10. Ruch płaski ciała sztywnego

10. Ruch płaski ciała sztywnego
1. Prędkość w ruchu płaskim
Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim
1. Analitycznie
Dane: A,  Szukane: B

 
l B   A  B / A
B / A    
y
A
B’
x
B
O
B


B/A
A
A
B
A’
A
2. Na podstawie położenia
chwilowego środka prędkości
Dane: A,  lub A i położenie s
Szukane: B

 A  A  B   B

3. Na podstawie rzutów prędkości
na kierunek wspólnej prostej


s
chwilowy środek prędkości

Dane: A, kierunek l
prędkości punktu B
Szukane: B


 A'   B '
1
Zadanie 1
Wyznaczyć prędkość punktów A, B, C i D toczącego się
bez poślizgu krążka o promieniu r. Dana jest prędkość
środka krążka O.
B
D
r
O
A
C
O
Zadanie 2
W mechanizmie korbowym korba OA o długości r obraca się z prędkością kątową 0 wokół
nieruchomej osi. Wyznaczyć prędkość suwaka B oraz prędkość kątową  korbowodu AB w
położeniach mechanizmu pokazanych na rysunku. Długość korbowodu AB równa jest l.
b)
a)
c)
B
B
B
l
l
l
A
r
A
Odp.:
0
A
r
O
 B  0 r
 0
B  0
r
0
O
r 2 2
r l
l
0
O
  0
r2
l2
B  0   0
r
l
2
Odp.:
Zadanie 3
a)
Szpula o promieniach r i 2r
toczy się bez poślizgu po
prostej. Prędkość środka
szpuli wynosi 0. Ze szpulą
związany jest przegubowo
pręt AB o długości 6r, którego koniec B ślizga się po
wspomnianej prostej.
Wyznaczyć prędkość
końca B pręta w położeniach
pokazanych na rysunku.
A
6r
 B  3 0
r
2r
0
r
2r
0 A
r
2r
0
B
b)

2 
 B   0 1 

35 

B
c)
 B   0
B
A
Zadanie 4
Mechanizm planetarny składa się z koła centralnego 1 o promieniu
r1, satelity 2 o promieniu r2, jarzma 3 oraz koła zewnętrznego 4.
4
2 A
r2
O2
2
3
3
1
Dane
Szukane
a) 1=0
3=0
4
A
b) 1= 0
3=–0
4
A
c) 4= 0
1=0
3
A
r1
O1
r r
Odp.: a )  4  2 0 1 2
r1  2 r2
 A   0 2 r1  r2 
1
4
3r  2 r2
b)  4   0 1
r1  2r2
 A  0
2r1  r2 2  r1  r2 2
c) 3 
 0 r1
2 r1  r2
 A   0 r1
2
2
3
Zadanie 5
Pręt AB o długości l ślizga się po dwóch prostych nachylonych
pod kątem .
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli
tworzy on z prostą poziomą kąt  (<) zaś prędkość końca A
wynosi A.
B
l


Odp.:  B   A
A A
cos 
cos    

 A sin 
l cos    
Zadanie 6
Pręt AB o długości l ślizga się po poziomej prostej oraz po narożu C.
Koniec A pręta posiada prędkość A.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli
tworzy on z prostą poziomą kąt . Dany jest wymiar h.
B
C
h
Odp.:
B 

A A
A 2 2 4
h  l sin   2hl sin 3 
h

A 2
sin 
h
4
Zadanie 7
Ze szpuli o promieniach R i r odwinięto nić o długości l. Koniec
nici ciągnięty jest z prędkością .
Po jakim czasie nić nawinie się na szpulkę?
r
R

l
Odp.:
t
l  Rr 


 r 
Zadanie 8
Szpula o promieniach r i R toczy się bez poślizgu między dwiema
równoległymi listwami posiadającymi prędkości 1 oraz 2.
Wyznaczyć prędkość kątową szpuli oraz prędkości punktów A i B.
1
2
A
B
R
r
Odp.:
 A   r 2  e 2  B   r  e   
gdzie: e 
1   2
rR
R 2  r1
1   2
5
Zadanie 9
Mechanizm składa się z 3 prętów połączonych przegubowo.
Pręty O1A oraz O2B mogą obracać się wokół nieruchomych osi
O1 i O2. Pręt O1A obraca się z
prędkością kątową 0.
Wyznaczyć prędkość kątową
pręta O2B.
A
a 
0
O1
a
O2
B
a
a
Odp.:

0
2
Zadanie 10
Mechanizm składa się z 3 prętów połączonych przegubowo.
Pręty O1A oraz O2B mogą obracać się wokół nieruchomych osi
O1 i O2. Punkt A posiada prędkość A.
Wyznaczyć prędkość punktu B.
A
A
B
O1
60°
60°
O2
Odp.:  B  2 A
6
Zadanie 11
C
Pręty AC i BC połączono przegubowo w punkcie C. Końce prętów
ślizgają się wzdłuż wzajemnie
prostopadłych prostych z prędkościami A oraz B.
Wyznaczyć prędkość punktu C w
położeniu mechanizmu pokazanym
na rysunku.
60°
B
B
A
Odp.:
C 
A
1 2
 A   B2
2
Zadanie 12
Koniec A pręta AB o długości 3r ślizga się z prędkością A po
powierzchni walcowej o promieniu r. Równocześnie pręt opiera
się o naroże C.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta w
pokazanym położeniu.
B
C
r
A
A
Odp.:  B   A
13  6 2
2

A
2r
7
Zadanie 13
Koła o promieniach r1 i r2, z których pierwsze jest nieruchome,
opasano nierozciągliwą, szorstką taśmą zaś ich środki połączono
przegubowym prętem. Obliczyć prędkość kątową 2 drugiego
koła, jeśli prętowi nadano prędkość kątową 0.
r1
r2
O1
O2 2
0
Odp.: 2  0
r1  r2
r2
Zadanie 14
Środki trzech kół, mogących toczyć się po sobie bez poślizgu,
połączono listwą, której nadano prędkość kątową 0. Obliczyć
prędkości kątowe drugiego i trzeciego koła, jeśli koło pierwsze
zostało unieruchomione. Dane są promienie kół.
2
r1
r2
O1
O2
r3
O3
3
0
2  0
r1  r2
r2
3  0
r1  r2  r3
r3
Odp.:
8
Zadanie 15
Zagięty pod kątem =60o cienki pręt ślizga się po powierzchni
nieruchomego walca w płaszczyźnie prostopadłej do jego osi.
Punkt A pręta, w którym styka się on z walcem, posiada prędkość
A. Obliczyć prędkość B naroża B pręta.
A

B
Odp.:  B  2 A
Zadanie 16

C
Ciężar C podnoszony jest za pomocą
mechanizmu wielokrążkowego pokazanego na rysunku.
Jaka będzie prędkość C ciężaru, jeśli
koniec liny pociągniemy z prędkością  ?
C
1
Odp.: C  
4
9
Zadanie 17
Na dwóch walcach, o promieniach r1 i r2, ułożono deskę, po czym
środkowi pierwszego walca nadano prędkość 1.
Obliczyć prędkość 2 środka drugiego walca oraz prędkość
kątową  deski, jeśli w układzie nie ma poślizgu.

r1
1
r2
2
Odp.: 2  1   0
10