Funkcja liniowa – powtórzenie wiadomości 1. Napisz wzór funkcji

1.
a)
b)
c)
Funkcja liniowa – powtórzenie wiadomości
Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że:
miejscem zerowym funkcji jest liczba 2 oraz f(3)=3,
miejscem zerowym funkcji jest liczba 4 i i wykres funkcji przecina oś OY w punkcie A(0,12) .
do jej wykresu należą punkty A( 3,2 3  3) oraz B(4,2 3) .
d) jej wykres przechodzi przez punkt A(1,4  3) i jest nachylony do osi OX pod kątem 5  rad.
6
e)
f)
g)
h)
i)
jej wykres jest równoległy do wykresu funkcji y=3 i przechodzi przez punkt A(4,1)
jej wykres jest równoległy do wykresu funkcji y  2 x  2 i przechodzi przez punkt A( 2 ,4) .
jej wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y  3  2 2 x i przechodzi przez punkt A(1,4  2 2 )
f (4)  12 i f ( x)  0  x   ,2
f ( 2 )  2 i  f ( x)  0
xR
2. Wyznacz kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX, jeśli wiadomo, że do jej wykresu należą
punkty A( 2 ,3 2 ) oraz B(2 2 ,0) .
3. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) f ( x)   1 x  1  2
2
b) f ( x)  1 x  3  1
2
c) f ( x)  x  1  x d) f ( x)  x 2  4 x  4  3 x  1
8
2
dla x   ,  1
3 x  3
e) f ( x)   x  2  1 dla x   1,3

3
dla x  3,   


4. Wyznacz te wartości parametru m, dla których miejscem zerowym funkcji f ( x)  m  2 x  1 jest liczba
 1.
5. Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji liniowych f ( x)  2 x  3m oraz
g ( x)  m  4 x  2 są równoległe.
6. Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji liniowych f ( x)  2m  1x  4 oraz
g ( x)  3x  m są prostopadłe.
7. Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja liniowa o wzorze f ( x)  (3  m  1) x  2 jest rosnąca.
8. Rozwiąż równania i nierówności:
a) x  3  2  3
b) 2 x  3  1  x
c) x  2  x  2 x
d) 3  x  5  1
e) x  1  1  x
f) x2  4 x  4  x2 8x  16  6
9. Dane jest równanie liniowe z niewiadomą x. Przedyskutuj liczbę i rodzaj rozwiązań równania ze
względu na wartości parametrów.
a) mx  m2  2x  4
b) x  a  x
b
10. Dla jakich wartości parametru m ( m  R ) układ równań 4 x  2m  1 y  m z niewiadomymi x i y jest

2x  3y  1
oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny? W przypadku istnienia rozwiązania wyznacz je.
11. Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników
yz

x  3  1

xz
4
y 
4

z  x  y  3

4
12. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań  2 x  y  3m jest parą liczb
x  y  m  4
dodatnich?
13. Zilustruj zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie i
nierówność:
a) x  y  y  4
b) x  y  x  y  2
14. Rozwiąż algebraicznie lub graficznie układ równań  x  2  y  3  2
 x  y  3 1
15. Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają układ nierówności
x 2 y  4

