Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 9, grupa zaawansowana (5.12.2009)
Cechy podzielności liczb
1. Korzystając z kongruencji pokazać, że liczba naturalna ma taką samą resztę z
dzielenia przez 9, jak jej suma cyfr.
Wskazówka. Wykorzystać fakt, że 10 ≡ 1 (mod 9).
Rozwiązanie. Wiadomo, że każdą liczbę naturalną da się zapisać w postaci
10n an + 10n−1 an−1 + . . . + a0 , gdzie a0 , a1 , a2 , . . . , są kolejno cyframi jedności,
dziesiątek, setek, itd. tej liczby.
Zauważmy, że: 10 ≡ 1 ( mod 9), więc korzystając z własności kongruencji otrzymujemy kolejno: 102 ≡ 1 (mod 9), 103 ≡ 1 (mod 9), . . . , 10n ≡ 1 (mod 9), a zatem, mnożąc te kongruencje stronami przez odpowiednio a1 , a2 , . . . , an , otrzymujemy:
10a1 ≡ a1 (mod 9),
102 a2 ≡ a2 (mod 9),
..
.
n
10 an ≡ an (mod 9).
Dodając kongruencje stronami (i dodając do obu stron a0 ), mamy:
10n an + . . . + 102 a2 + 10a1 + a0 ≡ an + . . . + a2 + a1 + a0 (mod 9).
A zatem reszta z dzielenia liczby naturalnej przez 9 jest równa reszcie z dzielenia sumy cyfr tej liczby przez 9.
Uwaga 1. Zauważmy, że wnioskiem z powyższego zadania jest następująca
cecha podzielności przez 9: Liczba jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy,
gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 9.
Uwaga 2. Analogicznie uzasadnić można, że każda liczba naturalna ma taką
samą resztę z dzielenia przez 3, jak jej suma cyfr.
2. Korzystając z kongruencji pokazać, że liczba naturalna
10n an + . . . + 102 a2 + 10a1 + a0
daje taką samą resztę z dzielenia przez 11, jak liczba
a0 − a1 + a2 − . . . + (−1)n an .
Wskazówka. Wykorzystać fakt, że 10 ≡ −1 (mod 11).
Rozwiązanie. Zauważmy, że: 10 ≡ −1 (mod 11), więc korzystając z własności
kongruencji
otrzymujemy
kolejno:
102
≡
1
mod
(11),
3
n
n
10 ≡ −1 (mod 11), . . . , 10 ≡ (−1) (mod 11), a zatem, mnożąc te kongruencje stronami przez odpowiednio a1 , a2 , . . . , an , otrzymujemy:
10a1 ≡ −a1 (mod 11),
102 a2 ≡ a2 (mod 11),
..
.
n
10 an ≡ (−1)n an (mod 11).
Dodając kongruencje stronami (i dodając do obu stron a0 ), mamy:
10n an + . . . + 102 a2 + 10a1 + a0 ≡ (−1)n an + . . . + a2 − a1 + a0 (mod 11).
Otrzymaliśmy w ten sposób cechę podzielności przez 11: liczba jest podzielna
przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy jej naprzemienna suma cyfr jest podzielna
przez 11.
3. Niech n = 2009! = 1 · 2 · . . . · 2009. Obliczamy sumę cyfr tej liczby, następnie
sumę cyfr otrzymanej w ten sposób liczby i tak dalej, aż otrzymamy liczbę
jednocyfrową. Jaka to liczba?
Wskazówka. Co można powiedzieć o reszcie z dzielenia tej liczby przez 9?
Rozwiązanie. Zauważmy, że liczba 2009! jest podzielna przez 9, bo jest iloczynem czynników, wśród których występuje liczba 9. Korzystając z cechy podzielności przez 9 otrzymujemy, że również suma cyfr tej liczby jest podzielna
przez 9, a także suma cyfr tej sumy i tak dalej. Ostatnia z otrzymanych liczb
również musi być podzielna przez 9. Jest to liczba jednocyfrowa i różna od
zera, więc jest to 9.
4. Niech A = 44444444 , zaś B jest sumą cyfr liczby A, C jest sumą cyfr liczby B
i D jest sumą cyfr liczby C. Ile wynosi D?
Wskazówka. Jaka jest reszta z dzielenia liczby A przez 9? Jak można oszacować, ile cyfr ma liczba A?
Rozwiązanie. Korzystając z własności, że liczba naturalna daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak jej suma cyfr, otrzymujemy, że 4444 ≡ 16 (mod 9),
czyli 4444 ≡ 7 (mod 9). Stąd 44442 ≡ 4 (mod 9) oraz 44443 ≡ 1 (mod 9). Podnosząc obie strony ostatniej kongruencji do potęgi 1481, otrzymujemy, że
44444443 ≡ 1 (mod 9), zatem mnożąc stronami odpowiednie kongruencje mamy:
44444444 = 44444443 · 4444 ≡ 1 · 7 (mod 9).
