Zestaw V Słowniczek Ostatnie zadanie z łańcuchami Markowa Co

Zestaw V
Ostatnie zadanie
z łańcuchami Markowa
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
24 marca 2014 r.
Zadanie 0 (1 punkt)
Mamy rurę długości 30 centymetrów i z jej lewego końca stawiamy pchłę. Pchła co sekundę wykonuje skok, przy
czym pierwszy skok zawsze jest wgłąb rury (czyli w prawo). Jeśli pchła dojdzie do prawego końca rury, to zawsze
skacze w lewo, zaś jeśli jest gdzieś w środku, to skacze w
lewo lub prawo, oba z prawdopodobieństwem 1{2. Skok
pchły ma długość 1 cm. Gdy pchła wróci na lewy koniec
rury, łapiemy ją. Ile średnio będziemy musieli czekać?
Słowniczek
Łańcuch Markowa: proces Markowa z dyskretnym
czasem.
Osiągalność (albo nieredukowalność): stan j jest
osiągalny z k, jeśli istnieje niezerowe prawdopodobieństwo
przejścia ze stanu k do stanu j w dowolnej liczbie kroków.
Taki łańcuch nazywa się nieredukowalnym.
Szkic odpowiedzi: Spróbujemy użyć twierdzenia ergodycznego. Do tego celu potrzebujemy jednak łańcucha nieprzewiedlnego, jednorodnego w czasie i nieokresowego. ŁaŁańcuch nieprzywiedlny: taki łańcuch Markowa, że two sprawdzić, że łańcuch jest nieprzewiedlny (każde dwa
stany sa „skomunikowane”). Prawdopodobieństwa się nie
każdy stan j jest osiągalny z dowolnego stanu k.
zmieniają, więc łańcuch jest jednorodny w czasie. Niestety
Okresowość: Czasem możemy wrócić do pewnego sta- jest on okresowy (z okresem 2), ponieważ ze stanu parzynu tylko w szczególnej liczbie kroków. Np. w przypadku stego można przejść tylko do stanu nieparzystego.
Spróbujmy jednak rozważyć sytuację, w której wykobłądzenia losowego na prostej całkowitoliczbowej (zadanie
nujemy
po dwa ruchy na raz. Wtedy ze stanu 0 przechoIII.2) mogliśmy wrócić do punktu wyjścia tylko w parzydzimy
do
0 lub 2, z prawdopodobieństwami 1{2. Ze stanu
stej liczbie kroków. Mówimy wtedy, że łańcuch Markowa
2k
przechodzimy
do 2pk ´ 1q lub 2pk ` 1q z prawdopodoma okres 2.
bieństwami
1{4
lub
z powrotem do k z prawdopodobieńFormalniej, okresem stanu j nazywamy najmniejszą tastwem
1{2.
W
końcu
ze stanu 30 przechodzimy do stanu
ką liczbę kroków n dla której możliwy jest powrót do
30
lub
28
z
równymi
prawdopodobieństwami
1{2. Widać
stanu j. Innym słowy, jest to najmniejsze n, dla którego
więc,
że
jest
to
łańcuch
nieokresowy
(tyle,
że
z
jednostką
Pi,i pnq ą 0. Okazuje się, że w łańcuchu nieprzywiedlnym,
czasu
trwającą
dwie
sekundy!).
Możemy
więc
znaleźć
rozwszystkie stany mają ten sam okres. Jeśli okres każdego
kład
stacjonarny
dla
tego
łańcucha
na
mocy
twierdzenia
stanu jest równy 1, mówimy, że łańcuch jest nieokresowy.
ergodycznego.
