MES1_notatki do wykładów_część_2

Transkrypt

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_1. CZĘŚĆ 2. MATERIAŁY DO WYKŁADU
6. DWUWYMIAROWE I TRÓJWYMIAROWE ZADANIA
TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
Wszystkie zadania inżynierskiej analizy naprężeń dotyczą w rzeczywistości trójwymiarowego
stanu naprężenia. Tylko dla niektórych z nich wystarczająco dokładne mogą być modele
prętowe. Pewne elementy konstrukcyjne analizowane mogą też być przy zredukowaniu opisu
do dwóch wymiarów. Mamy wtedy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, płaskim
stanem odkształcenia lub osiową symetrią.
Również w dwu– i trójwymiarowych problemach teorii sprężystości MES może być formułowana jako metoda
wykorzystująca twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej. Całkowita energia potencjalna ciała
sprężystego określona jest jako:
V = U − Wz =
1
σ ijε ij d Ω − ∫ X i ui d Ω − ∫ pi ui d Γ ,
2 Ω∫
Ω
Γ
(152)
gdzie kolejne symbole oznaczają (rys. 38):
Ω – obszar zajmowany przez ciało,
Γ – brzeg obszaru,
σ ij
– tensor stanu naprężenia,
ε ij
– tensor stanu odkształcenia,
u i – pole przemieszczeń,
p i – obciążenie brzegowe,
X i – siły objętościowe.
Pierwszy człon wyrażenia (152) przedstawia energię potencjalną odkształcenia sprężystego ciała a drugi pracę
sił zewnętrznych. W MES wykorzystujemy znane związki teorii sprężystości zapisane w postaci macierzowej.
Związki między stanem odkształcenia a polem przemieszczeń można zapisać jako:
{ ε ( x, y , z ) }
gdzie
= [ R ] { u ( x, y , z ) } ,
(153)
{ε } jest wektorem składowych stanu odkształcenia, a {u} wektorem przemieszczenia. W zapisie tym
wszystkie analizowane funkcje: opisujące wektorowe pole przemieszczenia
naprężenia
σ ij ( x, y, z )
i odkształcenia
ε ij ( x, y, z )
u i ( x, y, z ) oraz tensorowe pola
zapisywane są formalnie w postaci wektorowej. Macierz
[R] jest macierzą operatorów różniczkowych.
W przypadku trójwymiarowym mamy:
66
σ x 
σ 
 y
σ 
σ =  z ,
τ xy 
τ yz 
 
τ zx 
∂
 ∂x

0


0

[ R] =  ∂

 ∂y

0


∂
 ∂z
 εx 
ε 
 y
ε 
{ε } =  z  ,
γ xy 
γ yz 
 
γ zx 
0
∂
∂y
0
∂
∂x
∂
∂z
0

0

0


∂
∂z 
,

0


∂
∂y 

∂
∂x 
u 
 
{u} = υ  ,
 w
 
(154)
a w przypadku dwuwymiarowym
σ x 
 
σ = σ y  ,
τ 
 xy 
∂

 ∂x

[ R] =  0

∂

 ∂y
εx 
{ε } =  ε y  ,
γ 
 xy 

0

∂
,
∂y 
∂

∂x 
u 
.
υ 
{u} = 
(155)
Związki między stanem naprężenia a stanem odkształcenia wyraża prawo Hooke’a:
{σ } = [D]{ε },
w którym macierz stałych sprężystych
[ D] =
[D] dla stanu trójwymiarowego jest równa:
1− v
v
v
0
0
0
v
1− v
v
0
0
0
v
v
1− v
0
0
0
0
0
0
1 − 2v
2
0
0
0
0
0
0
1 − 2v
2
0
0
0
0
0
0
1 − 2v
2
E
(1 + v)(1 − 2v)
Dla płaskiego stanu naprężenia
(σ
z
(156)
.
(157)
= 0, τ yz = 0, τ zx = 0 )
1 v
0
E
[ D] = 2 v 1 0
1− v
1− v
0 0
2
Natomiast dla płaskiego stanu odkształcenia
(ε
z
(158)
= 0, γ yz = 0, γ zx = 0 ) macierz stałych sprężystych jest równa
67
E
[D] =
(1 + v)(1 − 2v)
1− v
v
v
1− v
0
0
0
0
.
1 − 2v
2
(159)
W podstawowej wersji MES pole przemieszczeń jest aproksymowane za pomocą zbioru funkcji
ciągłych określonych w skończonej liczbie podobszarów
analizowany obszar
Ω i (elementów skończonych) na jakie dzielony jest
Ω (rys 38).
LE
Ω = ∪ Ωi
Ωi ∩ Ω j = 0
i≠ j
(160)
i =1
y
Xi
pi
ui ,
ij
,
ij
e
x
Rys. 38. Podział dwuwymiarowego obszaru analizy na elementy skończone
Kształt elementu skończonego określony jest przez węzły i odpowiednie funkcje interpolacyjne (rys. 39). W
zagadnieniach dwuwymiarowych mamy zwykle 2 stopnie swobody w węźle (składowe
u i υ przemieszczenia
węzła) a w zagadnieniach trójwymiarowych trzy stopnie swobody w węźle ( u ,υ , w ). W efekcie liczba stopni
swobody elementu jest równa iloczynowi liczby węzłów i liczby stopni swobody w węźle. Najprostszy,
trójkątny element dwuwymiarowy ma LS = 6 stopni swobody, a na przykład element trójwymiarowy o 20
węzłach LS = 60 stopni swobody.
68
v
elementy dwuwymiarowe
u
LWE=3
LWE=6
LWE=4
LWE=8
w
elementy trójwymiarowe
v
u
LWE=4
LWE=10
LWE=8
LWE=20
LWE - liczba węzłów elementu
Rys. 39. Wybrane elementy skończone dla zagadnień dwu– i trójwymiarowych
Poszukiwane pola przemieszczeń wewnątrz elementu skończonego opisujemy za pomocą z
góry założonych funkcji aproksymujących, tzw. funkcji kształtu, i wartości przemieszczeń w
węzłach elementu:
{u} = [ N ( x, y, z )] {q}e ,
gdzie {q}e jest wektorem przemieszczeń węzłowych, a macierz
(161)
[N ] nazywana jest macierzą funkcji kształtu.
Na przykład dla najprostszego trójkątnego elementu dwuwymiarowego otrzymamy:
 u1 
υ 
 1
N
(
x
,
y
)
0
N
(
x
,
y
)
0
N
(
x
,
y
)
0
u
(
x
,
y
)
 u2 

