wpływ asymetrii masowej pocisków wirujących na ich rozrzut

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 19-26, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH
NA ICH ROZRZUT
LESZEK BARANOWSKI, JÓZEF GACEK
Instytut Techniki Uzbrojenia, Wojskowa Akademia Techniczna
e-mail:[email protected], [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę wyznaczania rozrzutu pocisków
strzeleckich powodowanego asymetrią masową pocisku. Wyprowadzono równania ruchu niewywaŜonego statycznie i dynamicznie pocisku wirującego, traktowanego jako bryła sztywna, w układzie związanym z głównymi centralnymi
osiami bezwładności. Przeprowadzono badania wpływu asymetrii masowej na zakłócenie warunków początkowych wylotu pocisku z lufy oraz na zakłócenie ruchu
pocisku dookoła środka masy na całej trajektorii lotu, a w konsekwencji na
zwiększenie rozrzutu (zmniejszenie skupienia).
1. WSTĘP
Charakterystyki rozrzutu punktów uderzenia pocisków strzeleckich zaleŜą głównie od rozrzutu wartości następujących parametrów: prędkości początkowej, kąta podniesienia
i odchylenia lufy, masy pocisku oraz początkowej prędkości kątowej leŜącej w płaszczyźnie
prostopadłej do osi podłuŜnej pocisku. W pracy przedstawiono metodę wyznaczania rozrzutu
powodowanego pomijanym dotąd czynnikiem, a mianowicie asymetrią masową pocisku. Klasyczne równania ruchu pocisków stabilizowanych wirowo [2] zakładają symetrię masową
pocisku. Oznacza to, iŜ oś symetrii powierzchni zewnętrznej pocisku pokrywa się z podłuŜną
centralną osią bezwładności pocisku, a masowe momenty bezwładności pocisku względem
dwu osi prostopadłych do osi podłuŜnej są sobie równe. Osie takiego układu tworzą układ
związany Owxyz (rys. 1). Pocisk taki nazywamy pociskiem wywaŜonym (standardowym).
Rys. 1. Orientacja układu głównych osi bezwładności pocisku Oxbybzb względem układu
związanego z osią symetrii kształtu powierzchni zewnętrznej pocisku Owxyz
20
L. BARANOWSKI, J. GACEK
W przypadku niejednorodności rozkładu masy elementów składowych pocisku, pocisk nie
ma symetrii masowej (mówimy, Ŝe jest niewywaŜony). Osie układu związanego z pociskiem
nie pokrywają się z jego głównymi osiami bezwładności Oxbybzb (rys. 1). Kąty δz i δy reprezentują niewywaŜenie dynamiczne pocisku, natomiast wektor e (będący odległością między
środkiem masy pocisku wywaŜonego i niewywaŜonego) określa niewywaŜenie statyczne.
W celu określenia wpływu asymetrii masowej na lot pocisku opracowano model fizyczny
pocisku z naboju pośredniego 5,56x45 mm (SS109) i wyprowadzono równania ruchu niewywaŜonego statycznie i dynamicznie pocisku wirującego, traktowanego jako bryła sztywna,
w układzie związanym z głównymi centralnymi osiami bezwładności. Wyprowadzone równania posłuŜyły do opracowania oryginalnego programu komputerowego symulacji lotu niewywaŜonych pocisków strzeleckich i przeprowadzenia badań wpływu asymetrii masowej
pocisku na zakłócenie warunków początkowych wylotu pocisku z lufy oraz na zakłócenie
ruchu pocisku dookoła środka masy na całej trajektorii lotu, a w konsekwencji na zwiększenie
rozrzutu pocisków na tarczy (zmniejszenie skupienia).
2. MODEL FIZYCZNY POCISKU TESTOWEGO
Na potrzeby modelowania fizycznego w pracy wykorzystano układy odniesienia zgodne
