Zasady dynamiki punktu materialnego Często, zamiast stosowania

Zasady dynamiki punktu materialnego
Często, zamiast stosowania RRR, dużo wygodniej jest stosować tzw. zasady dynamiki punktu materialnego. W
konsekwencji stosowania tych stosunkowo prostych reguł otrzymuje się jednak rozwiązania np. dla danej, konkretnej chwili
czasu lub położenia, co nie zawsze jest wygodne.
Zasada d’Alemberta
Podstawowe równanie dynamiki (4.1) możemy zapisać w postaci
W − ma = 0
(4.14)
W+A=0,
(4.15)
lub
gdzie
A = − ma
(4.15a)
jest siłą bezwładności, zwaną siłą d’Alemberta.
Twierdzenie
Siła bezwładności (d’Alemberta) ruchomego punktu materialnego równoważy w każdej chwili układ sił działających
na ten punkt.
Wprowadzając do układu sił siłę d’Alemberta (4.15a), zagadnienie dynamiki traktuje się tak, jak zagadnienie statyki, tj.
suma sił działających na punkt materialny (łącznie z siłą d’Alemberta) musi być równa zero.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zasada pędu i popędu punktu materialnego
Równanie (4.1) możemy również zapisać
ma = m
dv
=W
dt
(4.16)
lub
d
d
(mv ) =
p =W
dt
dt
gdzie
,
(4.16a)
p = mv
(4.16b)
nazywamy pędem punktu materialnego. Całkując równanie (4.16) obustronnie otrzymamy
v2
∫ d (mv ) = mv2 − mv1 = S1,2 ,
v1
co zapisujemy też w postaci
p2 − p1 = S1,2 ,
(4.17)
t2
gdzie
S1,2 = ∫ Wdt
nazywamy impulsem siły (popędem).
t1
punkt w chwili t2
S1,2
punkt w chwili t1
v1
1
2
v2
Zasada pędu i popędu punktu materialnego
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie
Przyrost pędu punktu materialnego w przedziale czasu < t1, t2 > równa się impulsowi siły działającej na ten punkt w
tym przedziale czasu.
Należy pamiętać, że równanie (4.17) jest równaniem wektorowym. Możemy je jednak zapisać w postaci skalarnej jako
układ trzech równań:
t2
∫
mvx 2 − mvx1 = Wx dt = S1,2 x ,
t1
t2
∫
mv y 2 − mv y1 = Wy dt = S1,2 y ,
(4.18)
t1
t2
∫
mvz 2 − mvz1 = Wz dt = S1,2 z ,
t1
gdzie całki prawych stron są polami pod wykresami siły w funkcji czasu.
Wx
t2
S1,2 x = ∫ Wx dt
t1
t
t1
t2
Popęd siły działającej na punkt materialny
Prof. Edmund Wittbrodt
ZASADA PĘDU I POPĘDU
p 2 − p1 = S1, 2
t2
, gdzie
S1, 2 = ∫ W ⋅ dt
t1
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU (gdy S1, 2 = 0 )
p 2 = p1 = p = const
RÓŻNICZKOWA POSTAĆ ZASADY PĘDU
d
p =W
dt
UKŁADY PUNKTÓW
Jeżeli w rozpatrywanym układzie znajduje się jednocześnie kilka punktów materialnych, to pęd układu równa się sumie
pędów, zaś impuls sił działających na ten układ – sumie impulsów poszczególnych sił.
Jeżeli punkty materialne układu zderzają się ze sobą, to siły działające pomiędzy tymi punktami są siłami wewnętrznymi, a
ich impuls równa się zero.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zasada krętu punktu materialnego
Kręt (moment pędu) punktu materialnego definiuje się następująco
K O = M O (mv ) = r × mv
.
(4.19)
v
KO
m
r
O
Kręt (moment pędu) punktu materialnego
Po zróżniczkowaniu powyższego równania względem czasu otrzymujemy
d ( mv )
dKO d
dr
dv
= (r × mv ) =
× mv + r ×
= v × mv + r × m
= 0 + r × W = M O (W ) ,
dt
dt
dt
dt
dt
co ostatecznie zapisujemy w postaci
dKO
= M O (W ) .
dt
(4.20)
Twierdzenie
Pochodna względem czasu wektora krętu punktu materialnego, względem dowolnego, stałego punktu, równa się
momentowi siły względem tego punktu.
Prof. Edmund Wittbrodt
RÓŻNICZKOWA POSTAĆ ZASADY KRĘTU
ZASADA KRĘTU I POKRĘTU
dKO
= M O (W )
dt
K O 2 − K O1 = Π1, 2
t2
, gdzie
Π1, 2 = ∫ M o ⋅ dt
t1
ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU (gdy Π1,2 = 0 )
K O 2 = K O1 = K O = const
Prof. Edmund Wittbrodt