  1
2
3

=
 .
N1 ( x, y )
0
N 2 ( x, y )
0
N 3 ( x, y )  υ2 
υ ( x, y )   0
 u3 
 
υ3 
(162)
Model dyskretny metody elementów skończonych powinien zapewniać zbieżność rozwiązania przybliżonego do
rozwiązania ścisłego przy zwiększaniu liczby elementów i liczby węzłów podziału (zagęszczaniu siatki
dyskretyzacyjnej). Można wykazać, że dla zapewnienia zbieżności rozwiązania funkcje kształtu powinny
spełniać następujące warunki:
1.
2.
Funkcje muszą umożliwiać uzyskanie w elemencie stałych wartości funkcji poszukiwanej i jej
pochodnych występujących w minimalizowanym funkcjonale. W zagadnieniach teorii sprężystości
oznacza to możliwość otrzymania stałych przemieszczeń i stałych odkształceń.
Funkcje kształtu muszą zapewniać na granicach między elementami ciągłość funkcji i jej pochodnych do
rzędu o 1 mniejszego niż najwyższa podzielna występująca w minimalizowanym funkcjonale. W
zadaniach teorii sprężystości oznacza to konieczność zapewnienia jedynie ciągłości funkcji
przemieszczeń
{u} .
Dlatego w omawianym wcześniej przypadku zginania belek wymagana była
ciągłość pierwszej pochodnej linii ugięcia w′ .
69
[N ] są zwykle wielomianami i definiuje się je w lokalnych
Funkcje kształtu N ij występujące w macierzy
układach współrzędnych, związanych z węzłami elementu. Dyskretyzacja obszaru i założone funkcje
aproksymujące pozwalają na określenie przemieszczeń, stanu odkształcenia i stanu naprężenia w każdym
elemencie jako funkcji współrzędnych x, y , z , i przemieszczeń węzłowych
{q}e
{u} = [ N ] {q}e ,
{ε } = [ R ] {u} = [ R ][ N ] {q}e = [ B ] {q}e ,
{σ } = [ D ] {ε } = [ D ][ B ] {q}e .
(163)
Energia sprężysta zgromadzona w elemencie skończonym może być więc obliczona ze
wzoru
Ue =
1
ε  {σ } d Ω e .
2 Ω∫e
(164)
Przekształcając (164) otrzymamy:
1
T
U e = ∫  q  e [ B ] [ D ] [ B ] {q}e d Ωe ,
2 Ωe
(165)
1
 q  e [ k ]e {q}e .
2
Ue =
(166)
gdzie macierz
[ k ]e = ∫ [ B ] [ D ][ B ] d Ωe = ∫  B∗  d Ωe ,
T
Ωe
(167)
Ωe
nazywana jest macierzą sztywności elementu skończonego. Jest to zawsze symetryczna, osobliwa macierz
kwadratowa o wymiarze równym liczbie stopni swobody elementu. Wartości współczynników k ij macierzy
sztywności elementu zależą od liczby i położenia węzłów, funkcji kształtu i własności materiałowych.
Obliczenie
[k ]e
jest zwykle zadaniem dość złożonym. Współczynniki macierzy  B
*
 są zazwyczaj funkcjami
położenia; powoduje to konieczność opracowania specjalnych procedur całkowania numerycznego w obszarach
zajmowanych przez elementy skończone.
Energia odkształcenia sprężystego ciała U może być obliczona jako suma energii odkształcenia dla
poszczególnych elementów
LE
U = ∑U e .
(168)
e =1
Postępując analogicznie jak poprzednio (porównaj np. wzory 120, 121) energię potencjalną
przedstawić jako funkcję przemieszczeń węzłowych całego ciała:
U można
1
(169)
 q  [ K ] {q} ,
2 1×n n×n nx1
gdzie n jest liczbą stopni swobody całego modelu. Macierz [ K ] nazywana jest macierzą sztywności modelu
U=
ciała, a wektor {q} jest wektorem stopni swobody (przemieszczeń węzłowych).
Model dyskretny MES wymaga zastąpienia wszystkich obciążeń rozłożonych (powierzchniowych,
objętościowych) przez równoważne siły węzłowe. Odpowiednie związki wynikają z porównania pracy obciążeń
ciągłych na dowolnych przemieszczeniach dopuszczalnych z pracą zastępczych sił węzłowych na odpowiednich
przemieszczeniach węzłowych.
Otrzymamy w ten sposób tak zwane kinematycznie równoważne siły węzłowe dla każdego elementu. Praca
obciążeń objętościowych
 X  =  X 1 , X 2 , X 3  w obszarze elementu jest równa:
70
Wzex =
∫  X  {u} d Ω
e
∫  X  [ N ]{q}
=
Ωe
e
Ωe
więc wektor równoważnych sił węzłowych dla obciążeń
d Ωe =  F x  {q}e ,
e
X i określa równanie:
∫  X  [ N ] d Ω .
 F x  =
e
(170)
(171)
e
Ωe
W podobny sposób otrzymać można wartości równoważnych sił węzłowych dla obciążeń powierzchniowych.
Γep brzegu elementu jest częścią analizowanego obszaru z obciążeniem p to
Jeśli przyjmiemy, że fragment
mamy:
Wzep =
∫  p  {u} d Γ
∫  p  [ N ]{q}
=
p
e
Γ ep
Γ ep
gdzie
p
 F  e =
e
d Γ ep =  F p  {q}e ,
e
∫  p  [ N ] d Γ
p
e
.
(172)
(173)
Γep
Warto zauważyć, że kinematycznie równoważne siły węzłowe od obciążeń ciągłych są zawsze statycznie
równoważne – dają tę samą siłę wypadkową. Jednak wartości poszczególnych sił węzłowych np. dla stałego
obciążenia powierzchniowego p0 (rys. 40) mogą czasami wydawać się zaskakujące i mieć na przykład różne
zwroty. Więcej informacji na ten temat można znaleźć na przykład w [14].
p0a
2
p0a
2
2pa
3 0
p0a
6
p0a
6
p0
a
a
p0
a
a
element płaski 4-węzłowy
element płaski 8-węzłowy
ściana obciążona
ciśnieniem p 0
2
2
p0a
4
p0a
4
p0a
4
p0a2
4
a
a
a
a
p0a2
3
2
p0a2
12
a
a
a
element przestrzenny
8-węzłowy
element przestrzenny
20-węzłowy
Rys. 40. Przykłady równoważnych sił węzłowych odpowiadających stałemu obciążeniu ciągłemu dla typowych
elementów skończonych
Wypadkowe siły węzłowe otrzymujemy sumując dla każdego węzła (i dla każdego stopnia swobody)
równoważne siły węzłowe od obciążeń ciągłych działających na wszystkie elementy skończone, zawierające ten
węzeł. W rezultacie otrzymujemy globalny wektor sił węzłowych
stopni swobody modelu
n.
71
F  ,
którego wymiar odpowiada liczbie
Obliczając całkowitą energię potencjalną otrzymamy więc:
V = U − Wz =
gdzie
1
 q  [ K ]{q} −  q { F } ,
2 1×n n×n n×1 1×n n×1
(174)
{F } jest wektorem sił węzłowych .
Warunek minimum całkowitej energii potencjalnej
∂V
= 0,
∂qi
prowadzi do układu równań
[K ]{q} = {F }.
(175)
Układ równań (175) można rozwiązywać dopiero po uwzględnieniu przemieszczeniowych warunków
brzegowych odpowiadających sposobowi podparcia konstrukcji. Nawet, gdy mamy do czynienia z obciążeniami
samozrównoważonymi niezbędne jest odebranie takiej liczby stopni swobody modelu, aby nie dopuszczać do
możliwości ruchu jako ciała sztywnego i jednocześnie nie ograniczać swobody deformacji. W przeciwnym
przypadku rozwiązanie byłoby niejednoznaczne; pole przemieszczeń mogłoby być efektem deformacji
sprężystej i dowolnego pola przemieszczeń odpowiadającego ruchowi jako bryły sztywnej. Formalnym
odzwierciedleniem tej niejednoznaczności jest fakt, że macierz
[ K ] w równaniu (175) jest macierzą osobliwą.
Przykłady prawidłowych i nieprawidłowych warunków podparcia dla obciążenia samozrównoważonego w
zagadnieniu dwuwymiarowym przedstawione są na rysunku 41.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rys. 41. Tarcza obciążona w sposób samozrównoważony oraz prawidłowe (a,b,c,d)
i błędne (e,f) przykłady podparć w modelach MES