z Polską Normą PN-83 [6]. Wykaz układów oraz kątów Bryanta [7] stosowanych przy wyprowadzaniu macierzy transformacji między układami przedstawiono na rys. 2. Szczegółowy
opis kątów i konstruowania macierzy transformacji moŜna znaleźć w pracy [1].
Rys. 2. Układy wykorzystywane w modelowaniu lotu pocisków z asymetrią masowobezwładnościową
Podstawowe charakterystyki modelu fizycznego, standardowego (wywaŜonego) pocisku
kalibru 5,56 (rys. 1) z naboju pośredniego 5,56x45 mm (SS109), przedstawiono w tabeli 1.
Tabela 1. Podstawowe charakterystyki modelu fizycznego pocisku testowego
Charakterystyki geometryczne
Charakterystyki masowo-bezwładnościowe
d = 5,56 mm – średnica pocisku
mON = 4,0 g – masa
l = 23,30 mm – długość pocisku
xś.mON = 14,6 mm – współrzędna środka masy
2
główne momenty
S = 24,27 mm – powierzchnia cha- IxON = 0,136710 gcm2
bezwładnościowe
rakterystyczna
IyON = IzON = 1,162034 gcm2
Ze względu na płaski tor oraz krótki czas lotu rozpatrywanych pocisków, w modelu fi-
WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT
21
zycznym uwzględniono tylko dwie najistotniejsze siły działające na pocisk w normalnym
układzie współrzędnych związanym z ziemią O0xgygzg: siłę aerodynamiczną i siłę cięŜkości.
Wektor wypadkowy układu sił aerodynamicznych R A działający na pocisk wyznaczono
w układzie przepływu Owxayaza, natomiast wypadkowy moment układu sił aerodynamicznych
M OA względem środka masy pocisku - wyznaczono w układzie związanym z pociskiem
Owxyz. Wówczas składowe sił i momentów aerodynamicznych moŜna przedstawić
w następującej postaci [3]:
ρV 2
A
R =  Pxa , Pya , Pza  = C xa , C ya , C za , 
S
(1)
2
ρV 2
M OA =  LA , M A , N A  = ClA , CmA , CnA 
Sd
(2)
2
gdzie ρV 2 / 2 - ciśnienie dynamiczne.
W przypadku osiowosymetrycznych pocisków wirujących, gdy parametry lotu przyjmują
małe wartości, współczynniki sił i momentów aerodynamicznych, po rozwinięciu w szereg
Maclaurina i pominięciu wyrazów mało znaczących, moŜna przedstawić w następującej postaci uwzględniającej zaleŜność od: Ma – liczby Macha, Re – liczby Reynoldsa, α – kąta natarcia, β – kąta ślizgu, p, q , r - bezwymiarowych składowych prędkości kątowej pocisku Ω:
C xa = C x 0 ( Ma, Re) + C xα 2 ( Ma )α 2 + C xβ 2 ( Ma ) β 2
(3)
C ya = C y 0 ( Ma ) + C y β ( Ma ) β + C yα p ( Ma )α p
(4)
C za = Cz 0 ( Ma ) + C zα ( Ma )α + Cz β p ( Ma ) β p
(5)
ClA = ClA0 ( Ma ) + ClpA ( Ma ) p
(6)
C = C ( Ma ) + C ( Ma )α + C ( Ma )q + C ( Ma )α& + C
A
m
A
m0
A
mα
A
mq
A
mα&
A
mβ p
( Ma ) β p
CnA = CnA0 ( Ma ) + CnAβ ( Ma ) β + CnrA ( Ma )r + CnAβ& ( Ma ) β& + CnAα p ( Ma )α p
(7)
(8)
Ze względu na płaski tor lotu wektor siły cięŜkości w układzie normalnym związanym
z ziemią o początku w środku masy pocisku Oxgygzg moŜna wyrazić prostą zaleŜnością
G = m  g xg , g yg , g zg  = m [ 0, 0, g 0 ]
(9)
3. MODEL MATEMATYCZNY RUCHU POCISKU Z UWZGLĘDNIENIEM ASYMETRII
MASOWEJ
Przestrzenny ruch pocisku, jako bryły sztywnej o stałej masie, na podstawie twierdzenia
o zmianie pędu i krętu [3, 4, 5], moŜna w układzie poruszającym się z pociskiem, którego
początek pokrywa się ze środkiem masy pocisku niewywaŜonego, opisać następującym układem równań wektorowych:
δV

