Szczególna teoria względności CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
Szczególna teoria względności
Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)
u  Masa w szczególnej teorii względności
u  Określenie relatywistycznego pędu
u  Wyprowadzenie wzoru Einsteina E = mc 2
u  Czy masa zależy od prędkości
Jak definiuje się masę?
1) Newton: masa jest miernikiem „ilości materii”.
2) Masa to parametr, który określa ciężar ciała.
3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała:
F
m= .
a
Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to:
4) Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć
prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd.
!
!
!
!
m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v 2
Prawo zachowania pędy jeżeli zachodzi w jednym układzie to jest
spełnione w każdym innym układzie inercjalnym:
! !
! !
! !
! !
m1 (u1 ! v ) + m2 (u2 ! v ) = m1 (v1 ! v ) + m2 (v 2 ! v )
Bo spełniona jest trywialna relacja:
!
!
(m1 + m2 )v = (m1 + m2 )v
Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale pod
jednym warunkiem:
!
!
!
m1 u1 + m2 u2 = m3 u3
! !
! !
! !
m1 (u1 ! v ) + m2 (u2 ! v ) = m3 (u3 ! v )
!
!
(m1 + m2 )v = m3v
!
(m1 + m2 ) = m3
Pęd będzie zachowany w
każdym układzie
inercjalnym jeżeli masa jest
zachowana.
Aby wyprowadzić relacje E = mc2, przejdziemy do układu środka
masy:
!
!
!
!
m1 u1 + m2 u2 = 0 = m1 v1 + m2 v 2
Mamy wtedy relacje:
!
m1 u1 = !m2
!
m1 v1 = !m2
!
u2
!
v2
!
!
u2 m1 v 2
= !
! =
u1 m2 v1
W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu nawet
gdy długości pędów zmieniają się o ile zmiana jest identyczna dla
jednej i drugiej cząstki:
!
!
v1 = ! u1
!
!
v 2 = ! u2
! =1
! "1
Zderzenia sprężyste
Zderzenia niesprężyste
Tylko dla zderzeń sprężystych (λ =1) zachowana jest energia
kinetyczna:
!2
mu
Ek =
2
Mamy bowiem:
! =1
u
Ek1
=
! 2
m1 u1
2
=
! 2
m1 v1
2
v
= Ek1
Eku2 =
! 2
m2 u2
2
I wtedy zachodzi:
E +E
u
k1
u
k2
=E +E
v
k2
v
k2
=
! 2
m2 v 2
2
= Ekv 2
Dla każdej innej definicji energii kinetycznej np. Ek =
!3
mu
2
dla zderzeń sprężystych energia będzie zachowana w układzie środka
masy, ale nie będzie zachowana w dowolnym innym układzie
inercjalnym.
Tradycyjnie zdefiniowana energia kinetyczna, ta z kwadratem
prędkości ma jeszcze jedną zaletę, jeżeli jest zachowana w jednym
układzie to będzie zachowana w każdym innym:
Ek =
! !2
m u !v
2
=
!2
mu
2
!!
! muv +
!
! !
u+v
u
u
Ek1
+ Eku+v
=
E
+
E
!
(m
u
+
m
u
)v +
2
k1
k2
1 1
2
2
!2
mv
2
!2
(m1 + m2 ) v
2
u+v
v +v
v +v
Ek1
+ Eku+v
=
E
+
E
2
k1
k2
E
v +v
k1
+E
v +v
k2
!
! !
= E + E ! (m1 v1 + m2 v 2 )v +
v
k1
v
k2
!2
(m1 + m2 ) v
2
Jeżeli więc pęd i masa są zachowane to tak zdefiniowana energia
kinetyczna, jeżeli jest zachowana w jednym układzie, jest zachowana
w każdym układzie inercjalnym:
E
u+v
k1
+E
u+v
k2
=E
v +v
k1
+E
v +v
k2
Tak więc w przypadku nierelatywistycznym mamy:
Dla zderzeń sprężystych i niesprężystych:
z  Bezwzględne prawo zachowania masy. Masa nie zależy od układu
odniesienia i jest zachowana w każdym układzie inercjalnym
z  Pęd jest zachowany, jest zachowany w każdym układzie
inercjalnym bo masa jest zachowana
Ponadto dla zderzeń sprężystych
z  zachowana jest energia kinetyczna zdefiniowana w znany sposób.
Zachowana jest w każdym układzie inercjalnym bo a) zachowana
jest masa oraz, b) zachowany jest pęd.
