Dodatek 2. Zastosowania równań różniczkowych rzędu drugiego

MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Dodatek 2.
Zastosowania równań różniczkowych rzędu drugiego
Zastosowanie równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego pokażemy na przykładzie układu elektrycznego i mechanicznego (rysunek 1).
L
6 E(t)
r
C
r
m
R
Rysunek 1: Układ elektryczny RLC i układ mechaniczny.
• Układ elektryczny
Z drugiego prawa Kirchhoffa wynika, że: uL + uR + uC = E(t). Ponieważ
uR = Ri,
uL = L
di
,
dt
i=C
duC
,
dt
więc napięcie na kondensatorze opisane jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego (w którym u = uC ) w postaci:
d2 u R du
1
1
+
+
u=
E(t).
2
dt
L dt
LC
LC
uL
uR
uC
i(t)
E(t)
spadek napięcia na cewce
spadek napięcia na oporniku
napięcie na okładkach kondensatora
natężenie prądu w obwodzie w chwili t
wymuszenie, zmienne w czasie napięcie źródła prądu
R – rezystancja,
L – indukcyjność,
C – pojemność kondensatora.
• Układ mechaniczny
Rozważmy masę m zawieszoną na sprężynie.
Na podstawie drugiego prawa Newtona układ możemy opisać równaniem
m
d2 x
= Fg + Fs + Fd + F (t).
dt2
1
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
x(t)
Fg = mg
Fs = −k(L0 + x)
Fd = −c dx
dt
F (t)
m
g
k
L0
c
–
–
–
–
–
rok ak. 2011/2012
wychylenie od stanu równowagi w chwili t
siła grawitacji
siła sprężystości
siła tłumienia
wymuszenie
masa,
stała grawitacji,
współczynnik sprężystości,
wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi,
współczynnik tłumienia.
W przypadku, gdy układ jest w stanie równowagi statycznej, mamy: mg = kL0 . Wtedy równanie ruchu ma postać
c dx
k
1
d2 x
+
+
x
=
F (t).
dt2
m dt
m
m
Analogie między parametrami układów:
elektrycznym
mechanicznym
ładunek
Cu(t) = q(t) x(t) wychylenie
indukcyjność
L
m
masa
rezystancja
R
c
wsp. tłumienia
1
pojemność
C
odwrotność wsp. sprężystości
k
wymuszenie
E(t)
F (t) wymuszenie
Wobec przedstawionych analogii rozpatrzymy jedno równanie teoretyczne w postaci:
dx
d2 x
+ λ + ω02 x = f (t),
2
dt
dt
λ > 0,
ω0 > 0.
PRZYPADEK 1: Układ bez wymuszenia - f (t) = 0
d2 x
dx
+
λ
+ ω02 x = 0
dt2
dt
Wielomian charakterystyczny P (r) = r2 + λr + ω02 . Wtedy:
P (r) = 0 ⇔ r =
−λ ±
2
q
λ2 − 4ω02
2
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Układ bez tłumienia (idealny) λ = 0.
d2 x
+ ω02 x = 0.
2
dt
x(t) = C1 cos ω0 t + C2 sin ω0 t = A0 cos(ω0 t − ϕ), A0 =
(1)
q
C12 + C22 ,
ϕ = arc tg
C2
.
C1
Równanie (1) opisuje ruch harmoniczny, przy czym A0 oznacza amplitudę, natomiast ω0 częstość
x(t) 6
-
t
Rysunek 2: Wykres ruchu harmonicznego.
oraz ϕ–przesunięcie fazowe.
Układ z tłumieniem (rzeczywisty) λ 6= 0.
W zależności od parametrów układu wyróżniamy trzy sytuacje.
a) Układ słabo tłumiony, gdy √
λ < 2ω0 . Wtedy wielomian charakterystyczny P (r) ma pierwiastki
4ω02 −λ2
j, więc
zespolone sprzężone r = − λ2 ±
2
x(t) 6
-
t
Rysunek 3: Wykres ruchu słabo tłumionego.
λ
λ
x(t) = e− 2 t (C1 cos µt + C2 sin µt) = A0 e− 2 t cos(µt − ϕ),
q
A0 =
q
C12 + C22 ,
µ=
4ω02 − λ2
,
2
3
ϕ = arc tg
C2
.