(10)
m  K + Ω × VK  = R A + G
 dt

δ KO
+ Ω × K O = M OA
(11)
dt
gdzie:
VK = [u Kg , vKg , wKg ] - wektor prędkości środka masy pocisku względem Ziemi,
K O - wektor momentu pędu (krętu) pocisku względem jego środka masy.
3.1. Skalarne równania ruchu z uwzględnieniem asymetrii masowej pocisku
22
L. BARANOWSKI, J. GACEK
W ostatecznej postaci wektorowo-macierzowej model matematyczny ruchu pocisku
w atmosferze ziemskiej z uwzględnieniem asymetrii masowej zawiera:
- dynamiczne równania ruchu środka masy pocisku w układzie Oxbybzb
 gx   0
 u& Kb 
 Px / m 
 g 
 v&  = L


L
P / m + L
 g yg  +  −rb
 Kb 
δ xδ y δ z α ( − β )  y
ΦΘΨ


 w& Kb 
 Pz / m 
 g zg   qb
rb
0
− pb
− qb   u Kb 
pb   vKb 
0   wKb 
- kinematyczne równania ruchu środka masy pocisku
 x& g   u Kg 
 u Kb 
  



−1
 y& g  =  vKg  = LΦΘΨ  vKb 
 z&g   wKg 
 wKb 
  

(12)
(13)
- dynamiczne równania ruchu pocisku dookoła środka masy w układzie Oxbybzb
 I xb
0

 0
0
I yb
0
0   p& b 
0   q&b  = Lδ xδ yδ z
I zb   r&b 
 LA  exb 
 Pxa 
 A  
 
 M  + e yb  ⊗ Lδ δ δ Lα ( − β )  Pya  +
x y z
 N A   ezb 
 Pza 


 0
+  −rb
 qb
rb
0
− pb
−qb   I xb
pb   0
0   0
0   pb 
0   qb 
I zb   rb 
0
I yb
0
- kinematyczne równania ruchu pocisku dookoła środka masy
&  0 sin Φ cos Θ cos Φ cos Θ   p 
Ψ
b
& 
 q 
Θ
=
0
cos
Φ
−
sin
Φ
  
 b
&  1 sin Φ tg Θ
Φ
cos Φ tg Θ   rb 
  
(14)
(15)
- związki geometryczne i równania uzupełniające:
- na kąt pochylenia i odchylenia wektora prędkości środka masy pocisku względem
Ziemi VK
γ = arcsin
wKg
VK
,
χ = arctg
vKg
uKg
(16)
- na składowe wektora prędkości wiatru VW w układzie Oxbybzb.
VW xg 
VW xb 




(17)
VW yb  = LΦΘΨ VW yg 


V 
VW zg 
 W zb 
- na składowe prędkości pocisku względem powietrza V w układzie związanym Owxyz
 uKb − VW xb 
u 
 v  = L−1  v − V 
(18)
δ xδ yδ z  Kb
W yb 
 


 w
 wKb − VW zb 
- na kąt natarcia i kąt ślizgu
 w


α = arctg  −  ,
u
β = arcsin
v
V
(19)
- na bezwymiarowe składowe prędkości kątowej pocisku w układzie związanym Owxyz
WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT
 p
 q  = L−1
δ xδ yδ z
 
 r 
 pb 
q  d
 b V
 rb 
23
(20)
gdzie:
VK = ukb + vkb + wkb
2
2
2
- prędkość pocisku względem ziemi,
V = u 2 + v 2 + w2
- prędkość pocisku względem powietrza,
VW xg , VW yg , VW zg - składowe wektora prędkości wiatru w układzie ziemskim.
3.2. Warunki początkowe wylotu pocisku z lufy z uwzględnieniem asymetrii masowej
Scałkowanie numeryczne równań róŜniczkowych ruchu pocisku (12÷20) wymaga określenia warunków początkowych na wektor prędkości postępowej środka masy pocisku VK0 oraz
na wektor prędkości kątowej pocisku Ω0 w przekroju wylotowym lufy pistoletu.
Rys. 3. Składowa prędkości postępowej środka masy pocisku w przekroju wylotowym lufy
generowana niewywaŜeniem statycznym pocisku re i prędkością obrotową pocisku p0
W przypadku pocisku niewywaŜonego, gdy jego środek masy O nie leŜy na osi symetrii
powierzchni zewnętrznej pocisku (rys. 3), wektor prędkości postępowej VK0 zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej [5] moŜna wyrazić w postaci następującej sumy
VK 0 = V0 + Ω 0 × re
(21)
gdzie:
V0 – prędkość wylotowa pocisku wzdłuŜ przewodu lufy. W układzie związanym
z pociskiem V0 = [u K 0 , 0, 0]
Ω0 – prędkość kątowa pocisku w przekroju wylotowym lufy. W układzie związanym
z pociskiem Ω0 = [ p0 , q0 , r0 ] ,
re - wektor określający połoŜenie środka masy pocisku niewywaŜonego względem
osi symetrii powierzchni zewnętrznej pocisku. W układzie związanym z głównymi osiami bezwładności re = [0, eyb , ezb ]
Składowe początkowej prędkości postępowej pocisku niewywaŜonego VK0 (21) w układzie
związanym z głównymi osiami bezwładności Oxbybzb dają się wówczas sprowadzić do następującej postaci wektorowo-macierzowej
24
L. BARANOWSKI, J. GACEK
VK 0
 uKb 0 
=  vKb 0  = Lδ xδ yδ z
 wKb 0 
u K 0 
 0  −L
δ xδ yδ z
 
