cz. 1.

19/04/2012
PRZEDMIOTY WPROWADZAJĄCE WRAZ Z WYMAGANIAMI WSTĘPNYMI
fizyka (elektryczność i magnetyzm)
obwody i sygnały elektryczne
ZAŁOŻENIA I CELE PRZEDMIOTU
nauczyć podstawowych praw elektromagnetyzmu
zapoznać z budową i zasadą działania mikrofalowych linii przesyłowych
zapoznać z budową i zasadą działania podstawowych mikrofalowych układów pasywnych
zapoznać ze sposobami opisu wielowrotowych układów mikrofalowych
1
19/04/2012
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
liczba godzin
wykł. ćw. lab.
SYLABUS = tematyka zajęć
Charakterystyczne cechy techniki mikrofal. Podstawowe własności i zastosowania mikrofal.
Metody opisu obwodów mikrofalowych.
Podstawowe pojęcia i prawa elektromagnetyzmu. Równania Maxwell’a.
Równania falowe.
Transformacyjne własności linii przesyłowych. Linia długa. Równania telegrafistów.
Rozkłady napięć, prądów i impedancji w linii długiej dla różnego typu obciążeń.
Wykres Smith’a.
Mikrofalowe linie przesyłowe. Linia koncentryczna, linie mikropaskowe. Propagacja fali
elektromagnetycznej w przestrzeni ograniczonej i zjawiska jej towarzyszące. Falowody
prostokątne i cylindryczne.
Metody i układy dopasowania impedancji. Dopasowanie dwóch impedancji rzeczywistych.
Dopasowanie impedancji rzeczywistej i zespolonej.
Rezonatory i filtry mikrofalowe. Podstawowe typy rezonatorów i filtrów mikrofalowych.
Sposoby realizacji reaktancji w zakresie mikrofalowym. Sposoby sprzęgania rezonatorów z
prowadnicą mikrofalową.
Mikrofalowe elementy ferrytowe. Własności ferrytów. Zjawiska rezonansu
ferromagnetycznego i rotacji Faradaya. Izolatory ferrytowe, przesuwniki fazy, cyrkulatory
ferrytowe.
Mikrofalowe elementy bierne. Obciążenia dopasowane, zwieracze regulowane, tłumiki
stałe i regulowane, przesuwniki fazy, mikrofalowe dzielniki mocy, sprzęgacze kierunkowe.
Tytuł
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
Wybrane elementy pasywne urządzeń rozpoznania i przeciwdziałania
10 radioelektronicznego. Złącze obrotowe, zwrotnice mikrofalowe, przełączniki mikrofalowe,
linie opóźniające. Urządzenia z akustyczną falą powierzchniową.
11 Mikrofalowe układy z akustyczną falą powierzchniową
Razem
Lp.
Autor
Obowiązkowa
2
4
2
4
26
6
2
8
Rok wydania
1
M. Pasternak
Podstawy techniki mikrofal (skrypt elektroniczny)
2002
2
J. Dobosz
Podstawy techniki mikrofalowej
1987
3
J. Dobosz
Podstawy techniki mikrofalowej
Zadania Rachunkowe i laboratoryjne
1989
Dodatkowa
1 B. Galwas
Podstawy techniki wielkich częstotliwości
1999
2
B. Galwas
Miernictwo mikrofalowe
1985
3
D. J. Griffiths
Podstawy elektrodynamiki
2001
2
19/04/2012
3
19/04/2012
radiolokacja
medycyna
łączność
nawigacja
anty-radiolokacja
miernictwo
gospodarstwo domowe
radioastronomia
Widmo fal elektromagnetycznych
4
19/04/2012
Gedanken Eksperiment
5
19/04/2012
Jak płynie prąd w antenie?
Tempo animacji baaaardzo zwolnione
W obwodzie rozwartym może płynąć prąd!
6
19/04/2012
układ mikrofalowy
układ m.cz.
Podstawowe wielkości fizyczne i jednostki SI stosowane w technice mikrofal
oznaczenie
jednostka SI
natężenie pola elektrycznego
wielkość
E
V/m
natężenie pola magnetycznego
H
A/m
indukcja elektryczna
D
C/m2
indukcja magnetyczna
B
Wb/m2
ładunek elektryczny
q
C = A·s
gęstość prądu
j
A/m2
gęstość ładunku
ρ
C/m3
strumień elektryczny
Φe
C
strumień magnetyczny
Φm
Wb = V·s
przewodność
σ
A/V·m
przenikalność elektryczna
ε
F/m
przenikalność magnetyczna
µ
H/m
7
19/04/2012
Podział pasma mikrofalowego
fale decymetrowe
1 - 10 dm
fale centymetrowe
1 - 10 cm
fale milimetrowe
1 - 10 mm
fale submilimetrowe < 1 mm
0,3 – 3 GHz
3 – 30 GHz
30 – 300 GHz
> 300 GHz
oznaczenie tradycyjne
zakres częstotliwości [GHz]
długości fal [cm]
oznaczenie nowe
VHF
0,1 - 0,3
300 - 100
A
UHF
0,3 - 0,5
0,5 - 1,0
100 - 60
60 - 30
B
C
L
1-2
30 - 15
D
S
2-3
3-4
15 - 10
10 - 7,5
E
F
C
4-6
6-8
7,5 - 5
5 - 3,75
G
H
X
8 - 10
10 - 12
3,75 - 3
3 - 2,5
I
J
Ku
12 - 18
2,5 - 1,67
J
K
18 - 26,5
1,67 - 1,1
J (do 20 GHz)
Ka
26,5 - 40
1,1 - 0,75
K
0,75 - 0,3
L (do 60 GHz)
M (pow. 60 GHz)
fale milimetrowe
40 - 100
obwodowa
polowa
macierzowa
grafowa
S
S =  11
 S12
x1 = Γ G x2 + eG
S21 
S22 
x2 = Γ L x1
∇H = - j
∂D
∂t
8
19/04/2012
Jednoznaczne przypisanie każdemu punktowi przestrzeni
określonej wielkości fizycznej definiuje pole tej wielkości
Pola
- skalarne
- wektorowe
- tensorowe
9
19/04/2012
Dwie metody definiowania pola
Za pomocą funkcji analitycznej – wtedy można obliczyć wartość pola w dowolnym punkcie
)(
)
2
2
2 2
2
2 2