Ostatecznie po rozwiązaniu układu równań (175) otrzymujemy wartości przemieszczeń węzłowych.
Następnie obliczamy odkształcenia i naprężenia wewnątrz kolejnych elementów skończonych (wzory 163). Ze
72
względu na nieciągłość pochodnych funkcji kształtu na granicach między elementami otrzymujemy zwykle
nieciągłe pole naprężeń i odkształceń (patrz przykład 14 i rys. 42).
Analizując za pomocą metody elementów skończonych dowolną konstrukcję dwu– lub trójwymiarową możemy
zwykle wybierać element skończony, jaki ma być zastosowany do obliczeń. Elementy, w których na
krawędziach mamy więcej niż dwa węzły, pozwalają na uzyskanie dokładniejszych rozwiązań, dają możliwość
lepszego odwzorowania krzywoliniowego brzegu ciała i dokładniejszej aproksymacji pola przemieszczeń
wewnątrz elementu. Większa liczba węzłów na krawędzi elementu umożliwia aproksymację pola przemieszczeń
wzdłuż tej krawędzi przez wielomian wyższego stopnia. Tak w przypadku dwóch węzłów na krawędzi tylko na
końcach elementu, składowe wektora przemieszczenia zmieniają się liniowo, a odkształcenia i naprężenia są
stałe. W przypadku 3 węzłów na krawędzi składowe wektora przemieszczenia są funkcjami kwadratowymi a
odkształcenia i naprężenia funkcjami liniowymi. Dla uzyskania wymaganej dokładności obliczeń wykorzystać
więc trzeba większą liczbę elementów skończonych o prostych funkcjach kształtu lub mniejszą liczbę
elementów o bardziej złożonych funkcjach modelujących. Jednak stosowanie bardzo złożonej aproksymacji na
przykład za pomocą wielomianów stopnia czwartego i wyższych jest niekorzystne. Rozwiązanie MES w takim
przypadku jest wrażliwe na zaburzenia. Dlatego też w trudnych, nieliniowych zadaniach polecane jest
wykorzystywanie elementów skończonych o prostych funkcjach kształtu.
Znacznie łatwiej jest uzyskać dobrą dokładność obliczeń przybliżonych MES dla pola przemieszczeń niż dla
naprężeń. Było to pokazane przy omawianiu konstrukcji belkowych. Zależność ta istnieje również w
zagadnieniach 2 i 3 wymiarowych co ilustruje przykład 14.
PRZYKŁAD 14
Zadanie z przykładu 4 rozwiązano metodą elementów skończonych stosując różne gęstości podziału (w nawiasach podana
jest informacja o gęstości siatki elementów skończonych): A(5 × 4) , B (10 × 8) , C (20 × 16) , D ( 40 × 32) .
Wykorzystano również dwa różne typy elementu skończonego: czterowęzłowy i ośmiowęzłowy.
Tablica 2 i rysunek 42 prezentują wyniki obliczeń. Dokładność rozwiązania wzrasta wraz ze zwiększoną gęstością podziału i
jest zawsze lepsza dla tej samej liczby elementów ośmiowęzłowych niż elementów czterowęzłowych. Dokładność
obliczonych przemieszczeń jest zawsze znacznie lepsza niż dokładność naprężeń.
Tablica 2.
Wyniki dla przykładu 14 otrzymane dla różnych gęstości siatki dyskretyzacyjnej i dwóch typów elementów skończonych
Dyskretyzacja
A
B
C
D
a
b
a
b
a
b
a
b
Rozwiązanie ścisłe
A – podział 5×4 elementy,
B – podział 10×8 elementów,
C – podział 20×16 elementów,
σ red ( E )
σ red ( F )
ur ( E )
U r (F )
σ x ( B)
MPa
180.8
208.0
196.0
206.6
201.90
206.37
204.28
206.34
206.34
MPa
33.4
33.9
34.2
33.9
34.15
33.88
34.04
33.87
33.86
mm
0.814
0.823
0.821
0.823
0.8227
0.8233
0.8232
0.8233
0.8233
mm
0.430
0.433
0.432
0.4330
0.4331
0.4333
0.4333
0.4333
0.4333
MPa
138.90
139.02
141.30
138.20
140.50
138.11
139.53
138.10
138.10
D – podział 40×32 elementy,
a – element 4 węzłowy,
b – element 8 węzłowy.
73
Otrzymane ze związków (163) naprężenia są ciągłe jedynie wewnątrz elementów. Są to tak zwane naprężenia
elementowe. Aby uzyskać poprawienie obrazu otrzymanych naprężeń dla każdego węzła znajdujemy często
wartość średnią każdej składowej stanu naprężenia i dalej pole naprężeń prezentujemy zgodnie z zasadami
aproksymacji pola przemieszczeń. Tak uśrednione pole naprężeń nazywane jest polem naprężeń węzłowych. W
ten sposób wygładzony obraz naprężeń jest zwykle bliższy rozwiązaniu dokładnemu niż wyjściowy obraz
naprężeń elementowych. Różnica między tymi sposobami prezentacji wyników widoczna jest na rysunku 42.
Oprócz omówionych dwu– i trójwymiarowych elementów skończonych (rys. 39) stosowane są również
elementy innych typów, które odpowiadają różnym (w sensie klasyfikacji przyjmowanej w wytrzymałości
materiałów) elementom konstrukcyjnym. Przykładem może być dość często używany w praktyce element
skończony cienkiej powłoki trójwymiarowej. Elementy powłokowe mają zazwyczaj 6 stopni swobody w węźle.
Przemieszczenia węzłowe to trzy składowe wektora przemieszczenia i 3 kąty obrotów. Odpowiednie siły
węzłowe to trzy składowe wektora siły i trzy składowe wektora momentu siły (rys. 43). Związki matematyczne
opisujące elementy powłokowe budowane są w sposób analogiczny do wcześniej opisanego. Minimalizujemy
całkowitą energię potencjalną powłoki korzystając z równań teorii powłok.
Naprężenia w elemencie skończonym powłoki są efektem jednocześnie działających naprężeń błonowych i
zgięciowych. W efekcie naprężenia po obu stronach elementu, na tak zwanych powierzchniach górnej i dolnej,
mogą mieć znacznie różniące się wartości. Teoria powłok stanowi jeden z bardziej złożonych matematycznie
działów mechaniki konstrukcji. Informacje o zastosowaniu MES w analizie konstrukcji powłokowych znaleźć
można np. w pracy [14].
74
x2
A
-2
a = 1 10 m
F
b B
-2
b = 2.5 10 m
E
E = 2 10 5 MPa
po
a
C
ν = 0.3
D x1
po = 100 MPa
naprężenie σx w elementach skończonych
naprężenie σx uśrednione w węzłach
MX
MX
Y
Y
Z
X
-70.678
MN
-24.093
22.492
Z
69.078
X
MN
-22.931
115.663
23.322
69.576
115.829
A) podział na 20 elementów skończonych
MX
MX
Y
Z
Y
X
-84.821
MN
-34.561
15.699
Z
65.959
X
116.219
MN
-34.386
15.824
B) podział na 80 elementów skończonych
62.923
114.66
Y
Y
-92.32
116.244
MX
MX
Z
66.034
X
Z
MN
-40.576
11.169
62.913
X
MN
-40.551
114.657
11.186
C) podział na 320 elementów skończonych
Rys. 42. Przybliżony charakter rozwiązania MES ilustrowany przez rozkład naprężenia σ x . Wyniki obliczeń
MES dla różnych gęstości siatki elementów skończonych. Naprężenia w elementach skończonych i naprężenia
uśrednione (przykład 14)
75
4
z
w
7
8
v
3
y
u
1
6
5
2
x
Rys. 43. Ośmiowęzłowy element skończony cienkiej powłoki i rozkłady naprężeń przyjmowane w modelu
obliczeniowym
76
6.1. Element skończony trójkątny CST (constant strain triangle)
3
u ( x, y ) = ∑ N i ( x, y ) ⋅ ui
i =1
Ni (xi, yi )= 1,
3
Ni (xj, yj )= 0 dla i≠j
v( x, y ) = ∑ N i ( x, y ) ⋅ vi
i =1
Zastosowane funkcje kształtu (interpretacja geometryczna)
N i ( x, y ) =
Ai ( x, y )
Ae
na rysunku - wykres N1(x,y)
u1 
v 
 1
0
N 2 ( x, y )
0
N 3 ( x, y )
0  u2 
u   N1 ( x, y )
 =
 