 y  x 1
16.Ile wody należałoby dolać do 3kg ośmioprocentowej solanki, aby otrzymać roztwór
pięcioprocentowy?
17. Z solanki czteroprocentowej odparowano 3kg wody. Otrzymana solanka ma stężenie 10%. Ile waży
ta solanka?
18. Ile soli należy dosypać do 9kg solanki o stężeniu 2%, aby otrzymać solankę o stężeniu 10%?
19. Ile trzeba zmieszać roztworu wodnego soli kuchennej o stężeniu 26% z roztworem soli kuchennej o
stężeniu 4%, żeby otrzymać 11kg roztworu o stężeniu 18%?
20. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = x  5  2 x 2  2 x  1 .
a) Napisz wzór funkcji nie używając symbolu wartości bezwzględnej i pierwiastka kwadratowego.
b) Narysuj wykres tej funkcji.
c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = k, kR, ze względu na wartość parametru k.
21. Pan Kowalski otrzymuje stałe wynagrodzenie miesięczne oraz dodatkowo wynagrodzenie za
nadgodziny. Za każdą godzinę nadliczbową otrzymuje o 50% więcej niż za godzinę etatową. W marcu
miał 20 nadgodzin i otrzymał 1690 zł. W kwietniu zaś 16 nadgodzin i otrzymał 1636 zł.
a) Oblicz:
1) wysokość stałego wynagrodzenia miesięcznego,
2) stawkę za godzinę etatową,
3) stawkę za godzinę nadliczbową.
b) Napisz wzór opisujący wynagrodzenie miesięczne pana Kowalskiego w zależności od liczby
nadgodzin.
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
1. Z tego samego miejsca wyruszyli w tę samą stronę piechur i rowerzysta. Piechur wyszedł o godzinie 600 i
maszerował z prędkością 4 km/h, a rowerzysta wyjechał o godzinie 1000 i jechał z prędkością 12 km/h. O
której godzinie rowerzysta dogonił piechura? Zadanie rozwiąż graficznie.
2. Z 20-procentowego roztworu soli kuchennej odparowano pewną ilość wody i otrzymano
4 kg roztworu 60-procentowego. Ile kilogramów wody odparowano?
3. Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś OY w punkcie A(0, –1) i jej miejscem zerowym
jest liczba 7. Czy istnieje tylko jedna taka funkcja?
4. Dane są wzory funkcji liniowych:
f(x) = 1 x – 5, g(x) = x – 1, h(x) = ax + 3
2
a) Dla jakich a wykresy funkcji przecinają się w tym samym punkcie?
b) Wyznacz a tak, aby wykresy funkcji f oraz h były prostopadłe.
5. Opisz za pomocą układu nierówności zbiór przedstawiony na rysunku
6. Dana jest funkcja f(x) =
 2x  3 dla x  (, 4

1
 x  7 dla x  (4,)
2
.
a) Oblicz miejsca zerowe funkcji.
b) Oblicz współrzędne punktu w którym wykres przecina oś OY.
7. Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy z osią OX, prosta o równaniu
3x–y–5=0.
3
8. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (1 – 2a)x + 3, xR.
a) Wyznacz a tak, aby miejscem zerowym funkcji była liczba 2.
b) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których funkcja jest rosnąca w zbiorze R.
c) Dla a = 4 napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji i
przechodzi przez punkt A(–7, 4).
9. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne
spełniają układ nierówności
| y | 2
.

x  1
y  4  2x

10. Samochód zużywa średnio 6 litrów benzyny na 100 km. W jego baku znajduje się 24 litry paliwa.
a) Napisz wzór funkcji opisującej liczbę litrów benzyny, jaka pozostała w baku w zależności od liczby
przejechanych kilometrów. Wprowadź oznaczenia: x – liczba przejechanych kilometrów, y – liczba litrów
paliwa.
b) Na ile kilometrów jazdy wystarczy paliwo znajdujące się w baku?
11. a) W miejsce kropek wstaw takie liczby, aby układ równań 6x  4 y  5 był nieoznaczony.
...x  y  ...
b) Podaj interpretację geometryczną tego układu równań.
c) Jakiej postaci są rozwiązania tego układu?
12. Trzech pracowników pewnej firmy otrzymało razem 9300 złotych. Wynagrodzenie pierwszego
pracownika tak się ma do wynagrodzenia drugiego pracownika jak 1 1 : 1 1 . Wynagrodzenie, jakie otrzymał
2
5
trzeci pracownik, wynosi 33 1 % wynagrodzenia drugiego pracownika. Jakie wynagrodzenie otrzymał każdy
3
z pracowników?
13. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = –
3x
3
+ 4 – b, xR.
a) Podaj miarę kąta nachylenia wykresu funkcji do osi OX.
b) Wyznacz wszystkie liczby b, dla których miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od 5 3 .
c) Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f
i przechodzi przez punkt A(– 3 , 1).
14. Jeden z pracowników pewnej firmy otrzymuje stałą pensję miesięczną za 168 przepracowanych godzin
oraz dodatkowe wynagrodzenie za nadgodziny. Stawka za godzinę nadliczbową jest o 50% większa niż
stawka za godzinę etatową. W styczniu pracownik ten miał 8 nadgodzin i otrzymał razem 2700 zł.
a) Oblicz stawkę za godzinę nadliczbową oraz stawkę za godzinę etatową.
b) Napisz wzór funkcji wyrażającej wynagrodzenie pracownika w zależności od liczby przepracowanych
godzin nadliczbowych.
15. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = 2|x – 1| + x 2  4x  4 .
a) Napisz wzór funkcji nie używając symbolu wartości bezwzględnej i pierwiastka kwadratowego.
b) Narysuj wykres tej funkcji.
c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = k, kR, ze względu na wartość parametru k.
16. Dane jest równanie z niewiadomą x i parametrem m:
4m2x = m + x + 1 .
2
Przedyskutuj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m. W przypadku istnienia
rozwiązania wyznacz je i podaj w najprostszej postaci.
17. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (1 – 5a)x + 8, xR.
a) Dla a = 0,25 wyznacz zbiór tych argumentów , dla których funkcja przyjmuje wartości należące do zbioru
A = –2, 5.
b) Wyznacz a tak, aby kąt nachylenia wykresu funkcji do osi OX wynosił
 = 3 .
4
c) Dla jakich a wykres funkcji f jest prostopadły do wykresu funkcji
g(x) = –0,375x – 3?
18. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań
3x  4 y  k

