Matematyka Dyskretna Zestaw 3 1. (i) Obliczyć NWD(252,198

Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 3)
Matematyka Dyskretna
Zestaw 3
1. (i)
(ii)
Obliczyć N W D(252, 198), N W W (252, 198), N W D(221, 754) i N W W (221, 754).
Znaleźć takie liczby całkowite x i y, że:
a) 252x + 198y = N W D(252, 198), b) 221x + 754y = N W D(221, 754).
2. Obliczyć N W D(263 − 1, 291 − 1).
3. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ułamek
11n+2 14n+3
calność ułamków: 2n−1
9n+4 , 18n+5 , 21n+4 .
2n+1
9n+4
4. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba
jest nieskracalny. Zbadać skra19n+7
7n+11
jest całkowita.
5. Znaleźć resztę z dzielenia:
a) 39100 przez 38,
b) 16231 + 550 przez 17,
c) 3 · 1818 − 500 · 5120 przez 8,
d) 423200 · 562100 przez 7.
6. Pokazać, że
a) 222333 + 333222 dzieli się przez 13,
b) 22225555 + 55552222 dzieli się przez 7.
7. Znaleźć ostatnią cyfrę liczby: a) 19123 , b) 23212 + 41256, c) 7 · 312553 − 6543.
8. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby: a) 7204 , b) 311121 + 482, c) 203228 − 1234.
9. Rozwiązać kongruencje:
a) 4x ≡ 3 (mod 7), b) 3x ≡ 4 (mod 8),
c) 3x ≡ 10 (mod 12),
d) 69x ≡ 192 (mod 201)
10. Rozwiązać kongruencję x5 − 2x + 1 ≡ 0 (mod 7).
11. (i) W ciele Z5 obliczyć: a) 2 + 3 · 4, b) 320 − 46 , c) 2−1 , d) 2−8 − 4 · 3−6 .
(ii) W ciele Z29 obliczyć: a) 27 · 5 − 19, b) 12−1 , c) 4 · 21−3 + 34 · 5 − 2−6 .
12. W ciele Z17 rozwiązać równania: a) 8x = 1, b) 9x = 16, c) −10x = 11, d) x2 + 3x + 11 = 0.
13. (a) Wykazać, że ostatnie cyfry liczb 2n (n = 1, 2, 3, . . .), napisanych w układzie dziesiętnym
tworzą ciąg okresowy. Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby 21000
(b) Zbadać ciąg reszt z dzielenia przez 100 liczb 2n (n = 1, 2, 3, . . .).
(c) Dowieść, że reszty z dzielenia przez 1000 liczb 2n (n = 1, 2, . . .) tworzą ciąg okresowy.
14. a) Wykazać, że liczba naturalna m jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica
między sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach nieparzystych i sumą jej cyfr znajdujących się
na miejscach parzystych jest podzielna przez 11.
(b) Opierając się na kongruencjach 1000 ≡ 1 (mod 27), 1000 ≡ 1 (mod 37) wyprowadzić cechy
podzielności przez 27 i przez 37.
1