N1 ( x, y )
0
N 2 ( x, y )
0
N 3 ( x, y )  v2 
v   0
u 3 
 
v3 e
{u} = [ N ]{q}e
77
1
1
Ae = x1
2
y1
1
1
x2
y2
x3
y3
1
1
A2 = x1
2
y1
1
x
1
x3
y
y3
ai = x j yk − xk y j
1
( ai + bi x + ci y )
2 Ae
N i ( x, y ) =
bi = y j − yk
ci = xk − x j
Obliczenia stanu odkształcenia:
ε x ( x, y ) 
u( x , y ) 


{ε } = ε y ( x, y)  = [ R ]   = [ R ]  N ( x, y )  {q}e
6×1

 3×2 v( x , y )  3×2 2×6
γ
x
y
(
,
)
2
×
1
xy


{ε } = [ B ]{q}e
3×6
Macierz geometryczna
6×1
[B]
 ∂N1

 ∂x

[ B ] = [ R ][ N ] =  0

 ∂N1

 ∂y
b1 0 b2
1 
[ B ] =  0 c1 0
2 Ae
 c1 b1 c2
:
0
∂N1
∂y
∂N1
∂x
∂N 2
∂x
0
∂N 2
∂y
0
b3
c2
b2
0
c3
0
∂N 2
∂y
∂N 2
∂x
∂N 3
∂x
0
∂N 3
∂y

0 

∂N3 

∂y 
∂N3 

∂x 
0
c3 
b3 
Macierz ma stałe współczynniki - stąd nazwa CST ( constant strain triangle!)
W elemencie skończonym mamy liniową zmienność przemieszczeń, stałe odkształcenia i naprężenia
{σ } = [ D ]{ε }
{σ } = [ D ][ B ]{q}e
78
Liniowa zmienność przemieszczeń
i stałe odkształcenia i naprężenia
Energia odkształcenia elementu
1
1
T
ε  {σ } dAe = Ae he  q  e [ B ] [ D ][ B ]{q}e
2
2
Ae
U e = he ∫
Ue =
Macierz sztywności elementu CST
1
 q  e [ k ]e {q} e
2
[ k ]e :
[ k ]e =
1
T
Ae he [ B ] [ D ][ B ]
2
6×3 3×3 3×6
Energia odkształcenia całego modelu (n stopni swobody - przemieszczeń węzłowych)
U=
gdzie
1
 q  [ K ]{q}
2
{q} jest wektorem przemieszczeń węzłowych modelu [ K ]
79
macierzą sztywności modelu.
V = U − Wz =
1
 q  [ K ]{q} −  q {F } = min!
2 1×n n×n n×1 1×n
n×1
Warunek minimum prowadzi do układu równań:
Wektor sił węzłowych modelu
[ K ]{q} = {F }
{F } wynika z uwzględnienia wszystkich obciążeń modelu, a w szczególności
z uwzględnienia równoważnych sił węzłowych z obciążeń ciągłych działających na wszystkie elementy
skończone modelu.
Równoważne siły węzłowe dla elementu CST
A) odpowiadające obciążeniu powierzchniowemu
Wzx =
∫  X  {u} d Ω
e
=
Ωe
 F x  =
e
∫  X  [ N ] d Ω
 X  :
∫  X  [ N ]{q} d Ω
e
Ωe
( np.
e
F1X =
Ωe
∫  p  {u} d Γ
e
∫ X ( x, y ) N ( x , y )d Ω
1
1
Ωe
B) odpowiadające obciążeniu konturu p na krawędzi
Wz p =
=  F x  {q}e ,
e
p
e
=
Γ ep
Γep elementu Ωe
∫  p  [ N ]{q} d Γ
e
p
e
Γ ep
 F p  =
e
∫  p  [ N ] d Γ
Γep
Ωe
Γ ep
 F  =  F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6  =  F X  +  F p 
e
e
e
80
p
e .
=  F p  {q}e ,
e
e)
Program MES
Preprocesor
Informacja o
geometrii analizowanego obszaru,
właściwościach materiałowych,
warunkach podparcia i obciążenia.
Podział na elementy skończone wybranego typu (np. CST)
Moduł obliczeniowy (procesor)
Budowa globalnej macierzy sztywności modelu przez obliczenia macierzy
sztywności poszczególnych elementów skończonych i ich uwzględnieniu na
odpowiednich pozycjach w macierzy globalnej
Wyznaczenie wszystkich sił węzłowych
- Modyfikacja układu równań przez uwzględnienie warunków podparcia
(przemieszczeniowych)
Rozwiązanie układu - wyznaczenie przemieszczeń węzłowych
Obliczenie składowych stanu odkształcenia i naprężenia we wszystkich
elementach skończonych
Postprocessor
Graficzna prezentacja wyników: mapy konturowe, wykresy itp., listingi...
81
Wyniki analiz z zastosowaniem elementu CST - rozwiązania elementowe i uśrednione
węzłowe
Przykład - prosty model belki wspornikowej:
Model MES:
Y
Z
X
Rozkład przemieszczenia pionowego
Y
Z
X
-5.29
-4.114
-4.702
-2.939
-3.526
-1.763
-2.351
-.587743
-1.175
0
Rozkład naprężenia σx od zginania
Rozwiązanie w elementach skończonych (element solution)
Y
Z
X
-2356
-1310
-1833
-263.47
-786.708
783.007
259.769
82
1829
1306
2353
Uśrednianie w węźle n
Węzeł n
1
{σ}1
2
{σ}2
{σ } ≠ {σ } ≠ {σ }
1
{σ}
i
2
3
≠ ...
i
Y
Z
X
-2356
-1310
-1833
Prezentacja napręzenia uśrednionego
-263.47
-786.708
783.007
259.769
( nodal solution)
1829
1306
2353
Uśrednione napręzenia
{σ}nav = Σ {σ}i / k
( k=7)
Y
Z
X
-1553
-860.368
-1207
-168.061
-514.214
83
524.247
178.093
1217
870.401
1563
6.2. Izoparametryczny 8-węzłowy element skończony
y
η
4
1
7
3
3
7
4
( x3 , y 3 )
6
8
6
8
1
-1
ξ
( x5 , y 5 )
1
1
-1
5
( −1, −1) → ( x1 , y1 )
( 0, −1) → ( x5 , y5 )
( x1 , y1 )
5
( ξ ,η ) → ( x , y )
(1, −1) → ( x2 , y2 )
(1,1) → ( x3 , y3 )
(1, 0 ) → ( x6 , y6 )
( 0,1) → ( x7 , y7 )
( x2 , y 2 )
2
( −1,1) → ( x4 , y4 )
( −1, 0 ) → ( x8 , y8 )
8
x (ξ ,η ) = ∑ N i (ξ ,η ) xi
i =1
8
y (ξ ,η ) = ∑ N i (ξ ,η ) yi
i =1
N6(ξ, η)
N2(ξ, η)
η
η
ξ
ξ
Funkcje kształtu N2 i N6
1
(1 − ξ 2 ) (1 − η )
2
1
N 6 (ξ ,η ) = (1 + ξ ) (1 − η 2 )
2
1
N 7 (ξ ,η ) = (1 − ξ 2 ) (1 + η )
2
1
N8 (ξ ,η ) = (1 − ξ ) (1 − η 2 )
2
N 5 (ξ ,η ) =
1
(1 − ξ )(1 − η )(1 + ξ + η )
4
1
N 2 (ξ ,η ) = − (1 + ξ )(1 − η )(1 − ξ + η )
4
1
N 3 (ξ ,η ) = − (1 + ξ )(1 + η )(1 − ξ − η )
4
1
N 4 (ξ ,η ) = − (1 − ξ )(1 + η )(1 + ξ − η )
4
N1 (ξ ,η ) = −
84
2
( x6 , y 6 )
 x   N1
 =
y  0
0
N1
N2
0
0
N2
N3
0
0
N3
N4
0
0
N4
N5
0
0 … N8
N5 … 0
 x1 
y 
 1
 x2 
 
