Podstawy Fizyki

Władysław Tomaszewicz — Piotr Grygiel
Podstawy Fizyki
Część I — Fizyka Klasyczna
(na prawach rękopisu)
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Politechnika Gdańska 2002
Rozdział 1
Wstęp
1.1
Międzynarodowy układ jednostek miar SI
W fizyce dane zjawiska są opisywane za pomocą matematycznych praw,
wiążących ze sobą poszczególne wielkości fizyczne. Przykładami wielkości
fizycznych są długość, czas, masa, prędkość, siła, temperatura. Ogólnie przez
wielkości fizyczne rozumiemy te własności ciał lub zjawisk, które można
zmierzyć, tj. porównać ilościowo z tymi samymi własnościami innych ciał
lub zjawisk. Pomiar wielkości fizycznej polega na wyznaczeniu liczbowego
stosunku mierzonej wielkości do wielkości przyjętej za jednostkę.
W zależności od przyjętego układu jednostek wielkości fizyczne możemy podzielić na wielkości podstawowe oraz wielkości pochodne. Dla wielkości
podstawowych ustalane są ich wzorce, stanowiące jednostki wielkości podstawowych. Wielkości pochodne i ich jednostki określa się na na podstawie
zależności matematycznych, wiążących je z wielkościami podstawowymi i ich
jednostkami. Wybór wielkości podstawowych i ich wzorców jest równoważny
z ustaleniem określonego układu jednostek. Należy zauważyć, że od wyboru układu jednostek zależy również postać niektórych wzorów, zwłaszcza w
elektrodynamice.
Załóżmy dla przykładu, że jako wielkości podstawowe wybraliśmy m. in.
odległość x i czas t i odpowiednio nazwaliśmy ich jednostki metrem (oznaczenie 1 m) i sekundą (oznaczenie 1 s). Prędkość ciała jest wtedy wielkością
pochodną, zdefiniowaną (w przypadku ruchu jednostajnego prostoliniowego) wzorem v = x/t. Za jednostkę prędkości przyjmujemy zatem prędkość
takiego ruchu, podczas którego w ciągu jednostki czasu ciało przebywa drogę równą jednostce długości. Jednostką prędkości jest więc 1 m/1 s=1 m/s.
Zwykle jednostkę miary danej wielkości fizycznej — jej wymiar oznacza1
2
WSTĘP
my przez ujęcie tej wielkości w nawiasy kwadratowe, np. [x] = m, [t] = s.
Ponieważ [v] = [x]/[t] = m/s, widać że jednostką prędkości jest istotnie 1
m/s.
Obecnie w nauce i technice jest stosowanych kilka różnych układów jednostek. W niniejszym wykładzie będzie stosowany Międzynarodowy Układ
Jednostek Miar, nazywany układem SI od skrótu francuskiego terminu Système International (Układ Międzynarodowy). Układ ten został ustalony
przez Międzynarodowy Komitet Metrologii Ustawodawczej w Paryżu w 1958
roku. Układ SI ma 6 jednostek podstawowych i dwie jednostki uzupełniające
(patrz tabela 1.1). Poniżej podamy uproszczone definicje tych jednostek.
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
Wielkość
Długość
Masa
Czas
Natężenie prądu elektr.
Temperatura
Światłość
Kąt płaski
Kąt bryłowy
Jednostka
metr
kilogram
sekunda
amper
kelwin
kandela
radian
steradian
Symbol
m
kg
s
A
K
cd
rad
sr
Tabela 1.1:
Metr jest długością równą 1 650 763, 73 długości fali w próżni promieniowania monochromatycznego o barwie pomarańczowej emitowanego przez
atom kryptonu 86.
Kilogram jest masą międzynarodowego wzorca przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres pod Paryżem.
Sekunda jest czasem trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania
odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133.
Amper jest natężeniem prądu elektrycznego, który płynąc w dwóch nieskończenie długich równoległych przewodach, umieszczonych w próżni w odległości jednego metra, wywołuje między tymi przewodami siłę równą 2·10 −7
niutona na każdy metr długości przewodu.
Kelwin jest jednostką temperatury termodynamicznej w skali, w której
temperatura punktu potrójnego wody jest równa 273,16 K.
Kandela jest światłością, którą ma w kierunku prostopadłym pole równe 16 · 10−5 m2 powierzchni ciała doskonale czarnego, promieniującego w
temperaturze krzepnięcia platyny pod ciśnieniem normalnym.