Rozważmy φ “ pφ0 , φ1 , φ2 , . . . , φ15 q będzie stanem staTwierdzenie ergodyczne: Dla nieprzewiedlnego, jed- cjonarnym dla naszego problemu. Rozwiązujemy równanie
norodnego w czasie i nieokresowego łańcucha Markowa o PT φ “ φ, gdzie macierz przejścia P wynosi:
skończonej liczbie stanów 1, 2, . . . , K i macierzy przej˛
¨1 1
ścia P, istnieje wektor φ (którego nazywamy rozkładem
0 0 0 ... 0 0 0
2
2
stacjonarnym), o współrzędnych φ1 , φ2 , . . . taki, że
‹
˚1 1 1
˚
0 0 . . . 0 0 0‹
4
2
4
‹
˚
iq φi ą 0 dla 1 ď i ď K,
‹
˚
˚0 1 1 1 0 . . . 0 0 0‹
4
2
4
‹
˚
iiq dla dowolnych stanów k oraz j
‹
˚
˚0 0 1 1 1 . . . 0 0 0‹
P“˚
4
2
4
‹.
‹
˚
lim Pk,j pnq “ φj ,
˚ .. .. .. .. ..
nÑ`8
..
.. .. .. ‹
˚. . . . .
.
. . .‹
‹
˚
1
1
1‹
˚
gdzie przez Pk,j pnq rozumiemy prawdopodobieństwo
˚0 0 0 0 0 . . . 4 2 4 ‹
‚
˝
przejścia ze stanu k do j w n krokach,
0 0 0 0 0 . . . 0 12 12
iiiq wektor φ jest jedynym rozwiązaniem równania:
Wystarczy teraz rozwiązać równanie PT φ “ φ i wyznaczyć
φ0 (pamiętając, że w naszym zmodyfikowanym łańcuchu
jeden skok trwa dwie sekundy).
PT φ “ φ,
ř
które spełnia warunek i φi “ 1.
Innym słowy, prawdopodobieństwo przejścia ze stanu k
do stanu j w n krokach, dla dużego n zależy tylko od stanu
końcowego j, nie zaś od stanu początkowego k.
Co dalej?
Dla zainteresowanych łańcuchami Markowa polecam do
Czas powrotu: jeśli znamy stan stacjonarny φ (patrz przeczytania artykuły o pchłach (patrz linki na mojej strotwierdzenie ergodyczne), to czas powrotu łańcucha do po- nie domowej, pod zadaniami). Teraz przejdziemy natozycji j wynosi 1{φj .
miast do termodynamiki.
1
Jeśli jakaś forma Pfaffa P nie jest różniczką zupełną,
ale jest całkowalna˚ w obszarze jednospójnym Ω P Rn , to
istnieje tzw. czynnik całkujący : g, taki że dP “ g df gdzie
df jest różniczką zupełną. W ramach ćwiczeń, znajdź w
domu czynniki całkujące g dla tych form Pfaffa z punktów
(i)–(iv), które okazały się nie być różniczkami zupełnymi.
Termodynamika
Zadanie 1 (1 punkt)
[Przypomnienie z podstaw termodynamiki]
Masa powłoki balonu wraz z gondolą i osprzętem wynosi M “ 300 pkgq. Balon ma kształt kuli o średnicy
d “ 13 pmq. W dolnej części balonu znajduje się niewielki otwór, przez który jest ogrzewane powietrze wewnątrz powłoki. Na zewnątrz panują warunki normalne
(p0 “ 105 pP aq oraz T0 “ 273 pKq).
Zadanie 2 (1 punkt)
i) Rozważ proces termodynamiczny, w którym parametr
stanu x “ const. Załóż, że stan badanego układu może być opisany za pomocą jedynie dwóch niezależnych
parametrów, np. objętości V i temperatury T . Pokaż,
że ciepło molowe cx jest równe:
i) Oblicz najniższą temperaturę powietrza wewnątrz balonu, przy której balon zaczyna się unosić.
ii) Przyjmując, że:
ž temperatura początkowa wewnątrz balonu jest
taka sama jak na zewnątrz,
ž powietrze wewnątrz balonu nagrzewa się powoli
i równomiernie,
ž ciepło uchodzące przez powłokę podczas ogrzewania można zaniedbać,
ˆ
n cx “
BU
BT
˙
„ˆ
`
V
BU
BV
˙
ˆ
`p
T
BV
BT
˙
,
x
gdzie p. . .qx oznacza, że dane wyrażenie jest niezależne
od parametru x.
ii) Udowodnij, że dla gazu doskonałego prawdziwy jest
wzór Mayera:
oszacuj ilość ciepła, jaką należy dostarczyć do wnętrza
balonu, aby zaczął on się unosić.
cp ´ cV “ R.