y2
0   
x 
N 8   3 
y
 3
⋮ 
x 
 8
 y8  e
 x1 
y 
 1
 x2 
 
 y2 
x
  = [ N ]  x3  = [ N ]{ xy}
y
y 
 3
⋮ 
x 
 8
 y8 
8
u (ξ ,η ) = ∑ N i (ξ ,η ) ui
i =1
8
v (ξ ,η ) = ∑ N i (ξ ,η ) vi
i =1
u   N1
 =
v   0
0
N1
N2
0
0
N2
N3
0
0
N3
N4
0
0
N4
N5
0
0 … N8
N5 … 0
 u1 
v 
 1
u 2 
 
v2
0   
u 
N 8   3 
v
 3
⋮
u 
 8
 v8 e
u 
  = [ N ]{q}e
v 
Te same funkcje kształtu są zastosowane do aproksymacji geometrii elementu i aproksymacji pola
przemieszczeń
85
∂

 ∂x

{ε } = [ R ]{u} =  0
3×1
3×2 2×1

∂

 ∂y
 ∂N
 1
 ∂x

[ B] =  0

 ∂N1

 ∂y
0
∂N1
∂y
∂N1
∂x
3×2

0

∂
  N (ξ ,η )  {q} = [ B ]{q}
∂y   2×16  16×1e 3×16 16×1
∂

∂x 
∂N 2
∂x
0
∂N 2
∂y
0
∂N 2
∂y
∂N 2
∂x
∂N 3
∂x
0
∂N 3
∂y
0
∂N 8
…
∂x
∂N 3
… 0
∂y
∂N 3
∂N 8
…
∂x
∂y

0 

∂N 8 

∂y 
∂N 8 

∂x 
Funkcje kształtu nie są bezpośrednio funkcjami x,y a współrzędnych lokalnych ξ and η,więc obliczenie
elementów macierzy B wymaga obliczeń pośrednich.
Potrzebujemy Jakobianu przekształcenia zmiennych {x,y} na {ξ,η} i vice-versa
 ∂x
 ∂ξ
[J ] = 
 ∂x
 ∂η

∂y   8 ∂N i
∑ ⋅ xi
∂ξ   i =1 ∂ξ
=
∂y   8 ∂N i
⋅ xi
∂η   ∑
η
∂
i =1
 ∂N i   ∂x
 ∂ξ   ∂ξ

=
∂
N
 i   ∂x
 ∂η   ∂η
∂N i

⋅ yi 
i =1
 =  J (ξ ,η ) 
8

∂N i
⋅ yi 
∑
i =1 η

8
∑ δξ
∂y   ∂N i 
 ∂N i 
 ∂x 
∂ξ   ∂x 

 = [ J ]  ∂N 
∂y   ∂N i 
 i

∂η   ∂y 
 ∂y 
∂N i ∂N i ∂ξ ∂N i ∂η
=
⋅
+
∂x
∂ξ ∂x ∂η ∂x
∂N i ∂N i ∂ξ ∂N i ∂η
=
⋅
+
∂y
∂ξ ∂y ∂η ∂y
 ∂N i   ∂ξ
 ∂x   ∂x
 ∂N  =  ∂ξ
 i 
 ∂y   ∂y
 ∂N i 
∂η   ∂N i 


∂x   ∂ξ 
−1  ∂ξ 
= [J ] 


∂η   ∂N i 
 ∂N i 
∂y   ∂η 
 ∂η 
Widzimy, że aby wyliczyć dla dowolnego punktu wewnątrz elementu pochodne funkcji kształtu względem x i y
wystarczy odwrócić, łatwy do wyznaczenia Jakobian J
86
Mamy
{ε } =  B (ξ ,η )  {q}e
Ue =
1
1
T
ε  {σ } dxdy =
 q  e [ B ] [ D ][ B ]{q}e dxdy
∫
2
2 Ωe ( x , y )
Ωe ( x , y ) )
∫
∫
A( x , y )
U e = 1/ 2  q  e
f ( x, y ) dxdy =
∫
Ωe ( x , y )
A( ,
)
dxdy = det [ J ] dξ dη
∫
Ωe (ξ ,η )
 B (ξ ,η )  [ D ]  B (ξ ,η )  det  J (ξ ,η )  d ξ dη {q}e
T
3×3
16×3
Ue =
[ k ]e =
∫ξ η f (ξ ,η ) det [ J ] dξ dη
[ B] [ D ][ B] dxdy =
T
1
1
∫ ∫
−1 −1
3×16
1
 q  e [ k ]e {q}e
2
 B (ξ ,η )  [ D ]  B (ξ ,η )  det  J (ξ ,η )  dξ dη ∫  B (ξ ,η ) 
T
16 x 3
3×3
3×16
16×3
Potrzebne całkowanie numeryczne!
Siły węzłowe równoważne obciażeniu powierzchniowemu elementy :
Wzx =
∫  X  {u} d Ω
Ωe
e
=
∫  X  [ N ]{q} d Ω
e
Ωe
x
 F  e =
∫  X  [ N ] d Ω
Ωe
87
e
e.
=  F x  {q}e ,
e
Wyniki otrzymywane z obliczeń - ciagłe pole przemieszczeń
i nieciagłe (na granicach między elementami) pole odkształceń i naprężeń
Przemieszczenie , np . u(x,y))
2
1
∂u
∂u
=
∂x′ 1 ∂x′ 2
∂u
∂u
≠
∂y ′ 1 ∂y′ 2
y′
x′
(ε )1 = (ε x′ )2
(ε )1 ≠ (ε y′ )2
x′
⇒
⇒ (σ ) ≠ (σ )
ij 1
y′
88
ij 2
6. 3. Całkowanie numeryczne
Całkowanie Gaussa w algorytmach MES
[k ]e = ∫ [ B ] [ D ][ B ] dxdy = ∫
T
Ωe (ξ ,η )
Ωe ( x , y )
 B (ξ ,η )  [ D ]  B (ξ ,η )  det  J (ξ ,η )  d ξ dη
T
3×3
16×3
Przyoadek jednowymiarowy
3×16
F(x)
Ogólnie:
b
n
a
i =1
∫ F ( x ) dx = ∑ αi Fi ( xi ) + Rn
Wprowadzamy nową zmienną -1 ≤η≤ 1
x=
( a + b ) + b − a ⋅η
2
2
dx =
b−a
η
2
x1 x2 x3
b−a
b−a
∫a F ( x ) dx = −∫1 f (η ) 2 dη = 2 −∫1 f (η ) dη
b
1
xn
x4 x5
x
1
η
Całkowanie Gaussa
x=a
 d 2n f 
x1
η=-1
f
η
d
η
=
w
f
η
+
R
R
=
0
(
)
(
)
∑
i
i
n
n
 dη 2 n 
∫−1
i =1