3
MIĘDZYNARODOWY UKŁAD JEDNOSTEK MIAR SI
W
O
a
s
S
O
r
r
a)
b)
Rysunek 1.1:
Kąt płaski α wyrażony w radianach jest równy stosunkowi łuku s do
promienia tego łuku r (rys. 1.1a):
s
α= .
r
(1.1)
Radian jest kątem płaskim zawartym między dwoma promieniami koła, wycinającymi z okręgu tego koła łuk o długości równej promieniowi. Ponieważ
dla pełnego kąta płaskiego długość łuku s = 2πr, pełny kąt płaski wynosi
2π rad.
Kątem bryłowym nazywamy część przestrzeni ograniczoną prostymi poprowadzonymi z jednego punktu do wszystkich punktów dowolnej krzywej
zamkniętej. Kąt bryłowy Ω jest równy stosunkowi powierzchni S, którą ten
kąt wycina z powierzchni kuli o promieniu r, do kwadratu promienia tej kuli
(rys. 1.1b):
S
Ω = 2.
(1.2)
r
Steradian jest kątem bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinającym
z powierzchni tej kuli pole równe kwadratowi jej promienia. Ponieważ dla
pełnego kąta bryłowego pole powierzchni kuli S = 4πr 2 , pełny kąt bryłowy
wynosi 4π sr. Radian i steradian są jednostkami bezwymiarowymi i mogą
być użwane w dowolnym układzie jednostek.
Jeżeli mamy do czynienia z wartościami wielkości fizycznych znacznie
większymi albo znacznie mniejszymi od ich jednostek, to w celu uniknięcia
bardzo dużych lub bardzo małych liczb wprowadza się jednostki wtórne,
będące wielokrotnościami lub podwielokrotnościami jednostek zasadniczych.
Wielokrotność i podwielokrotność jednostki miary wyraża sie w układzie
4
WSTĘP
dziesiętnym przez dodanie odpowiednio do nazwy lub oznaczenia jednostki
miary następujących przedrostków lub ich oznaczeń (patrz tabl. 1.2).
Przedr.
tera
giga
mega
kilo
hekto
deka
—
—
Ozn.
T
G
M
k
h
da
–
–
Wielokr.
1012
109
106
103
102
101
–
–
Przedr.
decy
centy
mili
mikro
nano
piko
femto
atto
Ozn.
d
c
m
µ
n
p
f
a
Podwiel.
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Tabela 1.2:
1.2
1.2.1
Elementy rachunku wektorowego
Wektory. Działania na wektorach
Wśród wielkości występujących w fizyce możemy wyróżnić m.in. skalary i
wektory. Wielkości, które można jednoznacznie określić za pomocą liczby i
jednostki, a więc mające jedynie wartości, nazywamy wielkościami skalarnymi — w skrócie — skalarami. Do skalarów należą np. masa, praca i energia.
Inne wielkości, jak np. siła, prędkość, nie mogą być wyznaczone tylko przez
swoje wartości, gdyż zależą one jeszcze od kierunku. Takie wielkości nazywamy wielkościami wektorowymi — w skrócie — wektorami.
Wektor jest to skierowany odcinek, t.j. odcinek mający określoną długość, kierunek i zwrot (rys. 1.2). Punkt początkowy A wektora nazywamy
jego punktem zaczepienia (przyłożenia), punkt B — końcem wektora, prostą
l, na której leży wektor, linią działania wektora. Wektory oznaczamy literami wyróżnionymi tłustym drukiem lub, zwłaszcza przy pisaniu ręcznym,
−
literami ze strzałkami nad nimi, np. a lub →
a . Długość wektora nazywamy
również wartością bezwzględną lub modułem wektora i oznaczamy jako |a|
lub po prostu a. Długość wektora przedstawia w określonej skali wartość
liczbową wielkości fizycznej, reprezentowanej przez dany wektor.
Dla wielkości wektorowych można zdefiniować określone działania, jak
m.in. mnożenie wektora przez liczbę, dodawanie i odejmowanie wektorów.
Jeżeli c jest pewną liczbą dodatnią i a pewnym wektorem, to przez ca rozumiemy wektor który ma ten sam kierunek, co wektor a i jest od nigo c razy
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO
5
l
a
B
A
Rysunek 1.2:
dłuższy (rys. Jeżeli c jest liczbą ujemną, to przez ca rozumiemy wektor,który
jest −c razy dłuższy, niż wektor a, jest do niego równoległy i ma przeciwny
zwrot. W szczególności przez wektor przeciwny do wektora a rozumiemy
wektor (−1) · a (rys. 1.2b), oznaczamy go symbolem −a. Ma on tę samą
długość, co wektor a, lecz jest przeciwnie skierowany. 1.3a).