 1


2
2 3⋅ k⋅ x + z − 3⋅ j + j⋅ k ⋅ x + j⋅ k + j ⋅ k ⋅ z
j ⋅ ω ⋅ t


Re ⋅ x⋅ z⋅ η0⋅ I⋅ d ⋅ exp −j ⋅ k⋅ x + z ⋅
⋅e


4
5


 


 






 x2 + z2  2  ⋅ ( k⋅ π )








E( x, z, t) 

2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2




  −1
2
2  −2⋅ z ⋅ k⋅ x + z + 2⋅ j ⋅ z + j ⋅ k ⋅ x + j ⋅ k ⋅ x ⋅ z + k⋅ x + z ⋅ x − j ⋅ x  j ⋅ ω ⋅ t 
⋅e
Re 4 ⋅ η0⋅ I⋅ d⋅ exp −j⋅ k⋅ x + z ⋅

 5


 
 



2


 
 x2 + z2


⋅ ( k⋅ π )
 


(
(
)
) (
(
)
(
)
Numerycznie – wtedy pole jest zdefiniowane tylko w wybranych punktach
PoleHamiltona( f , x1, x2, m, y1 , y2 , n ) :=
x2 − x1
dx ←
m
dy ←
y2 − y1
n
for i ∈ 0 .. m
for j ∈ 0.. n
tx ← x1 + i⋅ dx
ty ← y1 + j ⋅ dy
M
i, j
←
d
d
f ( tx, ty ) − i⋅ f ( tx, ty )
dty
dtx
M
Pole elektromagnetyczne opisują równania Maxwella
Prawo zachowania ładunku
∇j = −
∂ρ
∂t
10
19/04/2012
11
19/04/2012
W ośrodkach bez prądów przewodzenia (σ = 0) oraz bez ładunków (ρ = 0)
(próżnia) równania Maxwella upraszczają się do postaci:
∂D
∂t
∂B
∇× E = ∂t
∇D = 0
∇× H =
∇B = 0
próżnia ε = µ =1, σ = 0
ośrodki materialne ε > 1 , µ ≥ 1, 0 ≤ σ ≤ ∞
izotropowe
anizotropowe
ośrodki materialne
jednorodne
niejednorodne
materiałowo
geometrycznie
12
19/04/2012
Jednorodne równanie falowe
∂D
∂E
= εε 0
(1)
∂t
∂t
∂B
∂H
(2)
∇× E =
= µµ0
∂t
∂t
∇× H =
∂
(∇ × E ) =
∂t
∂
∂H 
∂2 H
= εε 0  − µµ0
=
−
εε
µµ
0
0