Przyjmij, że powietrze wewnątrz i na zewnątrz balonu zachowuje się jak dwuatomowy gaz doskonały o masie molowej m “ 29 pgq. Zaniedbaj siłę wyporu powietrza zwią- Podpowiedź: (i) Mówimy, że energia U zależy od p,
zaną z objętością gondoli i osprzętu balonu. Stała gazowa V i T . Mamy jednak (jakieś) równanie stanu, które wiąże
J
nam parametry p, V , T . Stąd wybrać możemy tylko 2 takie
.
R “ 8,31 mol¨K
parametry, tj.:
Podpowiedź: Potrzebne wzory: Fw “ ρ0 V g, Fg “
M
` ρ1 V g, pV “ nRT , V “ π6 d3 , ρ “ nm
V , dQ “
´ g¯
BU
dp ` ncp dT ` p dV .
Bp
BU
Bp
˙
BU
Bp
˙
BU
BV
˙
ˆ
dU pp, V q “
ˆ
dp `
V
BU
BV
˙
BU
BT
˙
BU
BT
˙
dV,
p
T
lub
Dygresja matematyczna (0 punktów)
ˆ
dU pp, T q “
[Nie będziemy przerabiać tego zadania na ćwiczeniach.
Polecam jednak przypomnieć sobie w jaki sposób sprawdza
lub
się, czy mamy do czynienia z różniczką zupełną oraz w jaki
sposób znajduje się czynnik całkujacy]
ˆ
dU pV, T q “
Forma Pfaffa to rodzaj formy różniczkowej postaci:
dF px1 , . . . , xn q “
n
ÿ
dp `
T
ˆ
dV `
T
dT,
p
dT.
V
Z I zasady termodynamiki mamy natomiast, że dQ “
dU ` pdV . Zapisując dQ w odpowiednich zmiennych dostaniemy piq. Do udowodnienia piiq można użyć piq.
fi px1 , . . . , xn q dxi .
i“1
def 1
n
Pamiętaj, że cx “
W szczególnym przypadku, gdy
fi px1 , . . . , xn q ”
ˆ
pdQ{dT qx .
˚ Inaczej mówiąc “istnieje rozwiązanie równania dP “ 0, które
jest foliacją Rn ”, albo inaczej “w dowolnym sąsiedztwie każdego
punktu istnieją punkty, których z tego punktu nie da się osiągnąć
po krzywej będącej rozwiązaniem równania Pfaffa” (patrz tw. Carathéodory’ego).
: Dla jednego wymiaru każda forma Pfaffa jest różniczką zupełną, więc nie ma potrzeby wprowadzać czynnika całkującego g. Dla
dwóch wymiarów każda liniowa forma Pfaffa ma czynnik całkujący. Dla trzech wymiarów warunkiem koniecznym istnienia czynni~ d~
ka całkującego dla formy Pfaffa postaci dD “ X
x jest warunek
~
~ “ 0. Jeśli istnieje jeden czynnik całkujący formy PfafXp∇
ˆ Xq
fa, to istnieje ich nieskończenie wiele. Więcej informacji o formach
różniczkowych można znaleźć w dobrych podręcznikach do analizy
matematycznej.
BF px1 , . . . , xn q
,
Bxi
to mówimy, że dF jest różniczką zupełną.
Żeby poćwiczyć, sprawdź w domu, czy następujące wyrażenia są różniczkami zupełnymi:
i) dF “ xdx ` zdy ` ydz,
ii) dG “ px2 ` yqdx ´ xdy,
iii) dH “ e´ay dx ` e´by dy,
iv) dK “ d~r ¨ ∇φ.