Przez sumę c dwóch wektorów a i b rozumiemy wektor, będący przekątną AD równoległoboku ABCD, zbudowanego na wektorach a i b w sposób
pokazany na rysunku 1.4a. Sumę c dwóch wektorów a i b oznaczmy symbolem:
c = a + b.
(1.3)
Można ją znaleźć również w inny sposób (rys. 1.4b,c). Wykreślamy najpierw
z dowolnego punktu wektor a, z końca wektora a wykreślamy wektor b;
wektor c, którego początek leży w początku wektora a, a koniec w końcu
wektora b, jest sumą c tych wektorów. Jeśli przy tworzeniu sumy najpierw
wykreślimy wektor b, a potem wektor a, otrzymamy ten sam wektor c.
Wynika stąd, że dodawanie wektorów podlega prawu przemienności:
a + b = b + a.
(1.4)
Przez różnicę d wektorów a i b rozumiemy wektor, który, dodany do
wektora b, daje wektor a (rys. 1.4a). Można go przedstawić przez przekątną CB równoległoboku, zbudowanego z wektorów a i b. Różnicę d dwóch
wektorów a i b oznaczamy symbolem:
d = a − b.
(1.5)
Wektor różnicy ma początek w końcu wektora, który odejmujemy, a koniec
w końcu wektora, od którego odejmujemy (rys. 1.4d).
6
WSTĘP
ca
-ca
a
-a
a
c>0
c<0
a)
b)
Rysunek 1.3:
C
a)
D
D
c
b
c
b
d
A
B
a
b)
B
A
a
a
C
c)
D
b
C
b
d)
d
c
A
A
Rysunek 1.4:
a
B
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO
7
Rysunek 1.5:
Zdefiniujemy teraz mnożenie wielkości wektorowych. Ponieważ wektory
są wielkościami bardziej złożonymi od skalarów, można określić kilka rodzajów iloczynu dwóch wektorów. Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b,
oznaczany symbolem a · b, jest zdefiniowany następująco:
a · b = |a||b| cos ϕ,
(1.6)
gdzie ϕ jest kątem zawartym między tymi dwoma wektorami (rys. 1.5). Z
podanej definicji wynika, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem
i że spełnia prawo przemienności,
a · b = b · a.
(1.7)
Widać też, że iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest równy
zeru (jeżeli ϕ = π/2, to cos ϕ = 0 i a · b = 0). Wielkościami fizycznymi,
które można przedstawić w postaci iloczynu skalarnego dwóch wektorów są
np. praca mechaniczna i potencjał elektryczny.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów, oznaczany symbolem a × b, jest nowym wektorem
c = a × b.
(1.8)
Wartość bezwzględna wektora c jest określona równaniem
|c| = |a||b| sin ϕ,
(1.9)
gdzie ϕ jest kątem zawartym między wektorami a i b (rys. 1.6). Wyrażenie
po prawej stronie ostatniego równania jest powierzchnią S równoległoboku
rozpiętego na wektorach a i b. Można zauważyć, że iloczyn wektorowy dwóch
równoległych wektorów jest równy zeru.
8
WSTĘP
Rysunek 1.6:
Kierunek wektora c = a × b jest z definicji prostopadły do płaszczyzny,
w której leżą wektory a i b a jego zwrot określa następująca reguła. Jeżeli
śruba prawoskrętna, prostopadła do wspomnianej płaszczyzny, obraca się
od wektora a do wektora b o kąt mniejszy od 180 o , to kierunek ruchu śruby
określa zwrot wektora c. Można stąd wywnioskować, że przy zamianie kolejności czynników w iloczynie wektorowym zmienia on zwrot na przeciwny,
a × b = −b × a.
(1.10)
Dla iloczynu wektorowego nie zachodzi więc prawo przemienności. Przykładami wielkości fizycznych, będących iloczynami wektorowymi, są moment
siły, moment pędu i siła, działająca na ładunek poruszający się w polu magnetycznym.
1.2.2
Kartezjański układ współrzędnych. Składowe wektora
Przytoczone w poprzednim podrozdziale definicje wektorów i działań na nich
miały charakter geometryczny. W wielu przypadkach wygodniej jest korzystać z analitycznego opisu działań na wektorach, wykorzystującego rozkładanie wektorów na składowe w określonym układzie odniesienia.
Załóżmy, że mamy wybrany w przestrzeni pewien kartezjański (prostokątny) układ współrzędnych Oxyz, tj. układ trzech wzajemnie prostopadłych
osi Ox, Oy i Oz (rys. 1.7). Będziemy oznaczać przez i, j i k wektory jednostkowe ( |i| = |j| = |k| = 1), skierowane wzdłuż osi Ox, Oy i Oz. Wektory te
nazywamy wersorami odpowiednich osi. Zwykle przyjmujemy, że kartezjański układ odniesienia jest prawoskrętny, t.j., że i × j = k. Z rysunku wynika,
że wektor a można zapisać jako sumę jego rzutów ia x , jay i kaz na osie Ox,
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO
9
Rysunek 1.7:
Oy i Oz układu współrzędnych:
a = iax + jay + kaz .