 0 
 0
 r
 0
 − q0
− r0
0
p0
q0   0 
− p0  eyb 
0   ezb 
(22)
Natomiast składowe początkowej prędkości kątowej pocisku niewywaŜonego Ω0,
w układzie związanym z głównymi osiami bezwładności Oxbybzb, moŜna wyrazić w następującej postaci wektorowo-macierzowej
 pb 0 
 p0 


Ω0 =  qb 0  = Lδ xδ yδ z  q0 
(23)
 rb 0 
 r0 
4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Badania wpływu asymetrii masowej na rozrzut pocisków przeprowadzono na przykładzie
symulacji strzelania z karabinka kal. 5,56 nabojem pośrednim 5,56x45 mm (SS109) dla następujących parametrów początkowych: u K 0 = 896,3 m/s, p0 = 31673 rad/s, kąt podniesienia
lufy (kąta celownika) C = 0,08°, gwarantujący zerowe przewyŜszenie toru pocisku standardowego na odległości xg = 200 m. Zbadano wpływ zakłóceń (odchyleń) następujących charakterystyk masowych:
- odchyłki masy pocisku w granicach ± 10%, charakterystyczne parametry lotu pocisku dla
kilku wybranych odległości xg = [50, 100, 200, 400] m zestawiono w tabeli 2,
- niewywaŜenia statycznego pocisku ex = 1% l = 0,233 mm oraz ex = 5% l = 1,165 mm (środek masy przesunięty do tyłu względem środka masy pocisku standardowego), wyniki
uzyskanych obliczeń numerycznych w postaci uchybów na tarczy punktów uderzenia (w
poziomie ∆y g = y gON − yg i w pionie ∆h = z gON − z g oraz ∆ = ∆y g2 + ∆z g2 ) w odniesieniu
do punktu uderzenia pocisku standardowego, w funkcji odległości xg zawarto w tabeli 3,
- niewywaŜenia statycznego pocisku re = ey2 + ez2 , ϕ0 = 0° (środek masy odsunięty od osi
symetrii pocisku standardowego o re = 1% d = 0,056 mm oraz re = 5% d = 0,278 mm),
wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 4,
- niewywaŜenia dynamicznego pocisku δy = 0,1° oraz δy = 1,0°, wyniki obliczeń zestawiono
w tabeli 5.
Tabela 2. Porównanie parametrów lotu pocisku o róŜnych masach w funkcji odległości xg
masa pocisku - m [g] / prędkość początkowa - u K 0 [m/s]
m = 3,6 / u K 0 = 899,1
mON = 4,0 / u K 0 = 896,3
m = 4,4 / u K 0 = 894,1
xg
t
h=-zg
yg
VK
tON
hON
ygON
VKON
t
h=-zg
yg
VK
[m]
[ms]
[mm]
[mm]
[m/s]
[ms]
[mm]
[mm]
[m/s]
[ms]
[mm]
[mm]
[m/s]
50
57
54,8
0,3
847,2
57
54,8
0,3
849,6
57
54,7
0,3
851,6
100
118
75,6
1,5
796,6
118
75,8
1,3
804,0
118
75,6
1,2
810,1
WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT
25
200
252
-3,2
6,6
698,7
250
0,0
5,9
715,3
248
2,6
5,3
729,1
400
584
-829,3
34,4
519,6
568
-780,1
29,7
551,2
556
-742,3
26,1
577,8
Tabela 3. Uchyby wywołane niewywaŜeniem statycznym pocisku ex
ex = 1% l = 0,233 mm
ex = 5% l = 1,165 mm
xg
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
[m]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
50
54,75
0,25
0,02
0,06
0,06
54,70
0,16
0,07
0,15
0,17
100
75,66
1,08
0,09
0,23
0,25
75,53
0,63
0,22
0,68
0,71
200
-0,39
4,85
0,39
1,01
1,08
-1,04
2,77
1,04
3,09
3,26
400
-782,05
24,66
1,94
5,01
5,37
-785,88
14,62
5,77
15,05
16,12
Tabela 4. Uchyby wywołane niewywaŜeniem statycznym pocisku re = ey2 + ez2 , ϕ0 = 0°
re = 1% d = 0,056 mm
re = 5% d = 0,278 mm
xg
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
[m]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
50
52,8
-98,0
2,0
98,3
98,3
45,0
-487,7
9,7
488,0
