Ćwiczenia nr 4 z “Robotyki 1” 1. Pokazać, że elementem odwrotnym

Ćwiczenia nr 4 z “Robotyki 1”
"
#
"
#
RT T
R T
R T −R
1. Pokazać, że elementem odwrotnym do Z =
∈ SE(3) jest Z −1 =
.
0 1
0
1
"
#
A B
Wskazówka: założyć postać wyniku Z −1 =
(jakich rozmiarów są poszczególne
C D
podmacierze?) i pilnie liczyć z warunku Z Z −1 = I 4 .
R
2. Niech będzie dane R = rot(z, ψ). Policzyć ∂R
, a wynik zapisać w postaci AR . Wyrazić
∂ψ
macierz A przy pomocy znanej operacji [·] oraz jednego z wersorów układu kanonicznego
e 1 = (1, 0, 0)T , e 2 = (0, 1, 0)T , e 3 = (0, 0, 1)T . Czy potrafimy “zgadnąć” wynik tego
ćwiczenia dla rot(y, θ) oraz rot(x, φ)? Po zgadnięciu, jednak sprawdzić!
ω b definiujemy zależnościami:
3. Prędkość obrotową w przestrzeni/ciele ω s /ω
ω s ] = Ω s = Ṙ
RR T ,
[ω
ω b ] = Ω b = R T Ṙ
R,
[ω
Dla parametryzacji RP Y (φ, θ, ψ) macierzy R ∈ SO(3) wyliczyć prędkość obrotową w
przestrzeni ω s oraz w ciele ω b jako funkcję φ, θ, ψ oraz ich pochodnych. Wynik przedstawić
w postaci macierzowej: ω s = W ·(ψ̇, θ̇, ψ̇)T . Zastanowić się, jak zoptymalizować obliczenia,
by liczyć tylko niezbędne wyrażenia. Ćwiczenie można zrobić dwoma sposobami:
(a) “fizycznie”: różniczkować i mnożyć aż do skutku (tego nie robić na ćwiczeniach, zbyt
uciążliwe i długotrwałe),
(b) RP Y (φ, θ, ψ) = rot(z, φ)rot(y, θ)rot(x, ψ) i teraz różniczkować standardowo iloczyn
oraz korzystać z wyników zadania poprzedniego. Oczywiście (AB)T = B T AT oraz
rot(os, α)T = rot(os, −α). Uwaga na brak przemienności, zachować właściwą kolejność działań.
Uwaga: po wyliczeniu ω s łatwiej liczyć ω b korzystając z przekształconej zależności
ω s = Rω b
4. Czy teraz potrafimy wytłumaczyć szczególne uporządkowanie współrzędnych wektora ω =
ω ]?
(ω1 , ω2 , ω3 )T w operacji [ω
5. Jak pokazano na wykładzie, skrętnik"v b z układu
# ciała transformuje się do układu przeT ]R
R
R [T
strzeni v s zgodnie z zależnością: v s =
v b . Wyliczyć jak transformuje się skrętnik
0
R
z układu przestrzeni do układu ciała.
"
#
R T
Wskazówka: postępować analogicznie jak przy liczeniu macierzy odwrotnej do
,
0 1
czyli: założyć postać wyniku (jakiej macierzy i jak poklatkowanej?), sformułować równania
i je rozwiązać.
6. (*) Wskazać (opisać) podgrupy grupy SE(3): SO(3), SO(2), SE(2), R1 , R2 , R3 . Ile ich
jest? Jaką maja interpretację robotyczną (czyli w jakich przypadkach ruch robota może
być opisany elementem danej grupy)? Przykłady: ploter xy, robot mobilny poruszający
się na płaszczyźnie xy (albo wspinający się po ścianie yz).
7. (*) Jaki jest wymiar grup SO(4), SO(5), . . ., SO(n)? A także SE(4), SE(5), . . ., SE(n)?
1