XXXIII OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ

XXXIII OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ
Zawody III stopnia
Zadania dla grupy mechaniczno-budowlanej
Zadanie 1
Na skalistym, nieodksztaªcalnym i poziomym podªo»u wybudowano bardzo dªug¡ »elbetow¡
±cian¦ oporow¡ o przekroju poprzecznym w ksztaªcie litery L (rys.1). Wysoko±¢ ±ciany jest równa h ,grubo±¢ jej cz¦±ci pionowej jest b, grubo±¢ za± cz¦±ci poziomej c. Dªugo±¢ cz¦±ci poziomej
jest x i nale»y j¡ wyznaczy¢ z dalej podanych warunków zadania. ‘ciana oporowa utrzymuje
nasyp z dobrze zag¦szczonego gruntu o poziomym naziomie. Na caªy naziom mo»e dziaªa¢ obci¡»enie tªumem ludzi o intensywno±ci q. ‘ciana pod wpªywem poziomego parcia gruntu mo»e
ulec poziomemu przesuni¦ciu lub obrotowi wokóª punktu osi A A. Przesuni¦ciu i obrotowi
przeciwdziaªa ci¦»ar wªasny ±ciany oraz pionowy nacisk gruntu na jej cz¦±¢ poziom¡ o dªugo±ci
x oraz pionowe obci¡»enie q na tej»e dªugo±ci.
Nale»y wyznaczy¢ najmniejsz¡ dªugo±¢ x poziomej cz¦±ci ±ciany tak, aby speªnione przesuni¦cie i obrót ±ciany nie wyst¡piªy, przy czym wymagane jest zachowanie wspóªczynników
bezpiecze«stwa: na przesuni¦cie n1 oraz na obrót n2 . Wspóªczynnika tarcia posuwistego betonu
o podªo»e jest równy f .
Wskazówki:
1. Poniewa» ±ciana jest bardzo dªuga, to wystarczy zanalizowa¢ sytuacj¦ wyst¦puj¡c¡ tylko
na metrze jej dªugo±ci.
2. Rozpatruj¡c mo»liwo±¢ przesuni¦cia i obrotu ±ciany, nale» j¡ traktowa¢ jako bryª¦ sztywn¡.
3. Na ±cian¦ dziaªa poziomo skierowana siªa parcia gruntu. Bryªa parcia gruntu jestw przekroju poprzecznym trójk¡tem prostok¡tnym. K¡t mi¦dzy poziomym podªo»emi przeciwprostok¡tn¡ trójk¡ta jest równy ' (jest to tzw. k¡t tarcia wewn¦trznego gruntu). Pozioma siªa parcia Zh jest zaczepiona w ±rodku ci¦»ko±ci tego trójk¡ta. Pami¦ta¢ trzeba,
»e obci¡»ony naziom zwi¦ksza poziome parcie gruntu. Dlatego wysoko±¢ trójk¡ta powinna by¢ równa nie wysoko±ci sciany h lecz zwi¦kszona o tzw. wysoko±¢ zast¦pcz¡ gruntu
hz = q=2 .
4. Wzory na parcie gruntu s¡ w ka»dym poradniku. Na wszelki wypadek podano je jednak
poni»ej.
Partnerem Olimpiady jest rma Polkomtel S.A. operator sieci Plus GSM
1
Poziome parcie gruntu przy obci¡»onym naziomie (na metr dªugo±ci ±ciany)
h
'
!
Zh = 2 2 h + hz tg2 45 2 :
Siªa Zh jest zaczepiona na wysoko±ci e od podªo»a, przy czym;
h h + 3 hz
e= 3 h+2h :
z
5. Zadania najlepiej jest rozwi¡za¢ stosuj¡c od razu dane liczbowe.
Dane liczbowe:
h = 6 m; b = 0; 5 m; c = 1; 0 m; q = 4 kN/m2; ci¦»ar obj¦to±ciowy »elbetu 1 = 26 kN/m3;
ci¦»ar obj¦to±ciowy gruntu 2 = 18kN/m3; k¡t tarcia wewn¦trznego gruntu ' = 30; n1 = 1; 2;
n2 = 1:3; f = 0; 5.