2
Zadanie 3 (1 punkt)
Zadanie domowe; (1 punkt)
i) Rozważ gaz doskonały. Pokaż, że w procesie
Oblicz sprawność wybranego z silników: Otta, Diesla lub
quasistatyczno-adiabatycznym spełniona jest tzw. re- Joule’a.
lacja Poissona:
pV γ “ const.,
Podpowiedź: Powinno wyjść dla silnika Otta:
dla γ “ cp {cV .
ˆ
ηO “ 1 ´
V2
V1
˙γ´1
,
ii) Korzystając z relacji Poissona oblicz ściśliwość gazu
doskonałego w procesie adiabatycznym. Czy zadanie
to można rozwiązać bez założenia o quasistatyczności dla silnika Disla:
procesu?
1 pV2 {V1 qγ ´ pV3 {V1 qγ
ηD “ 1 ´
,
γ pV2 {V1 q ´ pV3 {V1 q
Podpowiedź: (i) Zauważ, że cV “ n1 pdU {dT qV (dlaczego?) oraz dla procesu adiabatycznego dU “ ´pdV . Użyj dla silnika Joule’a:
równania gazu doskonałego pV ´ nRT . Zauważ, że dla
ˆ ˙pγ´1q{γ
gazu doskonałego, energia wewnętrzna gazu U nie zależy
p1
η
“
1
´
.
J
od V . Skorzystaj z prawa Mayera. (ii) Definicja ściśliwop2
´ ¯
ści gazu przy stałym parametrze x to κx “ ´ V1
Przyjmij x “ S. Rozważ df pp,V q “ pV
Poissona). Policz df pp,V q.
γ
BV
Bp
.
x
Literatura
“ const. (relacja
[1] K. Huang, Podstawy Fizyki Statystycznej, PWN,
Warszawa, 2006.
Zadanie 4 (1 punkt)
[2] K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki
statystycznej dla chemików, Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
[Zastosowanie II zasady termodynamiki]
Jednym z wniosków wynikających z II zasady termodynamiki jest twierdzenie, że zamiana ciepła na pracę w
sposób cykliczny jest możliwe tylko wtedy, gdy maszyna
cieplna pracuje połączona z dwoma zbiornikami cieplnymi o różnych temperaturach, przy czym maszyna pobiera
ciepło ze zbiornika o wyższej temperaturze i oddaje część
ciepła do zbiornika o temperaturze niższej.
Przykładem maszyny cieplnej pracującej w sposób periodyczny jest maszyna pracująca w cyklu Carnota.
[3] H. Arodź, K. Rościszewski, Fizyki statystyczna i termodynamika fenomenologiczna dla studentów zaocznych, wyd.2, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków,
1980.
[4] H. Arodź, K. Rościszewski, Zbiór zadań z termodynamiki i fizyki statystycznej dla studentów zaocznych,
Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków, 1980.
i) Wymień założenia dotyczące cyklu Carnota;
ii) Oblicz sprawność cyklu Carnota (patrz np. w [3]);
[5] A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwiązaniami z
termodynamiki i fizyki statystycznej, Oficyna Wyd.
Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
iii) Uzasadnij, że silnik pracujący w cyklu Carnota ma
największą sprawność ze wszystkich silników (patrz
np. w [5]);
iv) Uzasadnij konieczność istnienia zera bezwzględnego
(patrz np. w [1]).
Podpowiedź: Odpowiedzi na wszystkie podpunkty
można znaleźć w wymienionej literaturze. Wszystkie te
książki są dostępne w instytutowej bibliotece.
; Zadanie domowe nie jest obowiązkowe. Jednak jest jednak warte
1 punkt. Nie każdy zestaw będzie kończyc się zadaniem domowym.
Przewiduję około 4 zadania domowe w ciągu semestru. Zachęcam
więc do jego zrobienia – jest to sposób na zdobycie dodatkowych
punktów. Zadanie domowe można przynieść na ćwiczenia lub wysłać
w formie elektronicznej w terminie do 7 kwietnia do godziny 1400
(macie więc ponad dwa tygodnie!).
3