n ≥ 1 jest liczbą specjalnie definiowanych tzw. punktów Gaussa
wi - są współczynnikami wagowymi
ηi są współrzędnymi punktów Gaussa
Zastosowanie n punktów Gaussa da dokładny rezultat dla funkcji podcałkowej , będącej
wielomianem do stopnia 2n – 1 włącznie
1
n
f(η )
η1
-1
η2
η3
η4
1
η
89
x=b
η=1
n
Wi (i=1,n)
ni (i=1,n)
1
2
0
2
1
−1/ 3
3
+1/ 3
1
− 0.6
5/9
8/9
5/9
0
+ 0.6
4
-0.861136311594953
-0.339981043584856
+0.339981043584856
+0.861136311594953
0.347854845137454
0.652145154862546
0.652145154862546
0.347854845137454
5
Suma wag jest zawsze rwna 2.
Całkowanie numeryczne w obszarze dwuwymiarowym:
1 1
1
n
n
 n

f
ξ
,
η
d
ξ
d
η
≈
f
ξ
,
η
w
d
η
≈
w
wi f (ξi ,η j ) =
(
)
(
)
∑
∑
∑
i
i
j
∫∫
∫
j =1
i =1

−1 −1
−1  i =1
= ∑∑ wi w j f (ξi ,η j ) = ∑ wk* f (ξk ,ηk )
n
n
m
i =1 i =1
k =1
η
1
w3* =
5 5 25
× =
9 9 81
w6* =
8 5 40
× =
9 9 81
w9* =
5 5 25
× =
9 9 81
1
-1
w2* =
5 8 40
× =
9 9 81
w5* =
8 8 64
× =
9 9 81
w8* =
5 8 40
× =
9 9 81
w1* =
5 5 25
× =
9 9 81
w4* =
8 5 40
× =
9 9 81
w7* =
5 5 25
× =
9 9 81
90
ξ
7. . MES W PRAKTYCE INŻYNIERSKIEJ
Metoda elementów skończonych odgrywa bardo ważną rolę w badaniach naukowych i zastosowaniach
inżynierskich. Jest najbardziej efektywnym narzędziem obliczeniowym w większości złożonych zadań analizy
naprężeń i odkształceń konstrukcji.
MES stała się również bardzo istotnym elementem w procesach komputerowo wspomaganego projektowania
CAD/CAE (computer aided design / computer aided engineering). Coraz liczniejsze są zastosowania MES, w
powiązaniu z numerycznymi algorytmami minimalizacji funkcji wielu zmiennych do zadań syntezy konstrukcji
–projektowania i optymalizacji.
Programy metody elementów skończonych są szeroko stosowane i posiadają szereg procedur , które
ułatwiają przeprowadzanie analiz nawet przez użytkowników znających tylko podstawy MES. W niniejszym
rozdziale poruszone zostaną dwa, istotne z punktu widzenia użytkownika programów MES, zagadnienia: ocena
dokładności rozwiązań i zasady budowy i wykorzystania profesjonalnych pakietów metody.
7.1.
UWAGI O DOKŁADNOŚCI OBLICZEŃ METODĄ ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH
Korzystając z MES należy zawsze pamiętać, że mamy do czynienia z metodą przybliżoną. Uzyskane
wyniki mogą być obarczone błędem, którego wielkość zależy od wielu czynników. Dla krótkiego, jakościowego
omówienia najważniejszych przyczyn wpływających na błędy rozwiązań przyjmijmy następujące oznaczenia,
odpowiadające zgodnie z rys. 1 różnym etapom analizy MES:
wr – wynik rzeczywisty,
ws – rozwiązanie ścisłe ciągłego modelu matematycznego problemu,
wd – rozwiązanie dokładne modelu dyskretnego MES,
wn – wynik numeryczny, otrzymany po przeprowadzeniu obliczeń.
Mamy zazwyczaj
wr ≠ ws ≠ wd ≠ wn .
Różnice poszczególnych wyników definiują błędy różnych etapów analizy:
ε s = ws − wr
– błąd wybranego modelu matematycznego,
ε d = wd − ws
– błąd modelu dyskretnego,
ε n = wn − wd
– błąd obliczeń numerycznych,
ε c = ε s + ε d + ε n = wn − wr
– błąd całkowity.
Często dyskusja o błędach w analizie MES zawężana jest do omówienia czynników wpływających na błąd
dyskretyzacji
ε d . Z praktycznego punktu widzenia jest to niedopuszczalne, ponieważ najważniejszym kryterium
efektywności analizy jest błąd całkowity
εc .
91
Znajomość czynników wpływających na błąd
εc
jest niezbędna przy podejmowaniu decyzji na każdym
z kroków analizy (rys. 1). Zwiększając dokładność analizy dążymy zazwyczaj do zrównoważonego zmniejszania
błędów. Przy szacowaniu błędu całkowitego szczególną uwagę należy zwrócić na błąd modelu matematycznego
ε s , który wraz z doskonaleniem współczesnych algorytmów MES staje się coraz bardziej istotny.
Błąd ciągłego modelu matematycznego
εs
Nie jest to błąd w zwykłym znaczeniu. Przyjmujemy, że jego miarą jest różnica między rozwiązaniem ścisłym
ws a rezultatem, który obserwowany może być w rzeczywistej konstrukcji. Na tę różnicę ma wpływ dokładność
danych liczbowych opisujących kształt obiektu analizy, jego własności materiałowe, warunki obciążenia i
podparcia a także wybór określonego modelu matematycznego (patrz Rozdział 1). Gwarancją utrzymania tego
błędu na akceptowanym poziomie jest wiedza i doświadczenie człowieka, które pomaga w podjęciu decyzji czy
