Przykładowe zadania

Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
1
Zadanie 1. Przedstawić graficznie proces agregacji macierzy sztywności dla elementów 2 i 5 w poniższej kratownicy.
1
15 kN
2 14 kN
12 kN 1
3
2
5
4
3
7
6
8
4
9
6
5
Zapisać globalny wektor F prawej strony równania MES.
Zadanie 2. Rozwiązać belkę jak na rysunku metodą elementów skończonych (obliczyć wektory przemieszczeń i reakcji oraz wykonać wykresy sił przekrojowych).
1
2EI
2
EI
el1
3
x
EI=18000 kNm2
el2
13 kN
y
4m
6m
Zadanie 3. Rozwiązać kratownicę metodą elementów skończonych
Y
3
EA=104 kN
4
30 kN/m
1
X
3
2
a) Obliczyć wektor przemieszczeń węzłów
b) Obliczyć siły węzłowe
c) Obliczyć reakcje
d) Sprawdzić równowagę węzła 3
Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
2
Zadanie 4. Rozwiązać poniższą konstrukcję metodą elementów skończonych
10 kN
EA=3· 105 kN
EI=250 kNm2
A
3m
1. Obliczyć wektor przemieszczeń
2. Obliczyć wektor reakcji
3. Wykonać wykresy
4. Obliczyć ugięcie w punkcie A (w połowie elementu)
Zadanie 5. Dla danej ramy obliczyć metodą ES reakcje podpór.
24 kN/m
50 kNm
x
y
EA=10000 kN
4m
EI=500 kNm2
3m
4m
Zadanie 6. Obliczyć siły przywęzłowe (powrót do elementu). Na tej podstawie wykonać wykresy M,
Q i N.
12 kN/m
18 kNm
3
2
x

EA=20·103 kN
y
EI=120 kNm2
1
4
4m






gdzie Q = 






0
0
-0.0183
0.0002
0.0058
0.0368
0
0
0














Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
3
Zadanie 7. Dla danej belki obliczono MES wektor przemieszczeń przyjmując zaznaczoną numerację
węzłów oraz podział na 2 ES. Zaznaczyć przemieszczenia węzłowe na rysunku odkształconej belki. Stosując procedurę MES obliczyć ugięcie w punkcie A. Obliczyć MES siły przywęzłowe
oraz narysować wykresy sił przekrojowych.


3
 400 
12 kN/m




0 

6 kNm


X
 0 
Q=

1 

A
1
2
3
 −

 500 


3
2
EI = 9·10 kNm
 0 
Y
0
1.5 m
1.5 m
2m
Zadanie 8. Dla podanej kratownicy zbudować i rozwiązać układ równań MES. Obliczyć przemieszczenia, reakcje i siły przywęzłowe. Wykonać wykres sił podłużnych.
4m
3m
EA=1200 kN
Y
X
3 kN
6 kN
Zadanie 9. Dla elementu 2 kratownicy obliczyć siły przywęzłowe (powrót do elementu). Na tej podstawie wykonać wykres N dla tego elementu.
10 kN
6 kN/m
x
?>=<
89:;
2
3
1
EA=25·103 kN
?>=<
89:;
4
4
y
5
4m
2
?>=<
89:;
3
?>=
89:
1 <;
14 kN
8 kN/m
3m
3m
3m
gdzie Q = [ 0 0 0 0 -0.360 7.770 -2.520 9.275 ]T · 10−3 m
Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
4
Zadanie 10. Wyprowadzić funkcje kształtu dla tarczowego elementu skończonego
3
2m
1
2
1m
2m
Zadanie 11. Rozwiązując tarczę otrzymano dla elementu skończonego wektor przemieszczeń węzłowych
y
q = {0 0 3 − 17 2.5 − 10} · 10−4 m
3
2
N1 = 1 − 13 y
N2 = 41 x
3
N3 = − 41 x + 13 y
1
x
4


28 5 0
D =  5 28 0  · 109 N/m2
0 0 12
q4
q6
q5
q3
q2
Obliczyć wektory odkształcenia ε i naprężenia σ dla elementu.
q1
Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
5
Zadanie 12. Obilczyć metodą elementów skończonych wektory odkształcenia ǫ i naprężenia σ oraz
przemieszczenie pionowe w punkcie A – vA (1.0, 1.5) dla tarczy zdyskretyzowanej jednym
elementem skończonym i z danym wektorem stopni swobody. Q
y, v

2
3
A
2m
1



Q=



u1
v1
u2
v2
u3
v3


 
 
 
=
 
 
 
0
0
−0.01
−0.02
0
0

1
N1 (x, y) = − y + 1
2
1
N2 (x, y) = x
3
1
1
N3 (x, y) = − x + y
3
2



m





29.8706 9.2599
0
0  GPa
D =  9.2599 29.8706
0
0 10.3053
x, u
3m
Zadanie 13. Dla podanej tarczy (PSN) zdysketyzowanej elementami skończonymi zapisać wektor obciążenia (prawej strony układu równań) MES, przed uwzględnieniem i po uwzględnieniu
warunków brzegowych.
6 kN/m
3 kN/m
3
4
E = 26 GPa
ν = 0.2
h = 0.3 m
y
2m
x
8 kN
1
1m
2
2m
Zadanie 14. Zapisać wektor prawej strony równania MES dla podanej tarczy.
4 kN/m
4 kN/m
4
3
2m
1
1m
Y
2
X
4m
6 kN
2 kN/m
Zadanie 15. Rozwiązać problem brzegowy metodą elementów skończonych dyskretyzując obszar dwoma ES o równej długości.
y ′′ (x) + 2x2 = 0 , x ∈ (0, 1)
y(0) = 1 , y(1) = 0.5
Metody obliczeniowe : Przykładowe zadania
6
Zadanie 16. Rozwiązać poniższy problem brzegowy metodą MES przyjmując podział dziedziny zadania na dwa elementy skończone o liniowej interpolacji.
−3y ′′ (x) + 4y(x) = 2x2 + 8x + 9,
y(−2) = 1,
y ′ (2) = 4
2 3
4
5
6
7
8
9
10
0.0191
0.0223
0.0248
0.0263
0.0268
0.0263
0.0248
0.0150
1
0.0104
0.0000
-0.0053
−1 0
0.0053
Zadanie 17. Znając ugięcia belki [mm] w punktach węzłowych oraz przyjmując EI=2·104 kNm2 , h=1
m, zapisz informacje o warunkach brzegowych w zapisie tradycyjnym i MRS oraz oblicz
wartości
a) kąta obrotu przekroju w węźle 4
b) momentu zginającego w węźle 4
c) siły poprzecznej w węźle 4.
Zadanie 18. Zapisać układ równań MRS dla zadanej belki przyjmując h = 0.5 m. Uwzględnić odpowiednie warunki brzegowe.
6 kN/m
4 kN/m
2m