∂t 
∂t 
∂t 2
∇ × (1) = ∇ × ( ∇ × H ) = εε 0
∇ × ( ∇ × H ) ≡ ∇ ( ∇H ) − ∇ 2 H
Na mocy tożsamości:
oraz z 4-ego równania Maxwela
otrzymuje się
∇H = 0
∇ 2 H = εε 0 µµ0
albo
∇ 2 H − εε 0 µµ0
oznaczając operator
∂2 H
∂t 2
∂2 H
=0
∂t 2
∇2 − εε 0 µµ0
∂2
=
∂t 2
□
otrzymujemy jednorodne równanie falowe (d’Alamberta
□H = 0
rozwiązaniem są funkcje opisujące fale
13
19/04/2012
np. dla oscylującego dipola elementarnego








E 



2
 −1
2
2
2 −2⋅ z ⋅ k⋅
⋅ η ⋅ I⋅ d ⋅ exp −j ⋅ k⋅ x + y + z ⋅
4 0



(
)




2
2
2
2

x +y +z
⋅ ( k⋅ π )

2
2
2
2 2
2 2
2 2

1
3
⋅
k
⋅
x
+
y
+
z
−
3
⋅
j
+
j
⋅
k
⋅
x
+
j
⋅
k
⋅
y
+
j
⋅
k
⋅
z
2
2
2
⋅ y ⋅ z⋅ η0⋅ I⋅ d ⋅ exp −j ⋅ k⋅ x + y + z ⋅

4
5

2

2
2
2
x +y +z
⋅ ( k⋅ π )


2
2
2
2
2 4
2 2 2
2 2 2
2 4
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
x + y + z + 2⋅ j ⋅ z + j ⋅ k ⋅ x + 2⋅ j ⋅ k ⋅ x ⋅ y + j ⋅ k ⋅ x ⋅ z + j ⋅ k ⋅ y + j ⋅ k ⋅ y ⋅ z + k⋅ x + y + z ⋅ x + k⋅ x + y + z ⋅ y − j⋅ x − j ⋅ y 

5

2
2
2
2

x +y +z
⋅ ( k⋅ π )