C1
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
b) Układ krytycznie tłumiony, gdy λ = 2ω0 . Wtedy P (r) ma podwójny pierwiastek rzeczywisty
r1,2 = − λ2 , czyli
x(t) 6
λ
x(t) = e− 2 (C1 + C2 t).
-
t
Rysunek 4: Wykresy ruchu krytycznie tłumionego.
c) Układ silnie tłumiony,
√ gdy λ > 2ω0 . Wielomian charakterystyczny P (r) ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste r = − λ2 ±
λ2 −4ω02
,
2
więc
q
−λ
t
2
x(t) = e
νt
(C1 e + C2 e
−νt
),
ν=
λ2 − 4ω02
.
2
x(t) 6
-
t
Rysunek 5: Wykres rozwiązania dla układu silnie tłumionego bez wymuszenia. (Układ może mieć co
najwyżej jeden punkt równowagi)
PRZYPADEK 2: Układ z wymuszeniem - f (t) = f0 cos ωt .
d2 x
dx
+ λ + ω02 x = f0 cos ωt
2
dt
dt
Układ bez tłumienia (idealny) λ = 0 .
d2 x
+ ω02 x = f0 cos ωt
dt2
Rozwiązaniem ogólnym stowarzyszonego równania jednorodnego jest
xc (t) = A0 cos(ω0 t − ϕ).
4
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Przewidywane rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego może mieć jedną z postaci:
a) ω 6= ω0
xs (t) = A cos ωt + B sin ωt
0
x(t) = A0 cos(ω0 t − ϕ) + L(ω2f−ω
2 ) cos ωt
0
x(t) 6
-
t
Rysunek 6: Wykres rozwiązania dla układu idealnego, gdy ω 6= ω0 .
b) ω = ω0
xs (t) = t(A cos ω0 t + B sin ω0 t)
x(t) = A0 cos(ω0 t − ϕ) + ωf00 t sin ω0 t.
Zmiana x(t) jest oscylacyjna, ale amplituda rośnie przy t → ∞. Wykres x(t) przedstawiony jest na
rysunku 7.
x(t) 6
-
t
Rysunek 7: Wykres rozwiązania dla układu w rezonansie, (ω = ω0 ).
Układ z tłumieniem (rzeczywisty) λ 6= 0.
Rozważmy nasze równanie w sytuacji, gdy λ < 2ω0 .
d2 x
dx
+ λ + ω02 x = f0 cos ωt
2
dt
dt
Rozwiązaniem ogólnym stowarzyszonego równania jednorodnego jest
λ
xc (t) = A0 e− 2 t cos(µt − ϕ).
Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci xp (t) = A cos ωt + B sin ωt,
xs (t) =
(ω02
−
f0
2
ω )2
+ λ2 ω 2
[(ω02 − ω 2 ) cos ωt + λω sin ωt).
5
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Rozwiązaniem ogólnym jest
λ
x(t) = A0 e− 2 t cos(µt − ϕ) +
f0
cos(ωt − η)
H
gdzie
H=
q
(ω02 − ω 2 )2 + λ2 ω 2 ,
η = arc tg
ω02
λω
.
− ω2
x(t) 6
-
t
Rysunek 8: Złożenie składowej ustalonej i nieustalonej.
Zauważmy, że jest to złożenie dwóch oscylacji harmonicznych. Pierwszą z nich nazywamy składową
przejściową, drugą zaś składową ustaloną (wymuszoną). Zatem x(t) = xc (t) + xs (t). Przy czym
lim xc (t) = 0
- składowa przejściowa
t→∞
lim x(t) = xs (t)
t→∞
- składowa ustalona
ZADANIA
Dane jest równanie opisujące ruch harmoniczny. Wyznaczyć: okres (T =
(f = T1 ) oraz amplitudę (A) i fazę (φ) drgań, jeśli:
1.
d2 x
dt2
+ 4x = 0,
2.
d2 x
dt2
+ ω02 x = 0, x(0) = x0 ,
x(0) = 2,
dx
(0)
dt
2π
),
ω0
częstotliwość
=4
dx
(0)
dt
= v0 , gdzie ω0 , x0 , v0 są stałymi.