Zauważmy ponadto, że A < 100004444 = 103·4444 , zatem liczba A ma najwyżej
3 · 4444 cyfr. Każda z tych cyfr jest mniejsza lub równa 9, więc ich suma, czyli
liczba B wynosi najwyżej 119988. Liczba B jest zatem sześciocyfrowa, więc
jej suma cyfr, czyli liczba C, wynosi najwyżej 9 · 6, czyli 54. Aby oszacować
sumę cyfr liczby C zauważmy teraz, że wśród liczb naturalnych mniejszych,
lub równych 56, największą sumę cyfr, równą 13, ma liczba 49. Ostatecznie
otrzymaliśmy więc, że D ¬ 13. Wśród liczb, które dają resztę 7 z dzielenia
przez 9 jest tylko jedna liczba mniejsza lub równa niż 13. Zatem D = 7.
5. Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne
przez 7?
Wskazówka. Rozważyć, jaka może być cyfra jedności mniejszej z szukanych
liczb.
Rozwiązanie. Wykażemy, że takie liczby istnieją. Zauważmy, że jeżeli a i a + 1
są szukanymi liczbami, to cyfrą jedności liczby a musi być 9, gdyż w innym
wypadku suma cyfr liczb a i a + 1 różniłaby się tylko o 1.
Zatem liczby a będziemy szukać wśród liczb, których n ostatnich cyfr to dziewiątki. Zauważmy, że w takiej sytuacji różnica sumy cyfr liczby a i liczby a + 1
wynosi 9n − 1. Aby ta różnica była podzielna przez 7, liczba n powinna dawać
resztę 4 z dzielenia przez 7 (łatwo to sprawdzić, rozważając możliwe reszty z
dzielenia przez 7 liczby n). Taką liczbą jest na przykład 4. Zauważmy, że para
liczb 159999, 160000 spełnia warunki zadania. Ponadto widać, że takich par jest
nieskończenie wiele - z każdej pary liczb spełniającej warunki zadania możemy utworzyć kolejną, dopisując na końcu liczby a siedem dziewiątek, zaś na
końcu liczby a + 1 siedem zer.
6. Udowodnić, że
(a) 2011 | 1 · 3 · 5 · . . . · 2009 + 2 · 4 · 6 · . . . · 2010,
(b) 2009 | 1 · 3 · 5 · . . . · 2007 − 2 · 4 · 6 · . . . · 2008.
Wskazówka. (a) Zauważmy, że k ≡ −(2011 − k) (mod 2011) dla każdego k =
1, 3, . . . , 2009.
(b) Zauważmy, że k ≡ −(2009 − k) (mod 2009) dla każdego k = 1, 3, . . . , 2007.
Rozwiązanie. (a) Zauważmy, że:
1 ≡ −2010 (mod 2011),
3 ≡ −2008 (mod 2011),
..
.
2009 ≡ −2 (mod 2011).
Powyższych kongruencji jest 1005. Mnożąc je stronami otrzymujemy:
1 · 3 · . . . · 2009 ≡ −2 · 4 · . . . · 2010 (mod 2011)
(po lewej stronie otrzymujemy znak minus, gdyż mnożymy nieparzystą liczbę
czynników ujemnych), zatem:
1 · 3 · . . . · 2009 + 2 · 4 · . . . · 2010 ≡ 0 (mod 2011).
(b) Możemy powtórzyć rozumowanie z podpunktu (a). Zauważmy jednak, że
w tym przypadku będą 1004 kongruencje. Zatem mnożąc je stronami otrzymamy:
1 · 3 · . . . · 2007 ≡ 2 · 4 · . . . · 2008 (mod 2009),
czyli
1 · 3 · . . . · 2007 − 2 · 4 · . . . · 2008 ≡ 0 (mod 2009).
7. Pokazać, że istnieje liczba naturalna n taka, że zapis dziesiętny liczby 3n kończy
się układem cyfr 0001.
Wskazówka. Uzasadnić, że istnieją takie liczby naturalne k, l, że k 6= l oraz
3k ≡ 3l (mod 10000).
Rozwiązanie. Jeżeli zapis dziesiętny liczby 3n kończy się układem cyfr 0001,
to 3n ≡ 1 (mod 10000).
Pokażemy najpierw, że istnieją takie różne liczby naturalne k, l, że 3k ≡ 3l ( mod
10000). Rozpatrzmy liczby 1, 2, . . . , 10001. Ponieważ możliwych reszt z dzielenia
przez 10000 jest 10000, z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że wśród
wymienionych liczb istnieją co najmniej dwie, które dają tę samą resztę z
dzielenia przez 10000. Są to szukane liczby k, l.
Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że k < l. Mamy więc
3l − 3k ≡ 0 (mod 10000),
czyli liczba 3k (3l−k − 1) jest podzielna przez 10000. Ponadto wiadomo, że liczby
3k oraz 10000 są względnie pierwsze, zatem liczba (3l−k −1) jest podzielna przez
10000, czyli 3l−k − 1 ≡ 0 (mod 10000), zatem 3l−k ≡ 1 (mod 10000).