model powinien być na przykład liniowy czy nieliniowy, jedno-, dwu- czy trójwymiarowy. Ponadto wybór
modelu obliczeniowego może być uzależniony od celu analizy wytrzymałościowej. Model odpowiedni do
analizy częstości drgań własnych lub oceny przemieszczeń może być niewłaściwy w analizie koncentracji
naprężeń w konstrukcji.
Błąd modelu dyskretnego
εd
Poprawnie zbudowany model dyskretny metody elementów skończonych gwarantuje zbieżność rozwiązania
do rozwiązania ścisłego
wd
ws przy zagęszczaniu siatki dyskretyzacyjnej (zwiększaniu liczby elementów i stopni
swobody modelu). Typowa zależność między rozwiązaniem ścisłym a rozwiązaniem dokładnym modelu
dyskretnego przedstawiona jest schematycznie na rys. 61. Tego typu zbieżność wymaga jednak, by funkcje
kształtu spełniały warunki podane w punkcie 4.3. Równomierne zagęszczanie siatki dyskretyzacyjnej jest
nieefektywne, ponieważ wzrost liczby stopni swobody modelu dyskretnego prowadzi do zwiększania kosztów
obliczeń a również do wzrostu błędu obliczeń
εn .
w
ws
rozwiązanie ścisłe
wd - (rozwiązanie dokładne
modelu dyskretnego)
N
Rys. 61. Typowa zależność rozwiązania modelu dyskretnego Wd od liczby stopni swobody modelu N
Podział na elementy skończone przeprowadzamy więc zazwyczaj w ten sposób, by gęstość
dyskretyzacji obszaru odpowiadała przewidywanym gradientom pola naprężeń. Praktycznie oznacza to, że w
miejscach i w kierunkach, gdzie oczekujemy szybkich zmian stanu naprężenia wymiary elementów skończonych
powinny być najmniejsze. Przykład dyskretyzacji dostosowanej do przewidywanego rozkładu pola naprężeń
przedstawiony jest na rys. 62.
92
MN
MX
.186398
50
25
150
250
100
200
400
300
Rys. 62. Model MES elementu konstrukcyjnego i rozkład naprężenia zredukowanego Hubera-Misesa
Istnieją techniki szacowania błędu dyskretyzacji
εd
bez znajomości rozwiązania ścisłego
ws .
Podstawą jest ocena stopnia nieciągłości otrzymanych składowych stanu naprężenia na granicach między
elementami. Miarą tej nieciągłości może być określana automatycznie a dotyczy zwykle gęstości odkształcenia
sprężystego. W profesjonalnych programach MES dostępne są czasami specjalne algorytmy poprawiania
podziału na elementy skończone, tak zwane techniki adaptacyjnej dyskretyzacji. Po otrzymaniu wyników dla
wstępnej dyskretyzacji obliczane są nieciągłości pola naprężenia na granicach międzyelementowych. Jeśli
nieciągłość w danym miejscu jest duża to w następnym modelu następuje w tym obszarze zagęszczenie
podziału. Jeśli nieciągłość praktycznie nie istnieje rozmiary elementów w następnej iteracji są zwiększane. Po
kilku tego typu krokach iteracyjnych możemy otrzymać równomierny rozkład błędu, mierzonego przez różnice
międzyelementowe, na wymaganym poziomie. Narzędziem niezbędnym do zmniejszania błędu dyskretyzacji są
procedury automatycznego podziału dowolnych obszarów dwu- i trójwymiarowych na elementy skończone.
Duże możliwości obliczeniowe współczesnych komputerów powodują, że błąd dyskretyzacji w
większości przypadków może być zredukowany do wymaganego poziomu. Wyjątek stanowią zadania analizy
bardzo złożonych geometrycznie struktur, w szczególności trójwymiarowych, w których poprawę dokładności
modelu dyskretnego można uzyskać za pomocą specjalnych metod obliczeniowych, np. tak zwanych
superelementów (podstruktur) i submodelingu (oddzielnego modelowania detali).
Błąd obliczeń numerycznych
εn
Głównym źródłem tego błędu są zaokrąglenia konieczne przy skończonej cyfrowej reprezentacji liczb oraz
stosowanie numerycznych metod całkowania przy obliczaniu macierzy sztywności elementów skończonych i
równoważnych sił węzłowych do obciążeń ciągłych. O tym, jaki wpływ na rozwiązanie mają te czynniki
93
decyduje tak zwany współczynnik uwarunkowania układu równań. Stanowi on pewną miarę wrażliwości
rozwiązania na zaburzenie danych wejściowych.
Jeśli rozpatrujemy układ równań
[ K ]{q} = {F } ,
(281)
[δ K ] i wektora prawych stron [δ F ] modyfikuje układ
to zaburzenie macierzy sztywności
[ K + δ K ]{q + δ q} = {F + δ F } .
(282)
W analizie numerycznej (np. [11]) dowodzi się, że błąd rozwiązania można wtedy oszacować jako:
δq
q
gdzie iloczyn norm macierzy
uwarunkowania macierzy
≤ [K ]
[K ]
[K ]
−1
 {δ F }
[δ K ]
+

