Lista trzecia

Inżynierskie zastosowania statystyki — ćwiczenia
Tydzień 3/4: Centralne Twierdzenie Graniczne, ważne rozkłady zmiennych losowych
Poniżej opisano używane pojęcia i zebrano charakterystyczne dla tego tematu typy zadań
Zadania
0. Zadanie domowe: Na bazie informacji z dowolnego podręcznika do statystyki bądź z internetu uzupełnij
listę ważnych rozkładów znajdujących się na następnej stronie o ich funkcje gęstości prawdopodobieństwa
(dotyczy rozkładów ciągłych), EX oraz Var X.
1. Jaka jest szansa, że na 1000 rzutów sześcienną kostką, ilość wyrzuconych 6 oczek będzie zawierała się
pomiędzy 160 i 170?
2. Obserwujemy n = 256 obserwacji niezależnych zmiennych losowych Xi o tym samym rozkładzie, którego
P
wartość oczekiwana wynosi µ = 1, a odchylenie standardowe wynosi σ = 0.2. Oblicz P ( ni=1 Xi > 260).
3. Angielski statystyk J. E. Kerrich podczas internowania w trakcie drugiej wojny światowej otrzymał 5067
orłów na 10000 rzutów monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że w serii 10000 niezależnych rzutów symetryczną monetą otrzymamy 5067 lub więcej orłów.
4. Smart working: w budynku znajduje się 500 komputerowych stanowisk pracy - przy każdym z nich może
usiąść dowolny pracownik. Ile osób można przypisać do pracy w tym budynku, aby z prawdopodobieństwem 90% zostało pięć miejsc wolnych? Przyjmij, że pracownicy przychodzą do pracy z prawdopodobieństwem 95% (choroba, urlop, itp.).
5. Szansa na zaliczenie każdej kartkówki wynosi p = 0.8. Zakładając niezależność prób oblicz prawdopodobieństwo, że w sekwencji 6 kartkówek, co najmniej jedna zostanie niezaliczona.
6. Niech X będzie liczbą wyrzuconych reszek przy 10-krotnym rzucie symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że X < 2 lub X > 7?
7. Szansa na wygranie w loterii wynosi p = 0.01. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród niezależnie
wylosowanych n = 150 kuponów, co najmniej trzy z nich są wygrywające?
8. Drużyna A strzela średnio dwa gole w meczu, a drużyna B — jeden. Zakładając, że strzelenie gola przez
daną drużynę w każdej minucie jest stałe oraz nie zależy od drużyny przeciwnej, ani straconych bramek,
oblicz prawdopodobieństwo, że drużyna A:
(a) będzie prowadzić 1:0 do przerwy
(b) wygra mecz 2:0, jeżeli do przerwy uzyskała prowadzenie
(c) nie przegra meczu
9. Zakładając, że dla zadanego modelu samochodu X czas do awarii wahacza ma rozkład wykładniczy o
średniej µw = 500 dni, a czas do awarii pompy oleju ma rozkład wykładniczy o średniej µp = 1000 dni,
oblicz średni czas do awarii dowolnej z powyższych dwóch cech dla tego modelu samochodu.
10. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartościami oczekiwanymi równymi odpowiednio λ i µ. Oblicz P (X < Y ).
(Odpowiedź:
λ
λ+µ )
11. (*) Zaimplementuj symulację przekształceń wybranego przez siebie pierwiastka promieniotwórczego (Możesz wybrać jeden z szeregów promieniotwórczych dostępnych na wikipedii pod hasłem "Szereg promieniotwórczy"). Wejście programu będzie składało się z następującej trójki: X oznaczające identyfikator nuklidu
początkowego, N oznaczające liczbę cząstek tego nuklidu oraz T określające czas obserwacji symulacji.
Na wyjście program ma zwrócić wykres loglog liczby rozpadów α od czasu.
Teoria
Centralne Twierdzenie Graniczne to twierdzenie mówiące o tym, że jeśli {Xi }i są niezależnymi zmiennymi
losowymi o tym samym rozkładzie, o tej samej wartości oczekiwanej równej µ oraz o skończonej wariancji równej
σ 2 , to zmienna losowa o postaci
Pn
X − nEX1
√ i
Y = i=1
n Var X1
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego N (0, 1), gdy n rośnie do nieskończoności. Dzięki
temu większość obliczeń wartości sumy niezależnych zmiennych losowych pochodzących z tego samego rozkładu
sprowadza się do przeczytania z tablicy standardowego rozkładu normalnego odpowiedniej wartości prawdopodobieństwa.
Ważne rozkłady zmiennych losowych:
1. Ważne rozkłady dyskretne
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
dwupunktowy o parametrach a, b, p: P (X = a) = p, P (X = b) = 1 − p
dwumianowy (schemat Bernoulliego) B(n, p), Binom(n, p)
Poissona P(λ), Pois(λ)
geometryczny G(p), Geom(p)
hipergeometryczny o parametrach N, m, n
jednostajny dyskretny
2. Ważne rozkłady ciągłe
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
rozkład jednostajny (rozkład jednostajny ciągły) U(a, b)
rozkład normalny (rozkład Gaussa) N (µ, σ)
rozkład wykładniczy E(λ), Exp(λ)
rozkład logarytmicznie normalny
rozkład beta
rozkład gamma Γ
rozkład chi-kwadrat χ2 (k)
rozkład t-Studenta o ν stopniach swobody
graniczne rozkłady ekstremalnych statystyk pozycyjnych (trzy typy)
Uproszczona tablica dystrybuanty Φ(u) rozkładu normalnego N (0, 1):
u 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16
0,0 0,500 0,508 0,516 0,524 0,532 0,540 0,548 0,556 0,564
0,2 0,579 0,587 0,595 0,603 0,610 0,618 0,626 0,633 0,641
0,4 0,655 0,663 0,670 0,677 0,684 0,692 0,699 0,705 0,712
0,6 0,726 0,732 0,739 0,745 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776
0,8 0,788 0,794 0,800 0,805 0,811 0,816 0,821 0,826 0,832
1,0 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,864 0,869 0,873 0,877
1,2 0,885 0,889 0,893 0,896 0,900 0,903 0,907 0,910 0,913
1,4 0,919 0,922 0,925 0,928 0,931 0,933 0,936 0,938 0,941
1,6 0,945 0,947 0,950 0,952 0,954 0,955 0,957 0,959 0,961
1,8 0,964 0,966 0,967 0,969 0,970 0,971 0,973 0,974 0,975
2,0 0,977 0,978 0,979 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,985
2,2 0,986 0,987 0,988 0,988 0,989 0,989 0,990 0,990 0,991
2,4 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999
2,6 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995 0,995
2,8 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997
Pomocna własność dystrybuanty rozkładu N (0, 1): Φ(u) = 1 − Φ(−u)
0,18
0,571
0,648
0,719
0,782
0,837
0,881
0,916
0,943
0,963
0,976
0,985
0,991
0,999
0,995
0,997