Rys.1
Autor:
W. Radomski
Koreferent: J. Bzowski
2
Zadanie 2
Na rys.1 pokazano ideowy schemat ªo»yskowanej ±lizgowo walcarki do walcowania grubej
blachy o nominalnym wymiarze N = 10 mm. Wymiary nominalne ±rednic walców 1 i ±rednic
otworów w korpusie 2 s¡ jednakowe i wynosz¡ Dw = Do = 40 mm. Wspóªrz¦dne rozstawienia
otworów w korpusie wzdªu» osi poziomej X = 40 mm, a wzdªu» osi pionowej Y = 30 mm.
›¡damy, aby grubo±¢ blachy po walcowaniu zawieraªa si¦ w granicach 9; 9 N 10; 1 mm.
Pasowanie walców w otworach jest jednakowe i wynosi 40H 8=f 8. Dla tego pasowania tolerancje
otworu To i waªka Tw s¡ sobie równe i wynosz¡ Tw = To = 0; 039 mm.
W rozwi¡zaniu zadania nale»y wykona¢:
1. wyznaczy¢ zale»no±¢ na wymiar wynikowy N .
2. obliczy¢ optymalne tolerancje TX i TY wspóªrz¦dnych X , Y ze wzgl¦du na koszty wykonania otworów w korpusie. Zakªadamy, »e zale»no±¢ kosztów od tolerancji wynosi:
C
KY = T ;
Y
C
KX = T ;
X
gdzie C { staªa kosztów stanowiska roboczego, na którym wykonywane s¡ otwory.
Wskazówka: Do wyznaczenia równania na tolerancj¦
TN = f TX ; TY
nale»y skorzysta¢ z wzoru na sum¦ tolerancji
TN =
X
@N
@ TAi TAi :
(i)
@N wyliczamy zgodnie z nast¦puj¡cym przykªadem.
Warto±ci pochodnych cz¡stkowych @T
Ai
q
Przykªad. Zaªó»my »e pewna funkcja F (U; V; W ) ma posta¢ : F = a U 2 + V 2 + b W , gdzie
ÿa" i ÿb" to dowolne staªe. Pochodne cz¡stkowe takiej funkcji wynosz¡:
@F q a U
@U = U 2 + V 2 ;
@F q a V
@V = U 2 + V 2 ;
3
@F
@W = b :
Rys.1. Schemat ideowy walcarki: 1 { walce, 2 { korpus
Autor:
J. Jezierski
Koreferent: J. Bzowski
Zadanie 3
Startuj¡cy samolot porusza si¦ poziomo po pasie startowym ze staªym przyspieszeniem a
i pocz¡tkow¡ pr¦dko±ci¡ wynosz¡c¡ v0. ‘migªo o ±rednicy d wykonuje n obrotów na minut¦.
‘migªo wykonane jest z materiaªu o wytrzymaªo±ci na rozrywanie i g¦sto±ci .
Zadanie
1. Wyznaczy¢ równanie ruchu ko«ca ±migªa (punkt A na rysunku).
2. Wyprowadzi¢ wzory na charakterystyczne parametry toru tego punktu.
3. Obliczy¢ caªkowit¡ pr¦dko±¢ i caªkowite przyspieszenie ko«ca ±migªa po czasie t od pocz¡tku ruchu.
4
4. Oszacowa¢ obroty przy których ±migªo ulegªo by rozerwaniu. Dla uproszczenia przyj¡¢, »e
±migªo stanowi belk¦ o staªym przekroju. Szacowanie przeprowadzi¢ dla trzech podanych
materiaªów { skomentowa¢ wyniki.
Dane liczbowe
t = 10 s; n = 2000 obr/min; a = 3 m/s2; d = 2 m; v0 = 0 m/s
Materiaª [Pa] kg/m3
Kewlar
3; 6 109
1440
Stal
1; 0 109
7800
Drewno 1; 0 108
700
Wskazówki i uwagi
1. Przyj¡¢ ukªad wspóªrz¦dnych zwi¡zany z ziemi¡ z osi¡ 0 x pokrywaj¡c¡ si¦ z osi¡
obracaj¡cego si¦ ±migªa.
2. W chwili pocz¡tkowej rami¦ ±migªa ustawione byªo pionowo zgodnie z dodatnim kierunkiem osi 0 y.
3. W punkcie 4 pomin¡¢ ±rednic¦ waªu do którego mocowane jest rami¦ ±migªa.
4. Równania ruchu stanowi¡ ukªad równa«: x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Autor:
J. Bzowski
Koreferent: M. Jaworski
5