
= λ.
w(t)
v(x)
Każda ze stron równania zależy od innej zmiennej, więc w rezultacie musi to
być stała wielkość, co prowadzi do dwu równań różniczkowych
w00 (t) = λ w(t) ,
v 00 (x) =
λ
v(x) .
c2
(4.5)
Rozwiązanie zależy od wartości λ.
Gdy λ = 0: w(t) = A + Bt, v(x) = C + Dx ,→
u(x, t) = (A + Bt)(C + Dx) ,
A, B, C, D – dowolne stałe .
(4.6)
Rozwiązaniem jest fala stojąca.
Gdy λ > 0: Połóżmy λ = r2 dla pewnego r > 0. Musimy rozwiązać równania
2
r
00
2
00
w (t) = r w(t) ,
v (x) =
v(x) .
c
Tu rozwiązaniem jest też fala stojąca
u(x, t) = (A ert + B e−rt )(C erx/c + D e−rx/c ) .
(4.7)
Gdy λ < 0: to można położyć λ = −r2 dla pewnego r > 0. Nasze równania
przybierają postać
w00 (t) = −r2 w(t) ,
v 00 (x) = −
2
r
c
v(x) .
i rozwiązanie ma postać fali stojącej
u(x, t) = (A cos(rt) + B sin(rt)) (C cos(rx/c) + D sin(rx/c)) .
(4.8)
Otrzymane rozwiązania opisują wszystkie możliwe rozwiązania. Teraz powiążemy z nimi zjawiska fizyczne. Okazuje się, że w praktycznych zastosowaniach
realizuje się tylko niewielki ich podzbiór.
8
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun
4.2.3. Fale stojące w skończonej strunie.
Niech struna ma długość L i jest umocowana na obu końcach.
PDE:
BC:
utt = c2 uxx ,
0 < x < L, t > 0,
u(0, t) = 0 ,
(4.9)
u(L, t) = 0 .
Fala stojąca: u(x, t) = w(t) v(x).
Pierwszy warunek brzegowy:
u(0, t) = v(0) w(t) = 0 ,
t > 0,
,→ v(0) = 0 albo w(t) = 0.
Jeśli w(t) = 0 to jest to fala zerowa i nie traktujemy jej jako fali stojącej.
Oczekujemy więc v(0) = 0.
Drugi warunek brzegowy:
u(L, t) = v(L) w(t) = 0 ,
t > 0,
,→ v(L) = 0 albo w(t) = 0.
Jeśli w(t) = 0 to jest to fala zerowa i nie traktujemy jej jako fali stojącej.
Oczekujemy więc v(L) = 0.
Ostatecznie warunki brzegowe to:
v(0) = 0 ,
v(L) = 0 .
(4.10)
W poprzednim paragrafie stwierdziliśmy, że fala stojąca ma trzy podstawowe
profile:
u(x, t) = (A + Bt)(C + Dx) ,
u(x, t) = (A ert + B e−rt )(C erx/c + D e−rx/c ) ,
u(x, t) = (A cos(rt) + B sin(rt)) (C cos(rx/c) + D sin(rx/c)) .
Musimy teraz stwierdzić, który z tych profili spełnia nasze warunki brzegowe
(4.10).
Profil 1: ,→
C = 0,
i
C + DL = 0 .
,→ C = D = 0 – fala zerowa, czyli nie stojąca.
Profil 2: ,→
C + D = 0,
i
CerL/c + De−rL/c = 0 .
Mnożymy pierwsze równanie przez −e−rL/c i dodajemy do drugiego
C(erL/c − e−rL/c ) = 0
9
4.2. Fale stojące...
,→ C = 0 ,→ D = 0 – fala zerowa.
Profil 3: ,→
C = 0,
D sin(rL/c) = 0 .
i
,→ albo D = 0 albo sin(rL/c) = 0.
D = 0 ,→ – fala zerowa;
sin(rL/c) = 0 ,→ rL/x = n π , n – liczby całkowite.
Stałe L i c – stałe fizyczne, definiują strunę, więc r musi mieć postać
r=
nπc
.
L
Ostatecznie (postawiając AD → A i BD → B, nasza fala stojąca przyjmuje
postać:
un (x, t) = A cos
nπct
nπct
+ B sin
L
L
sin
nπc
.
L
(4.11)
Są to jedyne fale stojące w drgającej strunie z zamocowanymi końcami.
4.2.4. Mody drgań
Rozwiązanie równania falowego w postaci fali stojącej
nπct
nπct
un (x, t) = A cos
+ B sin
L
L
sin
nπc
,
L
w strunie z zamocowanymi końcami jest stosunkowo prostym typem ruchu
struny. Nosi on nazwę n-tego modu drgań.
Korzystając z tożsamości geometrycznej
nπct
nπct
nπct
+ B sin
= R cos
−δ ,
L
L
L
A cos
R , δ – stałe wyrażające się przez A i B.
Fala stojąca przyjmuje postać
un (x, t) = R cos
nπct
nπc
− δ sin
,
L
L
(4.12)
nπc
o kształcie profilu sin
, którego amplituda jest skalowana okresowo poL
między −R a R. Pierwsze trzy mody drgań są pokazane na rysunkach 4.7,
4.8 i 4.9.
10
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun
X
/
[
Rys. 4.7. Mod 1-szy podstawowy (n = 1) drgań struny umocowanej na obu końcach.
Rys. 4.8. Mod 2-gi (n = 2) drgań struny umocowanej na obu końcach.
Rys. 4.9. Mod 3-ci (n = 3) drgań struny umocowanej na obu końcach.
11
4.2. Fale stojące...
Z postaci fali stojącej (4.12) widać, że wyższe mody drgań mają wyższe
częstości, które słyszymy jako wyższe tony. Liczba
nπc
,
L
ωn =
nosi nazwę częstości kołowej modu n. W praktyce mówi się raczej o liczbie
pełnych drgań na sekundę, czyli o liczbie Hertzów
fn =
n π c/L
nc
=
[Hz] .
2π
2L
Liczba fn jest nazywana częstością modu, a liczby {f1 , f2 , . . .} są nazywane
naturalnymi częstościami struny. Pierwsza naturalna częstość f1 jest
często nazywana tonem podstawowym.
Jeśli wyłączymy część zależną od czasu z fali stojącej, i będziemy rozważali
tylko następujące zagadnienie brzegowe
PDE:
BC:
−c2 v 00 = λ v ,
0 < x < L,
v(0) = 0 ,
v(L) = 0 .
(tu λ ma znak przeciwny niż używane poprzednio!)
to otrzymamy zadanie zwane zagadnieniem Sturma-Liouvilla lub też zagadnieniem własnym. Wielkości
λn =
nπc
L
2
,
będące niezerowymi rozwiązaniami v(x) zagadnienia Sturma-Liouvilla nazywamy wartościami własnymi (eigenvalues). Zauważmy, że
ωn =
q
λn .
Rozwiązania
nπx
,
L
nazywane są funkcjami własnymi (eigenfunctions).
vn (x) = D sin
12
Wykład 4. Modelowanie fal. Drgania strun
Literatura
1. Knobel Roger, An introduction to the mathematical theory of waves,
American Mathematical Society, USA, 2000.
2. Matyka Maciej. Symulacje komputerowe w fizyce. Helion, 2002.
File: fpkFale4.tex,
Version 1.0, 1.IV.2003