5x  6 y  k  1
jest para liczb o jednakowych znakach?
19. Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne
spełniają nierówność: |y + 2|  |x + 1| – 1.
20. Pewna firma komputerowa produkuje dwa typy komputerów. Koszt części potrzebnych do złożenia
komputera I rodzaju wynosi 1500 zł, a II rodzaju 2000 zł. Firma zyskuje na każdym sprzedanym
komputerze I typu 600 zł, a II typu 400 zł. Tygodniowo firma przeznacza na potrzebne materiały co
najwyżej 32500 zł, a sprzedaje co najwyżej 20 komputerów. Ile komputerów każdego rodzaju powinna
firma produkować tygodniowo, aby zysk jej był jak największy? Jaki to będzie zysk?
Odpowiedzi:
1. Spotkanie nastąpiło o godz. 12.00.
2. 8 kg.
1
3. y = 7 x – 1, tak.
4. a) a = 1,5,
– 2.
5.
b) a =
1

y  6 x  1
.

 y  1 x  1,5

6

x  0
y  0

6. x1 = 1,5 oraz x2 =
14; przecięcie z osią
OY: ( 0, 3).
7.  = 30.
8. a) a = 5 , b) a < 1 ,
c) y =
4
1
x 5.
7
2
9.
10. a) y = 24 – 0,06x,
xR+  { 0}, b) 400
km.
11. a) – 1,5 x + y = –
1,25,
c) ( x, – 0,5x + 3),
xR lub ( – 2y + 6, y),
yR.
12. 4500 zł, 3600 zł,
1200 zł.
c) równanie nie ma
rozwiązań dla k (–,
3); ma jedno
rozwiązanie dla k = 3;
ma dwa rozwiązania
dla k (3, +).
16. Dla m = – 0,5
równanie jest
tożsamościowe; dla m
= 0,5 równanie jest
sprzeczne;
dla mR – {– 1 , 1 }
2 2
równanie ma jedno
rozwiązanie x = 1 .
4m  2
17. a) x12, 40,
b) a = 0,4,
1
c) a = – .
3
1
18. k  (–2, –1 ).
2
19.
20. x – liczba
komputerów I rodzaju;
13. a) 150,
b) b <
1,
c) y = 3 x + 4.
14.. a) za godzinę
etatową 15 zł, za
godzinę nadliczbową
22,5 zł;
b) w(n) = 2520 +
22,5n, gdzie nN.
15.a) f(x)=
  3x dla x  (,  2) ;

 x  4 dla x  2, 1)
 3x dla x  1,  )

b)
y – liczba
komputerów II rodzaju;
 y   x  20

 y   3 x  65
4
4

x  0  x  C

 y  0  y  C
Firma powinna
produkować tylko
komputery I rodzaju.
Największy zysk
wyniesie przy
produkcji 20
komputerów I rodzaju.
Zysk ten wyniesie
12000 zł.