TEORIA GIER – 5 Rozwia zywanie gier macierzowych Zadania

TEORIA GIER – 5
Rozwia֒ zywanie gier macierzowych
Zadania dotycza֒ gier o sumie zerowej. W rozwia֒zaniach prosze֒ nie używać komputera.
W gre֒ o kieszonkowe zagramy rankingowo na wykladzie 22.11. Ja be֒ de֒ Liskiem Chytruskiem, a każdy
z Państwa – Pomyslowym Dobromirem.
ZD1. Czy drugi problem jest dualny do pierwszego (który jest zagadnieniem LP)? Jeśli nie, to sformuluj
zagadnienie dualne do zagadnienia pierwszego i zapisz je zarówno w postaci macierzowej jak i w postaci
nierówności.
(a)



,
p
,
p
,
x)
=
x
(max)
g(q1 , q2 , q3 , q4 , y) = y (min)
f
(p

1
2
3








−2p2 − 4p3 + x 6 0
−q2 − 3q3 + q4 + y > 0









−2q1 − q4 + y > 0
−p1 − p3 + x 6 0

−3p1 + 2p3 + x 6 0
−4q1 − q2 + 2q3 + y > 0








p1 − p2 + x 6 0
q1 + q2 + q3 + q4 > 1








p1 + p2 + p3 6 1
−q1 − q2 − q3 − q4 > −1



−p1 − p2 − p3 6 −1
(b)




f (p1 , p2 , p3 , x) = x (max)
g(q1 , q2 , q3 , q4 , y) = y (min)








−q2 − 3q3 + q4 + y > 0
−2p2 − 4p3 + x 6 0




−p − p + x 6 0
−2q1 − q4 + y > 0
1
3




−3p
+
2p
+
x
6
0
−4q1 − q2 + 2q3 + y > 0

1
3








p1 − p2 + x 6 0
q1 + q2 + q3 + q4 > 1



p1 + p2 + p3 6 1
ZD2. Znajdź bez skomplikowanych rachunków poziomy bezpieczeństwa obu graczy w podanych grach.
t1 t2 t3 t4 t5
a1 0 -1 2 2 2
a
1 0 -1 2 2
(a) 2
a3 -2 1 0 -1 2
a4 -2 -2 1 0 -1
a5 -2 -2 -2 1 0
a1
a
(b) 2
a3
a4
a5
t1 t2 t3 t4 t5
3 2 5 5 5
4 3 2 5 5
1 4 3 2 5
1 1 4 3 2
1 1 1 4 3
t1 t2 t3
a1 3 2 5
a
4 -3 -2
(c) 2
a3 1 4 3
a4 1 1 -4
a5 -6 1 1
t4 t5
-5 -6
-5 -5
-2 5
-3 2
-4 3
ZD3.
(a) Korzystaja֒c z metody graficznej, wyznacz wartość podanej gry oraz strategie֒
A B C
optymalna֒ gracza 1.
G -1 0 5
(b) Uzasadnij na podstawie rysunku, że każda strategia optymalna gracza 2 należy D 3 -2 -8
do conv {A, B}.
(c) Na podstawie powyższej obserwacji wyznacz wszystkie strategie
bezpieczeństwa gracza 2.
ZD4. Rozwia֒ż podane gry.
L P
K L M N
A B C D
L P Q R
A -1 2
A 1 -1 2 2
X 1 0 0 0
A 2 0 1 2
(a) B -4 1 3 -4
(b) B 1 0
(c) Y 0 2 0 0
(d) B 2 3 -1 -1
C 2 -3
C 4 -2 -4 -3
Z 0 0 3 0
C -1 -1 0 3
U 0 0 0 4
D 0 1
D 3 4 1 -4
ZD5. Lisek Chytrusek i Pomyslowy Dobromir wybieraja֒ niezależnie liczbe֒ naturalna֒ z przedzialu od
1 do 100. Jeżeli gracz wybral liczbe֒ o 1 wie֒ ksza֒ niż przeciwnik, dostaje od przeciwnika 1zl. Gracz,
który wybral liczbe֒ o przynajmniej 2 wie֒ ksza֒ niż przeciwnik, placi przeciwnikowi 2zl. Jeśli obie liczby
sa֒ równe, nikt nic nie wygrywa. Rozwia֒ż te֒ gre֒ .
ZD6. Geralt i Ciri graja֒ w naste֒ puja֒ca֒ gre֒ . Na pocza֒tku gry Geralt placi Ciri 1zl. Naste֒ pnie pokazuja֒
jednocześnie dowolna֒ liczbe֒ palców u jednej re֒ ki (od 1 do 5), a jeśli Geralt pokaże tyle samo palców
co Ciri, to Ciri placi Geraltowi tyle zl, ile palców pokazala. Jeżeli natomiast oboje pokaża֒ inne liczby
palców, to nikt nic nie wygrywa. Rozwia֒ż te֒ gre֒ .
1
2
ZD7. Pomyslowy Dobromir poprosil Liska Chytruska o kieszonkowe. Lisek odrzekl, że da mu tyle, ile
Dobromir jest w stanie wygrać (w standardowym sensie, czyli w sensie średniej ważonej) w naste֒ puja֒cej
grze. Na pocza֒tku obaj niezależnie mówia֒ ,,pas” lub ,,gram”. Jeżeli spasuje Dobromir, to przy ,,pasie”
Liska Dobromir placi mu 100zl, a w przypadku ,,gram” Liska dostaje od niego 100zl. Gdy Dobromir
powie ,,gram”, a Lisek spasuje, wtedy Lisek placi Dobromirowi 500zl. Gdy obaj zdecyduja֒ ,,gram”,
wtedy cala֒ zabawe֒ powtarzaja֒ jeszcze raz, na analogicznych zasadach. Jeżeli za drugim razem nikt nie
spasuje, trzecia (i ostatnia) tura zabawy różni sie֒ od poprzednich tym, że jeśli obaj powiedza֒ ,,gram”, to
Dobromir placi Liskowi 100zl. Na jakie kieszonkowe może liczyć Dobromir ,,w najgorszym przypadku”?
W grze tej wyplata jest liczona (jak zwykle) zgodnie z regulami rachunku prawdopodobieństwa. Np. jeśli
Lisek w pierwszym etapie wybierze GRAM, a Dobromir zastosuje strategie֒ 12 PAS+ 12 GRAM, to wyplata֒
Dobromira be֒ dzie 12 · 100 + 12 a, gdzie a jest wyplata֒ Dobromira w grze z drugiego etapu.
ZD8. Zadanie nieobowia֒zkowe (ale ciekawe).
Zalóżmy, że mamy gre֒ macierzowa֒, o której wiemy, że B1 > 0. Chcemy znaleźć B1 i strategie֒ optymalna֒
(p1 , p2 , . . . , pn ) gracza pierwszego, sprowadzaja֒c problem do LP. Uzasadnij omawiana֒ na wykladzie
wlasność, że warunek p1 + p2 + . . . + pn = 1 można zasta֒pić przez p1 + p2 + . . . + pn 6 1, tzn. rozwia֒zanie
zagadnienia LP nie zmieni sie֒ po wykreśleniu nierówności −p1 − p2 − . . . − pn 6 −1.