Materiał na egzamin w 2015 r. - własności i wzory

Wyprowadzenia lub dowody nastepuj
acych
wzorów i wlasności, jakie moga,
,
,
pojawić sie, na egzaminie z Elementów Fizyki dla Studentów Matematyki z
Informatyka., Treść zadań powinna być rozumiana przez odniesienie do materialu zawartego w wykladzie w 2015 roku.
1. Zwiazek
miedzy
praca, wykonana, nad cialem przez sile, zewnetrzn
a, a
,
,
,
zmiana, jego energii kinetycznej
2. Niezależność pracy wykonanej nad cialem przez sile, centralna, od trajektorii tego ciala.
3. Transformacja przyśpieszenia punktu materialnego do ukladu obracajacego
sie, wzgledem
wyjściowego.
,
,
4. Wzór na czestość
obrotu wahadla Foucaulta w granicy malych odchyleń
,
od polożenia równowagi.
5. Dowód stalości momentu pedu
punktu materialnego w ruchu w polu
,
sily centralnej.
6. Sprowadzenie równania ruchu dla punktu materialnego w polu sily centralnej do równania ruchu dla punktu materialnego w potencjale efektywnym.
7. Znalezienie toru ruchu dla punktu materialnego w polu sily centralnej.
8. Wyprowadzenie prawa Keplera o stalości predkości
polowej w ruchu
,
punktu materialnego w polu sily centralnej.
9. Wyprowadzenie równań Eulera-Lagrange’a z zasady najmniejszego dzialania.
10. Wyprowadzenie równania Beltramiego dla funkcji podcalkowej funkcjonalu wariacyjnego.
11. Znalezienie ksztaltu liny (lańcucha) o jednorodnej gestości
liniowej, za,
wieszonego miedzy
dowolnymi dwoma punktami, jaki minimalizuje jego
,
energie, potencjalna, w jednorodnym polu grawitacyjnym.
12. Znalezienie trajektorii lacz
dowolne dwa punkty o najkrótszym cza, acej
,
sie przebiegu punktu materialnego w jednorodnym polu grawitacyjnym.
1
13. Podstawowe wlasności funkcji Lagrange’a: addytywność dla ukladów
niezależnych, określoność z dokladnościa, do stalego skladnika i stalego
mnożnika.
14. Pokazanie, że równanie Lagrange’a dla funkcji pojedyńczego punktu
materialnego poruszajacego
sie, w polu o określonym potencjale odd,
zialywania jest równoważne równaniu ruchu Newtona z sila, określona,
przez gradient tego potencjalu. Uogólnienie powyższego na uklad wielu
punktów materialnych oddzialujacych
miedzy
soba, i bed
w tym
,
,
, acych
,
samym polu potencjalnym.
15. Pokazanie niezależności równań Lagrange’a od przeksztalcenia punktowego, tj. przeksztalcenia wspólrzednych
uogólnionych: Q = Q(q).
,
16. Zwiazek
miedzy
jednorodnościa, czasu a zasada, zachowania energii.
,
,
17. Zwiazek
miedzy
jednorodnościa, przestrzeni a zasada, zachowania pedu.
,
,
,
18. Zwiazek
miedzy
izotropowościa, przestrzeni a zasada, zachowania mo,
,
mentu pedu.
,
19. Wyprowadzenie równań kanonicznych Hamiltona.
20. Sprowadzenie równania ruchu dla wahadla matematycznego do równania o rozdzielonych zmiennych, dla wychyleń o dowolnej amplitudzie.
21. Pokazanie, że jeżeli funkcje, Lagrange’a można zapisać jako różnice, energii kinetycznej i potencjalnej, to funkcje, Hamiltona można przedstawić w postaci sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej.
22. Znalezienie czestości
drgań dla 1-wymiarowego lańcucha sprzeżonych
,
,
mas w przybliżeniu harmonicznym.
23. Wyprowadzenie wzoru d’Alemberta dla równania falowego w przypadku
1-wymiarowym.
2