Taka spójność praw zachowania i możliwość ich spełnienia w każdym
układzie inercjalnym jest możliwa tylko dlatego, że prawo
transformacji prędkości ma postać:
!' ! !
u = u !v
W przypadku relatywistycznym ta reguła dodawania prędkości zmienia
się, mamy bowiem (w przypadku gdy wektory u i v są
! !
równoległe u // v ) :
! !
!' u ! v
u =
!!
uv
1! 2
c
Nie powinno nas to dziwić. Przecież zegary nie chodzą tak samo i
długości prętów też ulegają zmianie.
!' ! !
u = u !v
! !
!' u ! v
u =
!!
uv
1! 2
c
Tak jak klasycznie, w nowym
układzie ciało porusza się wolniej i
przebędzie mniejszą drogą
Czas w układzie ruchomym
płynie wolniej, cząstka
potrzebuje mniej czasu aby
pokonać zadaną odległość, a
więc porucza się szybciej.
Ten mianownik był źródłem problemów. Spróbujmy zdefiniować
więc jeden czas określany zawsze w ten sam sposób, a mianowicie
czas biegnący w układzie spoczynkowym poruszającej się cząstki.
Z poprzedniego wykładu wiemy, że obserwując ruchomy zegar,
widzę, że na nim czas płynie wolniej.
Czas biegnący w
układzie spoczynkowym
poruszającej się cząstki
Czas biegnący w naszym
układzie, w którym cząstka
porusza się z szybkością u
!t
!t =
# !t
"
'
!t ' = T'
!t = T
! =
1
!2 #1
u
1" 2
c
Prędkość cząstki mierzymy w naszym układzie, a więc drogę
dzielimy przez Δt:
!
! !x
u=
!t
Określamy większą prędkość gdzie czas biegnie w układzie
poruszającej się cząstki:
!
!
! !x !x !t !
w= ' =
= u" (u)=
'
!t !t
!t
!
!
u
!2
u
1# 2
c
!
!
w !u
Jak teraz zmienia się prędkość w gdy obserwujemy ruch cząstki z
!
układu poruszającego się względem nas z prędkością v ?
W nowym układzie
!
! 'określamy prędkość podobnie jak poprzednio
(prędkości u ! u ).
! ' !' '
w = u ! (u )=
!'
u
! '2
u
1" 2
c
!! 2 ! ! 2
" uv %
(u - v)
1- 2 ' !
! '2
! ! 2
$
# c &
c2
u
(u - v)
1- 2 = 1!
=
=
2
2
!
!
!
!
c
" uv %
" uv %
c 2 $ 1- 2 '
1- 2 '
$
# c &
# c &
!! ! 2!2
!
1
2uv u v
=
1+ 4
2
! ! 2 #"
c
c
! uv $
#" 1- c 2 &%
!2
u
- 2
c
gdzie:
! !
!' u - v
u = !!
uv
1- 2
c
(Przypominamy,
! !
wektory u i v
są równoległe)
!2
!! $
! 2!2
!
v 2uv
1
uv
- 2+ 2 &=
1
+
c
c % ! u! v! $ 2 #"
c4
#" 1- c 2 &%
!2
u
- 2
c
!2 $
v
- 2&
c %
! !
u-v
!'
w =
! '2 = u! v!
u
1! 2 1- c 2
c
!'
u
! !
u-v
=
! 2!2 ! 2
! uv u
#" 1+ c 4 - c 2
Otrzymaliśmy
więc relację:
1
! 2!2
"
1
uv
! ! 2 $# 1+ c 4
" uv %
$# 1- c 2 '&
!2
u
- 2
c
! !
u-v
!2 =
!2
!2
! u $
v $
v
- 2&
1- 2 & 1' 2
#
c %
c
" c %
! !
u-v
!'
w =
!
!2
! u2 $
v
#" 1- c 2 &% 1' c 2
!2 =
v %
- 2'
c &
Zgodnie z naszą sugestią,
zdefiniujmy pęd w sposób:
!
m
u
!
!
p=mw=
!
u2
1! 2
c
Wtedy w nowym
!
$
układzie odniesienia:
#
! !
!
! &
m( u - v)
1 # mu
mv &
!'
!'
p =mw =
!2 #
!2
!2 =
!2 '
!2 & =
! u $
! u $&
v # ! u $
v
1' 2
1- 2 &
1- 2 &
#" 1- c 2 &% 1' c 2
#
#
c #" " c %
" c % &%
1
!
! !
!
!
=
! 2 ( p - p0 v ) = " ( v) ( p - p0 v )
v
1! 2
c
p0 =
m
!
! u2 $
#" 1- c 2 &%
!