488,1
100
71,9
-195,5
3,8
196,8
196,9
56,8
-975,8
19,0
977,1
977,3
200
-7,7
-387,7
7,7
393,6
393,7
-38,0
-1948,1
38,0
1954,0
1954,4
400
-795,5
-757,6
15,4
787,3
787,5
-856,6
-3878,4
76,5
3908,1
3908,9
Tabela 5. Uchyby wywołane niewywaŜeniem dynamicznym pocisku δy
δy = 0,1°
δy = 1,0°
xg
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
h=-zg
yg
∆h
∆y g
∆
[m]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
50
42,1
92,1
12,7
-91,8
92,7
-71,6
917,9
126,4
-917,6
926,3
100
51,1
183,3
24,7
-182,0
183,7
-168,5
1822,1
244,3
-1820,8
1837,1
200
-49,4
370,2
49,4
-364,3
367,6
-495,0
3652,1
495,0
-3646,2
3679,7
26
L. BARANOWSKI, J. GACEK
400
-879,9
758,0
99,8
-728,3
735,1
-1780,4
7311,1
1000,3
7281,4
7349,8
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE
Przeprowadzone badania numeryczne wpływu odchyłki masy oraz asymetrii masowej pocisku (spowodowanej niejednorodnością rozkładu masy) na wielkość rozrzutu rozpatrywanego pocisku testowego pozwalają wyciągnąć następujące wnioski:
• największy wpływ na rozrzut pocisków ma niewywaŜenie dynamiczne (tabela 5) oraz
niewywaŜenie statyczne, gdy środek masy nie leŜy na osi symetrii pocisku standardowego
(tabela 4),
• zdecydowanie mniejszy wpływ na rozrzut ma niewywaŜenie statyczne, gdy środek masy
pozostaje na osi symetrii pocisku standardowego (tabela 3),
• poniewaŜ asymetria masowa ma kilkakrotnie większy wpływ na rozrzut niŜ odchyłka masy pocisku (tabela 2), naleŜałoby rozwaŜyć konieczność określania w dokumentacji technicznej pocisków tolerancji nie tylko na masę, ale i na jej jednorodność rozkładu.
Praca naukowa finansowana ze środków Komitetu Badań Naukowych
w latach 2004-2006 jako projekt badawczy 0T00B00127
LITERATURA
1. Baranowski L.: Modelowanie i badania procesu samonaprowadzania rakiety z-p w zmiennych warunkach atmosferycznych. Rozprawa doktorska. Warszawa 1998.
2. Baranowski L.: Modele trajektorii ruchu pocisku artyleryjskiego w układach odniesienia zgodnych
z polską normą PN-83. Biuletyn WAT 2002, LI, 10, s. 85-104.
3. Gacek J.: Balistyka zewnętrzna. Cz. I.: Modelowanie zjawisk balistyki zewnętrznej i dynamiki
lotu. Warszawa : Wyd. WAT, 1999.
4. Лебедев A., Чернобровкин Л. С.: Динамика полета. Машиностроение, Москва 1973.
5. Osiński Z.: Mechanika ogólna. Warszawa : PWN, 1994.
6. PN-83/L-01010.00 ÷ 10: Mechanika lotu samolotów i śmigłowców. Dz. Norm i Miar nr1/1984
poz1.
7. García de Jalón, Bayo E.: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems. The Real-Time
Challenge. New York : Springer-Verlag, 1994.
DISPERSION OF SPIN-STABILIZED PROJECTILES
DUE TO ITS MASS ASYMMETRY
Summary. The method of estimation of dispersion of the projectile caused by
their asymmetry is presented. The equations of motion of statically and dynamically
unbalanced projectile in coordinate system that coincides with the principle axis of
inertia are derived. The computer simulations of an unbalanced projectile motion are
performed. The influence of mass asymmetry on the muzzle velocity and the characteristics of angular motion of the projectile on their whole trajectory, as well as the
resulting dispersion magnitude are investigated.