Wykład dwunasty Weryfikacja hipotez statystycznych

Wykład dwunasty
Weryfikacja hipotez statystycznych
Definicja 1 Hipoteza˛ statystyczna˛ nazywamy każde przypuszczenie dotyczace
˛ nieznanego rozkładu badanej
cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego decyduje si˛e na podstawie pobranej próby.
Definicja 2 Hipoteza˛ prosta˛ nazywamy hipotez˛e, która jednoznacznie precyzuje wartości nieznanych parametrów.
W przeciwnym przypadku hipoteza jest złożona.
H0 - hipoteza zerowa - hipoteza, której prawdziwość poddaje si˛e w watpliwość
˛
H1 - hipoteza alternatywna - hipoteza, która˛ jesteśmy skłonni przyjać,
˛ jeśli odrzucimy hipotez˛e zerowa˛
Definicja 3 Bł˛edem I rodzaju nazywamy odrzucenie hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa. Bł˛edem II
rodzaju nazywamy przyj˛ecie hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa.
Definicja 4 Poziomem istotności testu nazywamy prawdopodobieństwo bł˛edu I rodzaju.
Definicja 5 Zbiorem krytycznym testu nazywamy zbiór wartości statystyki testowej prowadzacych
˛
do odrzucenia hipotezy zerowej na korzyść hipotezy alternatywnej:
Jeśli wartość statystyki testowej należy do C, to odrzucamy hipotez˛e H0 na korzyść H1 ;
Jeśli wartość statystyki testowej nie należy do C, to mówimy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
Test zgodności χ2 - Pearsona:
Niech X1 , . . . , Xn , n > 100 b˛edzie próba˛ prosta˛ pobrana˛ z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F . Niech F0
b˛edzie zadana˛ dystrybuanta.˛ Testować b˛edziemy hipotez˛e
H0 : F = F0
przeciwko hipotezie
H1 : F 6= F0 .
Podzielmy wartości próby na k rozłacznych
˛
klas. Niech:
ni - liczność i - tej klasy (n1 + . . . + nk = n);
pi - prawdopodobieństwo teoretyczne że, przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 , obserwowana zmienna
losowa przyjmie wartość z i - tej klasy.
Wtedy zmienna losowa
χ2P =
k
X
(ni − npi )2
npi
i=1
ma rozkład χ2 o k − 1 stopniach swobody. Przy zadanym poziomie istotności α, zbiór krytyczny jest postaci
C = [χ2 (1 − α, k − 1); ∞),
gdyż za odrzuceniem H0 przemawiaja˛ duże wartości statystyki χ2P oraz P (χ2P > χ2 (1 − α, k − 1)) = α.
1