= ' ( u) m
Pęd w nowym układzie odniesienia jest prosto związany z pędem w
pierwotnym układzie odniesienia:
!'
! !
!
p = ! ( v) ( p - p0 v )
!
p0 = ! ( u) m
Ale pojawiła się tu nowa wielkość p0, co to jest?
!
Jeżeli prędkość u jest mała w porównaniu z prędkością światła, to
p0 ! m
i mamy:
!'
! !
! !'
! !
!
p = ! ( v) ( p - m v ) p = ! ( v) ( p - m v )
!
To prawo transformacji, oprócz czynnika ! ( v) , jest takie samo jak w
przypadku klasycznym. Ten czynnik γ jest identyczny dla każdej
zderzającej się cząstki, zależy tylko od względnej prędkości pomiędzy
układami, a nie zależy od prędkości cząstek.
Tak więc jeżeli mamy prawo zachowania pędu w układzie K to pęd
będzie zachowany w dowolnym innym układzie K’, byleby tylko
masa była zachowana.
Sytuacja się komplikuje gdy prędkości cząstek są porównywalne z
prędkościami światła, p0 nie jest w przybliżeniu masą.
Aby więc teraz pęd:
!'
! !
!
p = ! ( v) ( p - p0 v )
był zachowany w każdym układzie odniesienia, prawo zachowania
masy musimy zastąpić prawem zachowania wielkości p0.
m1 + m 2 = const
!
!
! ( u1 )m1 + ! ( u 2 )m 2 = const
I podobnie prawo zachowania pędu określone w znany sposób sposób:
!
!
m1u1 + m 2 u 2 = const
musimy zastąpić prawem zachowania relatywistycznego pędu:
! !
! !
m1! ( u1 )u1 + m 2! ( u 2 )u 2 = const
Czy jednak wielość p0 jest zachowana w każdym układzie odniesienia,
musimy to sprawdzić:
p =
'
0
m
!
! u '2 $
#" 1- c 2 &%
! !
!' u - v
u = !!
uv
1- 2
c
Podobnie jak poprzednio:
m
m
' !'
p0 ( u ) =
! '2 =
!2
!2 =
! u $
! u $
1
v
#" 1- c 2 &% ! u! v! $ #" 1- c 2 &% 1' c 2
#" 1- c 2 &%
!!
!! $
!
! uv $
! uv $
#
m # 1- 2 &
m# 2 & &
" c %
"c % &
1 #
m
=
!2 #
!2
!2 =
!2 '
!2 & =
! u $
! u $&
v # ! u $
v
1' 2
1- 2 &
1- 2 &
#" 1- c 2 &% 1' c 2
#
#
#
c " " c %
" c % &%
!!
! "
! pv %
= ! ( v) $ p0 ( u) - 2 '
#
c &
Otrzymaliśmy więc dla wielkości p0 prawo transformacji pomiędzy
różnymi inercjalnymi układami odniesienia:
! !!
! " ! p(u)v %
' !'
p0 ( u ) = ! ( v) $ p0 ( u) - 2 '
#
c &
I dodajmy do tego prawo transformacji dla pędu:
!' !'
! ! !
! !
p ( u ) = ! ( v) ( p(u) - p0 ( u) v )
!
Mamy więc nową definicję pędu p i jakąś wielkość p0, które
zachowane w jednym układzie będą zachowane w każdym innym
układzie odniesienia.
Co wynika z faktu, że zachowanie nierelatywistycznej masy
całkowitej zastąpiliśmy prawem zachowania wielkości p0?
Dla bardzo małych prędkości cząstki p0 = m . Zobaczmy jak wygląda
p0 dla trochę większych szybkości. W tym celu obliczmy:
" u! 2 %
1! 2 '
!2
$
2
2!2
c &
m
mu
2 p
2 #
2
(p0 ) - 2 =
!
=
m
=
m
!2 %
!2 %
" u! 2 %
"
"
c
u
u
2
1!
c
1!
1!
$# c 2 '&
$# c 2 '&
$# c 2 '&
Stąd:
!2
p
2
2
=
(p
)
!
m
= (p0 + m)(p0 ! m)
0
2
c
!
!
!
p2
p2
mu 2 1
p0 ! m =
"
=
2
2
2 c2
(p0 + m)c
2m c
E k = c p0 ! c m
2
2
To pozwala nam zinterpretować wielkość p0 (dokładniej p0c2):
c 2 p0 = c 2 m + E k
Aby zachowany był pęd układu, zachowana musi być wielkość:
c P0 = c M + E
2
Gdzie:
2
M = m1 + m 2 + ...
