Matematyka dyskretna Zestaw 6 – 14/15.04.2016

Matematyka dyskretna
Zestaw 6 – 14/15.04.2016
1. Dla pary liczb 2613 i 2171 proszę znaleźć ich największy wspólny dzielnik za pomocą algorytmu
Euklidesa oraz liczby całkowite a, b takie, że
2613a + 2171b = NWD(2613, 2171).
Wskazówka: zastosować rozszerzony algorytm Euklidesa.
2. Proszę znaleźć odwrotność liczby 160 modulo 841 (tzn. taką liczbę a aby
160a ≡ 1 (mod 841)).
3. Liczba naturalna zapisana w systemie dziesiętnym jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy,
gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Udowodnij i uogólnij tę powszechnie znaną regułę.
4. Niech d = N W D(m, n). Proszę pokazać, że ciąg liczb:
0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m − 1)n mod m
składa się z d kopii ciągu m/d liczb, będącego pewną permutacją ciągu
0, d, 2d, ..., m − d.
5. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania proszę udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata:
n⊥p
np−1 ≡ 1 (mod p),
=⇒
gdzie p jest liczbą pierwszą.
5
6. W jaki sposób, korzystając z małego twierdzenia Fermata, można pokazać, że liczba 22 + 1 jest
złożona?
7. Jak za pomocą dwóch naczyń o pojemnościach 7 i 17 litrów nalać do basenu 19 litrów wody.
Zakładamy, że basen ma nieoganiczoną pojemność oraz, że wodę można nalewać i wylewać z
basenu tylko pełnymi naczyniami.
Jaka jest minimalna pojemność basenu przy, której można wykonać to zadanie?
Czy da się wykonać to zadanie za pomocą naczyń pojemnościach 6 i 15 litrów? (Proszę uzasadnić
odpowiedź.)
8. Proszę pokazać, że istnieje stała b (b ≈ 1.25) taka, że wszystkie liczby
b
2b
b2b c, b22 c, b22 c, . . .
są pierwsze. Wskazówka: skorzystać z tw. Bertranda-Czebyszewa.
Michał Piróg
e-mail: [email protected]
telefon: +48 12 664 4805
pokój: D-2-19
konsultacje: środa, 08:00 - 09:30