 {F}
[K ]

[K ]
i macierzy odwrotnej
−1

,


(283)
jest nazywany współczynnikiem
[K ] :
cond ( [ K ] ) = [ K ]
[K ]
−1
.
(284)
Normę macierzy obliczamy w sposób odpowiedni do sposobu obliczania normy wektora. Jeśli przyjmiemy
1

2 2
{q} =  ∑ ( qi )  ,
 i

(285)
to
1

2 2
[ K ] =  ∑∑ ( kij )  .
 j i

(286)
Jeśli normę wektora określimy jako
{q}
[K ]
to
= max qi ,
(287)


= max  ∑ kij  .
i
 j

(288)
i
Współczynnik uwarunkowania obliczany może też być przez stosunek największej do najmniejszej wartości
własnej macierzy
[K ] .
Określenie wartości współczynnika uwarunkowania macierzy jest trudne – wymaga w gruncie rzeczy
rozwiązania (z błędem zależnym od współczynnika uwarunkowania) układu równań. Minimalna wartość
współczynnika uwarunkowania wynosi 1 (na przykład dla macierzy diagonalnej). W praktycznych zadaniach
MES współczynnik uwarunkowania macierzy równań może osiągać wartość rzędu 108.
Błąd zaokrągleń w trakcie obliczeń jest ważnym czynnikiem zaburzenia układu równań i procesu jego
rozwiązywania. W analizie numerycznej przyjmuje się, że jeśli obliczenia prowadzone są z dokładnością do p
cyfr znaczących to liczbę cyfr znaczących w rozwiązaniu można szacować jako
94
(
)
r ≥ p − log10 cond ( [ K ] ) .
(289)
Wynika stąd, że duży współczynnik uwarunkowania macierzy układu równań prowadzić może do utraty
wymaganej dokładności rozwiązania. W przypadku analizy statycznej konstrukcji czynnikami, które wpływają
na dużą wartość współczynnika
cond ( [ K ] ) są występowanie w strukturze części o znacznie różniących się
sztywnościach i mało stabilne warunki podparcia, przy których niewielkie deformacje kształtu ciała mogą
prowadzić do dużych przemieszczeń. Z tego powodu łatwiej jest uzyskać dobrą dokładność w typowych
zadaniach dwu- i trójwymiarowej analizy stanu naprężenia niż w zadaniach analizy cienkościennych konstrukcji
powłokowych, gdzie sztywność zgięciowa jest znacznie mniejsza od błonowej.
95
7.2.
WYKORZYSTANIE PROFESJONALNYCH SYSTEMÓW OBLICZENIOWYCH
Programy metody elementów skończonych stały się obecnie szeroko stosowanym narzędziem w
badaniach naukowych i praktyce inżynierskiej. Dla zwiększenia użyteczności współczesne pakiety programów
MES zawierają złożone procedury ułatwiające budowę modelu geometrycznego i umożliwiające wprowadzenie
opisu kształtu z najbardziej popularnych systemów CAD. Wyposażane są także w algorytmy automatycznej
dyskretyzacji i rozbudowane moduły graficznej prezentacji modelu i wyników obliczeń. W nowoczesnych
programach MES dostępnych jest zwykle wiele metod rozwiązywania układów równań liniowych, równań
nieliniowych, zagadnień własnych itp. Współczesne, złożone aplikacje metody elementów skończonych składają
się z wielu współpracujących ze sobą programów i tworzą bardzo efektywne systemy obliczeniowe. Do
najbardziej znanych na świecie systemów metody elementów skończonych wykorzystywanych w mechanice
konstrukcji należą ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, MARC. Dostępnych jest ponadto wiele komercyjnych
programów wyspecjalizowanych, na przykład do analizy konstrukcji budowlanych, do obliczeń konstrukcji
kompozytowych, rurociągów itd. Moduły obliczeniowe metody elementów skończonych dołączane są również
do wielu programów CAD.
Typowy, uniwersalny pakiet programów MES tworzy zwykle trzy bloki, odpowiadające trzem fazom
pracy wyróżnianym przy przeprowadzaniu analiz. Są to preprocesor, procesor i postprocesor.
Preprocesor
W tym środowisku programowym użytkownik buduje model geometryczny analizowanej konstrukcji, określa
własności materiałowe i obciążenia. Po wskazaniu wybranych rodzajów elementów skończonych i wymagań
wobec podziału na elementy (gęstość dyskretyzacji w poszczególnych częściach modelu) generowana jest
automatycznie siatka węzłów i elementów skończonych. Uzyskany model dyskretny problemu może być
automatycznie sprawdzany pod względem formalnym.
Procesor
W tej fazie użytkownik programu definiuje rodzaj zagadnienia (np. statyka, drgania własne, drgania nieustalone
itp.), metodę rozwiązania i jej główne parametry (np. kryteria zbieżności, stopień szczegółowości wyników itp.).
Program przeprowadza obliczenia na podstawie tych informacji i zapisuje wyniki na dysku komputera.
Postprocesor
Ten moduł służy do prezentacji i archiwizacji otrzymanych wyników. Wybrane rezultaty obliczeń prezentować
można za pomocą map warstwicowych, wykresów, wydruków, animacji. Możliwe jest również dokonywanie
wtórnych operacji na wynikach, np. superponowanie wyników z kilku wariantów obciążenia dla utworzenia
nowego wariantu, prezentacja rozkładu dowolnie zdefiniowanej funkcji naprężeń (np. własnej hipotezy
wytrzymałościowej). W niektórych pakietach MES możliwe są dodatkowe obliczenia wymagane np. przez
obowiązujące normy wytrzymałościowe i przepisy bezpieczeństwa.
Możliwości
najbardziej
znanych,
profesjonalnych
systemów
obliczeniowych
MES
są
nieporównywalnie większe niż kilka czy kilkanaście lat temu. Przyczynił się do tego w znacznym stopniu
rozwój techniki komputerowej: szybkości procesorów, pojemności pamięci operacyjnej i dysków, sieci
komputerowych.
96
Coraz szersze perspektywy tworzy sprzężenie metody elementów skończonych z algorytmami
optymalizacyjnymi (rys. 63). Dzięki temu realizować można obliczenia, których celem jest poszukiwanie
optymalnej konstrukcji a nie tylko jej prosta analiza.
Zmienne projektowe
(Parametry)
WYNIKI
ANALIZA MES
Pomocnicze
NARZĘDZIA OBLICZENIOWE
Parametryczne modelowanie
Automatyczna generacja siatki
szacowanie gradientu
pojedynczy "strzał"
losowe przeszukiwanie
obszaru dopuszczalnego
ALGORYTM OPTYMALIZACJI
Metoda gradientowa
lub bezgradientowa
PROBLEM OPTYMALIZACJI
Zdefiniowanie
funkcji celu,
zmiennych decyzyjnych i zmiennych stanu,
ograniczeń, kryteriów zbieżności
Rys.63. MES i procedury optymalizacyjne sprzężone dla realizacji zadań komputerowego projektowania
konstrukcji
Przyjmujemy wówczas, że w modelu konstrukcji zmianom mogą podlegać tak zwane zmienne projektowe,
np. parametry określające kształt lub własności materiałowe. Poszukujemy takiej kombinacji zmiennych
projektowych, dla których otrzymamy minimalną wartość funkcji celu. Funkcja celu reprezentuje jakość
rozpatrywanej konstrukcji i definiowana jest w ten sposób, by jej minimalizacja odpowiadała poprawie jakości.
Wartość funkcji celu może wyrażać np. maksymalne naprężenie zredukowane lub masę konstrukcji.
Do celów obliczeń optymalizacyjnych budowane są modele parametryczne MES, w których wybrane parametry
mogą w trakcie obliczeń przyjmować różne wartości. Modele takie okazują się również bardzo przydatne, gdy
przewidywana jest konieczność wielokrotnych obliczeń różnych wariantów analizowanej konstrukcji.
Metoda elementów skończonych umożliwia obecnie symulację komputerową obiektów i zjawisk
bardzo złożonych, również nieustalonych, w których mamy do czynienia ze skomplikowanym kształtem obiektu,
złożonymi warunkami brzegowymi i silnie nieliniowym charakterem zachowania się. W wielu wypadkach
podstawową trudnością napotykaną przy próbach symulacji numerycznej metodą elementów skończonych jest
brak wiarygodnych danych opisujących analizowane zjawiska (na przykład własności materiałowych, informacji
o obciążeniach i precyzyjnego opisu matematycznego) a nie błąd modelu dyskretnego i błąd obliczeń
numerycznych.
97
Bibliografia
[1]
Bijak-Żochowski M., Jaworski A., Krzesiński G., Zagrajek T.: Mechanika Materiałów i Konstrukcji,
Tom 2, Oficyna Wydawnicza PW, 2006/2013
[2]
Zagrajek T., Krzesiński G., Marek P., MES w mechanice konstrukcji, Ćwiczenia z wykorzystaniem
systemu ANSYS, Of. Wydawnicza PW, 2005
[3]
Huebner K.H., Dewhirst D.L., Smith D.E., Byrom T.G.: The finite element method for engineers, J.
Wiley & Sons 2001
[4]
Kącki E.: Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, Warszawa WNT 1992.
[5]
Kleiber M.(red): Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, Warszawa PWN 1995.
[6]
Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, Warszawa,
Oficyna Wydawnicza PW.
[7]
Zienkiewicz O.C., Taylor R.: The Finite Element Method. Vol 1- The Basis, Butterworth Heinemann,
London, liczne wydania.
98

MES1_notatki do wykładów_część_2

Transkrypt

Podobne dokumenty

1. wstęp - Instytut Konstrukcji Budowlanych

Inżynier ds. Obliczeń Wytrzymałościowych

hybrydowe metody elementów skończonych w zagadnieniach

Informacje szczegółowe

Program ramowy, DiM - Politechnika Poznańska

MPDV prezentacja książki - HIT

Przedmowa Przedmowa do wydania drugiego 1. Wprowadzenie 1.1

(293,56 KB ) pdf Do pobrania

Krótka historia MES

wykorzystanie metody elementów skończonych do modelowania