E ck = E k1 + E k2 + ...
c
k
sa
a
m
a
wit
o
k
ł
a
C
u
d
a
ł
k
u
Całk
owit
a
kine
tyczn energia
a ukł
adu
u Masa jest zawsze zachowana.
u Energia kinetyczna zachowana w zderzeniach sprężystych.
Nadal energia kinetyczna jest zachowana w zderzeniach sprężystych,
ale P0 musi być zawsze zachowane, niezależnie czy zderzenia były
czy nie były sprężyste.
u W zderzeniach sprężystych M i E ck są zachowane niezależnie.
c
u W zderzeniach niesprężystych zmiana energii kinetycznej o !E k
musi być rekompensowane zmianą masy całkowitej c 2 !M = "!E.ck
Otrzymujemy więc pełne prawo zachowania pędu i zachowania
energii, spełnione w każdym układzie odniesienia, gdy wielkości te
są określone w sposób:
! !
P(u) =
2
mc
!
!
2
E(u) =
=
!
(
u)
mc
!2
u
1- 2
c
!
mu
! !
! 2 = ! (u) mu
u
1- 2
c
! !
Po przejściu do innego układu inercjalnego ( p // v ):
!!
!!
E - Pv
!
'
E =
! 2 = ! ( v) E - Pv
v
1- 2
c
(
)
! E v!
!
P- 2
!'
!
E v%
! "
c
P =
! 2 = ! ( v) $# P - c 2 '&
v
1- 2
c
Bardzo często wzory poprzednie pisze się niepoprawnie:
!
! 2
E(u) = m(u) c
! !
! !
P(u) = m(u) u
Przed zderzeniem cząstek o
takiej samej masie, cząstki
mają pędy i energie
kinetyczne
gdzie:
!
!
m(u) = ! (u) m
Po zderzeniu cząstki się zlepiły i
spoczywają, pęd jest zachowany ale
energia kinetyczna nie zachowuje
się. Ma być zachowane c2P0, stąd
początkowa energia kinetyczna
zamienia się w dodatkową masę
zlepionych cząstek
E
m= 2
c
Masa stała się częścią energii
A co będzie dla cząstek o masie m = 0? Z poniższego wzoru wynika,
że E = 0, no chyba że u = c. Wtedy otrzymujemy nieoznaczony
symbol 0/0, tak więc wzór w ramce jest nieprzydatny w tym
przypadku.
mc 2
!
!
2
E(u) =
=
!
(
u)
mc
!2
u
1- 2
c
Obliczmy natomiast wyrażenie:
!
$
!
$
!
!
2 2
2
#
&
#
&
m
u
u
!2 2
2 4
2
2 2
2 2
2
p c +m c =c #
!2 + m c & = m c #
!2 + c & =
#1 - u
&
#1 - u
&
2
2
"
%
"
%
c
c
(
)
m 2c 2 ! 2 2 ! 2
m 2c 4
2
=
u
+
c
u
=
=
E
!2
!2
u
u
1- 2
1- 2
c
c
oraz pęd cząstki:
!
P=
!
!
2!
mu
mc u
Eu
!2 =
! 2 = c2
u
u
2
1- 2 c 1- 2
c
c
Otrzymaliśmy więc nowe wzory łączące masę, pęd i energie
!2 2
2 4
E =P c +m c
2
! Eu!
P= 2
c
które można stosować także dla cząstek o masie m = 0
Z równania pierwszego:
!2 2
2
E = P c ! E = Pc
!
P= P
Równanie drugie jest spełnione
!
automatycznie gdy u = c
Nierelatywistyczne
M = m1 + m 2
Masa
zawsze
Zachowana?
Transformacja
Pęd
Zachowany ?
M = m1 + m 2
tylko w zderzeniach sprężystych
M' = M
!
!
!
P = m1 u1 + m 2 u 2
zawsze
Transformacja
Energia
Relatywistyczne
M' = M
!
!
!
!
!
P = ! (u1 )m1u1 + ! (u 2 )m 2u 2
zawsze
!'
!
!
P = P-Mv
1
! 2 1
! 2
E = m1 u1 + m 2 u 2
2
2
Zachowana?
tylko przy zderzeniach
sprężystych
!2
!
M
v
Transformacja
!
E ' = E - Pv +
2
!
!'
! " ! E v%
P = ! ( v) $ P - 2 '
#
c &
!
!
E = ! (u1 ) m1c 2 + ! (u 2 ) m 2 c 2
zawsze
!!
!
E = ! ( v) E - Pv
'
(
Porównanie własności masy, pędu i energii
)