hybrydowe metody elementów skończonych w zagadnieniach

PRACE
z. 138
NAUKOWE
POLITECHNIKI
WARSZAWSKIEJ
Elektryka
2009
Jacek Starzyński
Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych
HYBRYDOWE METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W ZAGADNIENIACH
OPTYMALIZACJI POŁOŻENIA
Rękopis dostarczono 6.02.2009 r.
Celem autora było przeanalizowanie hybrydowych metod elementów skończonych pod
kątem zastosowania ich w takich problemach odwrotnych, gdzie poszukujemy rozwiązania
przez przemieszczanie lub zmianę rozmiarów pewnych podobszarów modelu numerycznego. Zdaniem autora wykorzystanie metod hybrydowych umożliwia pokonanie w takich
zadaniach problemów stwarzanych przez klasyczną metodę elementów skończonych.
W rozprawie opisano zarówno ogólne metody, które mogą zostać zastosowane do
szerokiej klasy zagadnień, jak i metody specjalizowane, ściśle dostosowane do konkretnych problemów i wykorzystujące specyfikę tych problemów do zapewnienia maksymalnej
szybkości symulacji z zachowaniem rozsądnych granic błędu.
Praca składa się z sześciu rozdziałów. Pierwszy z nich zawiera wprowadzenie w tematykę i przedstawia tezę pracy: zastosowanie połączenia metody elementów skończonych
z innymi metodami numerycznymi pozwala tworzyć modele doskonale nadające się do
rozwiązywania dużej klasy zagadnień odwrotnych.
W rozdziale 2 omówiono sposób formułowania problemów odwrotnych, których dotyczy niniejsza praca, opisano zastosowanie MES do symulacji zagadnień pola elektromagnetycznego, przedstawiono, na czym polegają podstawowe problemy występujące w takich zadaniach i jak można te problemy rozwiązać przez zastosowanie hybrydowej MES.
Rozdział 3 to przegląd metod hybrydyzacji dogodnych z punktu widzenia niniejszej pracy. Najwięcej uwagi poświęcono tym metodom, które zdaniem autora nadają
się najlepiej do realizacji założonych zadań. Dla problemów dwuwymiarowych jest to
hybrydyzacja wykorzystująca funkcje Greena, natomiast dla problemów trójwymiarowych – hybrydyzacja MES za pomocą uogólnionej techniki wielobiegunów. Na podstawie
analizy teoretycznej i wyników symulacji wykazano związki pomiędzy tymi metodami
i ich komplementarność. Opisano też wspólne korzenie tych metod i opartą na tych samych przesłankach metodę konstrukcji modeli hybrydowych, dostosowanych do problemów optymalnego projektowania źródeł pola.
4
Wykaz ważniejszych oznaczeń i symboli
Rozdział 4 zawiera uwagi na temat implementacji opracowanych metod. Jest to zagadnienie odmienne od sformułowania matematycznego, ale równie ważne z punktu widzenia praktycznej przydatności pracy.
Rozdział 5 to przykłady zastosowania opracowanych metod do rozwiązania różnych
zadań optymalizacji kształtu. Przedstawiono tam zarówno idealizowane problemy umożliwiające przetestowanie i zweryfikowanie poprawności metod, jak i dwa duże, rzeczywiste
problemy techniczne.
Rozdział 6 zawiera krótkie podsumowanie uzyskanych wyników i wypływające z niego wnioski. Zastosowanie metod hybrydowych wymaga znacznych nakładów pracy przy
opracowaniu oprogramowania, ale pozwala zdecydowanie przyspieszyć obliczenia w problemach optymalizacji położenia.
Słowa kluczowe: modelowanie pola magnetycznego, metody numeryczne, metoda elementów skończonych, funkcje Greena, metoda elementów brzegowych, metoda wielobiegunów, optymalizacja
WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SYMBOLI
MEB – metoda elementów brzegowych
MES – metoda elementów skończonych
UTW – uogólniona technika wielobiegunów
A – wektorowy potencjał magnetyczny
B – wektor indukcji magnetycznej
C – pojemność elektryczna
D – wektor indukcji pola elektrycznego
E – wektor natężenia pola elektrycznego
G – funkcja Greena
H – macierz stanu MES (hybrydowej MES)
H – wektor natężenia pola magnetycznego
J – wektor gęstości prądu
L – operator różniczkowy
N – funkcje bazowe metody numerycznej
P – funkcje bazowe (wektor funkcji bazowych) aproksymacji UTW
Plm – stowarzyszone wielomiany Legendre’a
r – wektor położenia
R – wektor prawych stron w układzie równań stanu
W – funkcja wagi w słabym (rezydualnym) sformułowaniu zagadnienia brzegowego
Γ – brzeg obszaru lub podobszaru
Θ – obszar, w którym pole opisane jest za pomocą metody innej niż MES
Ω – obszar, w którym pole opisane jest za pomocą MES
Ωe – obszar pojedynczego elementu skończonego