(1.11)
Skalarne wielkości ax , ay i az nazywamy składowymi wektora a. Ostatnie
równanie zapisujemy często jako:
a = (ax , ay , az ).
(1.12)
Widać, że w danym układzie współrzędnych wektor jest jednoznacznie określony przez jego składowe.
Dla uproszczenia będziemy teraz zakładać, że wszystkie rozpatrywane
wektory leżą w płaszczyźnie Oxy. Jeżeli znamy długość wektora a i kąt
α, jaki tworzy ten wektor z osią Ox, to składowe tego wektora, zgodnie z
rysunkiem 1.8, wyrażają się wzorami
ax = a cos α,
(1.13)
ay = a sin α.
(1.14)
Przeciwnie, gdy znane są składowe wektora w prostokątnym układzie współrzędnych, możemy wyznaczyć jego długość i kierunek. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy bowiem:
a=
q
ax 2 + ay 2 ,
(1.15)
10
WSTĘP
Rysunek 1.8:
Rysunek 1.9:
oraz
ax
,
(1.16)
a
ay
sin α = .
(1.17)
a
Przyjmijmy teraz, że mamy dwa wektory, a i b=ca (rys. 1.9a). Z rysunku
wynika, że
bx = cax ,
(1.18)
cos α =
by = cay .
(1.19)
Widzimy więc, że przy mnożeniu wektora przez liczbę jego składowe są mnożone przez tę samą liczbę. Przyjmiemy teraz, że mamy dwa wektory a i b
11
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO
oraz ich sumę c = a + b (rys. 1.9b). Z rysunku wynikają zależności
cx = a x + b x ,
(1.20)
cy = a y + b y .
(1.21)
Zatem, przy sumowaniu dwóch wektorów sumują się ich składowe. Podobnie
można pokazać, że przy odejmowaniu dwóch wektorów ich składowe się odejmują. Rezultaty te można uogólnić na przypadek dwóch wektorów leżących
w dowolnej płaszczyźnie oraz na przypadek dowolnej liczby wektorów.
Wyrazimy teraz iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy dwóch wektorów
za pośrednictwem składowych tych wektorów. Będziemy przyjmować bez
dowodu, że przytoczone poniżej formalne przekształcenia są poprawne. Obliczymy najpierw iloczyn skalarny wektorów a i b:
a · b = (iax + jay + kaz ) · (ibx + jby + kbz )
= i · i a x bx + i · j a x by + i · k a x bz
+ j · i a y bx + j · j a y by + j · k a y bz
+ k · i a z bx + k · j a z by + k · k a z bz .
(1.22)
Ponieważ zachodzą związki i · i = j · j = k · k = 1, i · j = i · k = j · k = 0,
otrzymujemy wzór
a · b = a x bx + a y by + a z bz .
(1.23)
Obliczymy teraz w podobny sposób iloczyn wektorowy wektorów a i b:
a × b = (iax + jay + kaz ) × (ibx + jby + kbz )
= i × i a x bx + i × j a x by + i × k a x bz
+ j × i a y bx + j × j a y by + j × k a y bz
+ k × i a z bx + k × j a z by + k × k a z bz .
(1.24)
Uwzględniając związki i × j = −j × i = k, j × k = −k × j = i, k × i =
−i × k = j (por. rys. 1.7), i × i = j × j = k × k = 0 otrzymujemy wzór
a × b = i(ay bz − az by ) + j(az bx − ax bz ) + k(ax by − ay bx ).
Wzór ten jest łatwiejszy do zapamiętania,
znacznika:
i
j
a × b = ax ay
bx by
(1.25)
jeżeli zapisać go w postaci wyk
az
bz
.
(1.26)
12
WSTĘP
Istotnie, obliczając wyznacznik otrzymuje się wzór (1.25).
Znaczenie rachunku wektorowego w fizyce wynika z faktu, że równania
wektorowe, np. c = a + b, są słuszne w dowolnym układzie współrzędnych.
Przy zmianie układu współrzędnych składowe wszystkich wektorów przekształcają się, jak można sprawdzić, w ten sam sposób. Z drugiej strony,
jest faktem stwierdzonym empirycznie, że prawa fizyki również są niezależne od wyboru układu współrzędnych. Notacja wektorowa jest więc idealnym
językiem do wyrażania praw fizyki.