Wyznaczyć równanie ruchu określone danym zagadnieniem początkowym. W każdym
przypadku określić rodzaj ruchu oraz wykonać szkic wykresu opisującego ten ruch:
3.
d2 x
dt2
+ 2 dx
+ 5x = 0, x(0) = 1,
dt
dx
(0)
dt
=3
4.
d2 x
+ 3 dx
+ 2x = 0, x(0) = 1,
dt
dx
(0)
dt
=0
dt2
6
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
2
5. 4 ddt2x + 12 dx
+ 5x = 0, x(0) = 1,
dt
6.
d2 x
dt2
+ 2 dx
+ x = 0, x(0) = −1,
dt
2
7. 4 ddt2x + 4 dx
+ x = 0, x(0) = 4,
dt
8.
d2 x
dt2
+ 4 dx
+ 7x = 0, x(0) = 2,
dt
dx
(0)
dt
dx
(0)
dt
rok ak. 2011/2012
= −3
=2
dx
(0)
dt
= −1
dx
(0)
dt
=6
9. Rozważmy układ, którego ruch opisany jest równaniem różniczkowym:
d2 x
dx
+ 2α + x = 0.
2
dt
dt
Wyznaczyć wszystkie wartości dodatniej stałej α, dla których układ jest:
(a) słabo tłumiony,
(b) krytycznie tłumiony,
(c) silnie tłumiony.
W przypadku (c) rozwiązać układ. Czy układ opisany równaniem różniczkowym ma punkt
równowagi, gdy prędkość początkowa jest równa zero.
10. Rozważmy tłumiony układ, którego ruch opisany jest przez równanie:
d2 x
dx
+ 2 + 5x = 17 sin 2t,
2
dt
dt
x(0) = −2,
dx
(0) = 0.
dt
(a) Wyznaczyć rodzaj tłumienia.
(b) Rozwiązać zagadnienie początkowe oraz podać składową ustaloną i przejściową.
11. Niech ruch układu będzie opisany przez:
dx
d2 x
2
+
ω
x
=
F
sin
ωt,
x(0)
=
0,
(0) = 0.
0
0
dt2
dt
Wyznaczyć rozwiązanie, wiedząc że układ jest rezonansowy.
12. Rozważmy układ opisany równaniem:
d2 x
dx
+
3
+ 2x = 10 sin t.
dt2
dt
Wyznaczyć składową ustaloną rozwiązania xp i przedstawić odpowiedź w postaci xp =
A0 sin(t − ϕ), dla odpowiednich stałych A0 i ϕ.
13. Rozważmy silnie tłumiony ruch opisany równaniem:
d2 x
c dx
k
F0
+
+ x=
cos ωt.
2
dt
m dt
m
m
Wyprowadzić składową ustaloną rozwiązania w postaci:
xp =
F0
[(k − mω 2 ) cos ωt + cω sin ωt].
(k − mω 2 )2 + c2 ω 2
7
Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
rok ak. 2011/2012
14. Ruch opisany jest równaniem:
d2 x
+ 16x = 130e−t cos t.
dt2
Określić rodzaj ruchu oraz wyznaczyć składowe: ustaloną i przejściową.
15. Wyznaczyć składową ustaloną napięcia w obwodzie RLC, w którym: R = 32 Ω, L = 12 H,
C = 32 F oraz E = 13 cos 3t V.
16. Rozważmy układ RLC, gdzie E(t) = E0 cos ωt V, E0 oraz ω są stałymi. Jeżeli w układzie
nie ma rezystancji, pokazać że ładunek na kondensatorze spełnia:
lim q(t) = +∞
t→∞
√
wtedy i tylko wtedy, gdy ω = 1/ LC. Co się stanie z prądem w obwodzie dla t → ∞?
17. W obwodzie RLC, gdzie R = 3Ω, L = 12 H, C = 51 F oraz E(t) = 2 cos ωt V. Wyznaczyć
napięcie w obwodzie w czasie t i wyznaczyć taką wartość ω, dla której amplituda składowej
ustalonej napięcia jest największa.
18. Wyznaczyć prąd w obwodzie RLC, gdzie R2 < 4L/C, jeśli E(t) = E0 e−at oraz E0 , a są
stałymi dodatnimi.
8