1
4
(
2
2
)
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 3⋅ k⋅ x + y + z − 3⋅ j + j ⋅ k ⋅ x + j ⋅ k ⋅ y + j ⋅ k ⋅ z
⋅ x⋅ z⋅ η0⋅ I⋅ d ⋅ exp −j ⋅ k⋅ x + y + z ⋅
(
5
(
)
(
)
)
(
)
Właściwości rozwiązań równań Maxwella
Fale elektromagnetyczne nie wymagają do propagacji ośrodka sprężystego
Wektory E i H drgają w fazie i spełniają relację
E εε 0 = H µµ0
Wektory E i H leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji
fali
Wektory E, H oraz v są do siebie wzajemnie prostopadłe i tworzą w próżni
prawoskrętny układ prostokątny (fala poprzeczna)
Prędkość rozchodzenia się (propagacji) fale elektromagnetycznych
wynosi:
v=
c
εε 0 µµ0
=
c
ε r µr
14
19/04/2012
Prędkość rozchodzenia się (propagacji) fale elektromagnetycznych w próżni wynosi:
c=
m
≈ 3 ⋅108  
ε 0 µ0
s
1
Gęstość energii pola elektromagnetycznego w ośrodku izotropowym:
W=
εε 0 E 2
2
+
µµ0 H 2
2
Wektor gęstości strumienia energii fali elektromagnetycznej (wektor Poyntinga)
P = E×H
Impedancja falowa (falowe prawo Ohma)
Zf =
E
H
dla próżni
Z f = 120π ≈ 377 [ Ω]
15
19/04/2012
- definicje
Linia długa jest pewną ograniczoną objętością, w której przenoszona jest energia fal
albo
Nieskończenie długa linia przesyłowa będąca idealnym odbiornikiem dostarczanej
do niej energii
W praktyce linia taka ma długość skończoną
ale zakończona jest idealnym odbiornikiem energii
Schemat zastępczy:
∆ u (l ) = ( R + jω L ) ∆ l ⋅ i (l )
∆ i (l ) = (G + jω C ) ∆ l ⋅ u (l )
16
19/04/2012
Z0 =
c=
1
γ
( R + jω L )
( G + jω C )
γ = ( R + jω L ) ⋅ (G + jω C )
γ = α + jβ
β =
2π
λ
=
ω
c
Dla linii bezstratnej R = G = 0 => α = 0
∆ u ( l ) = ( R + jω L ) ∆ l ⋅ i ( l )
∆ i ( l ) = ( G + jω C ) ∆ l ⋅ u ( l )
Dla przyrostów infinitezymalnych
du (l )
= ( R + jω L ) ⋅ i (l )
dl
di (l )
= (G + jω C ) ⋅ u (l )
dl
Równania telegrafistów
d 2 u (l )
= ( R + jω L )(G + jω C ) ⋅ u (l ) = γ 2 ⋅ u (l )
dl 2
d 2 i (l )
= ( R + jω L )(G + jω C ) ⋅ i (l ) = γ 2 ⋅ i (l )
2
dl
17
19/04/2012
Rozwiązanie
dla w. b.
u(l) l =0 = UK ,
i(l) l =0 = IK ,
ZK =
UK
IK
u (l ) = U K cosh γ l + I K Z 0 sinh γ l
i (l ) = I K cosh γ l +
sinh x = −i sin ix =
UK
sinh γ l
Z0
e x − e− x
e x + e− x
; cosh x = cos ix =
2
2
Impedancja wejściowa zależy od odległości od obciążenia!
Z we (l ) =
u (l )
Z + Z 0 tgh γ l
= Z0 K
i (l )
Z 0 + Z K tgh γ l
Dla linii bezstratnej
Z K + jZ 0 tg β l
Z w e (l ) = Z 0
Z 0 + jZ K tg β l
18
19/04/2012
Zwarcie na końcu
ZK = 0
Z WE = jz 0 tg β l
Γ = −1
WFS = ∞
ZG = Z0
współczynnik odbicia
Γ=
u odb
i
Z − Z0
= − odb = K
u pad
i pad Z K + Z 0
−
Γ = Γ e+
jθ
Γ ∈ − 1;1
współczynnik fali stojącej (ang. SWR)
WFS =
umax u pad + uodb 1 + Γ
=
=
umin
u pad − uodb 1 − Γ
WFS ∈ ( 0; ∞
Związek pomiędzy modułem współczynnika odbicia a WFS
Γ =
W FS − 1
W FS + 1
19
19/04/2012
Dla linii rozwartej na końcu
z K = ∞ , zWE = − jz 0 ctg β l , Γ = 1, WFS = ∞
Dla linii obciążonej reaktancją pojemnościową
Z K = − jX KC = − j
1
X − z tg β l
, ZWE = − jz0 KC 0
, Γ = 1, WFS = ∞
ωC
z0 + X KC tg β
Dla linii obciążonej reaktancją indukcyjną
Z K = jX KL = − jω L , Z WE = jz0
X KL + z0 tg β l
, Γ = −1, WFS = ∞
z 0 − X KL tg β
20
19/04/2012
Dla linii obciążonej rezystancją
0 < Z K = RK < ∞, ZWE ∈ Im, U ODB < U PAD
dwa przypadki
0 < RK < Z0 , 1 > Γ > 0, 1 < WFS < ∞
Z 0 < RK < ∞, − 1 < Γ < 0, 1 < WFS < ∞
Przykłady linii
Linia dwuprzewodowa
Linia koncentryczna
Z0 =
120
εr
Z0 =
F 2H F 2H I I
GG d + GH d JK − 1JJ
H
K
2
ln
120
εr
F 2H F 2H I I
GG d + GH d JK −1JJ
H
K
2
ln
21
19/04/2012
Z0
Symetryczna linia paskowa
Z0
Z 0 = 337
b
w
R|
S|
T
60
εr
ln
FG
H
8b
πw
dla w 〈〈 b
IJ
K
15π 2 πw
+ ln 2
ε r 2b
LM
MN
−1
ε r w 1 + 1,735ε r−0,0724
dla w〉〉 b
FG w IJ
H bK
−0, 386
OPU|
PQV|W
−1
Niesymetryczna linia paskowa
22
19/04/2012
Odwzorowanie homograficzne
Funkcję homograficzną wiążącą ze sobą dwie zmienne zespolone w i z zapisuje się
następująco:
w=
az + b
;
cz + d
z≠−
d
c
przy czym a, b, c i d są stałymi zespolonymi.
Odwzorowaniem homograficznym nazywamy przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie
zespolonej Z punktów na płaszczyźnie zespolonej W, opisane funkcją homograficzną.
Własności odwzorowania homograficznego:
odwzorowanie jest wzajemnie jednoznaczne
okrąg na płaszczyźnie Z transformuje się na okrąg na płaszczyźnie W (prosta jest
szczególnym przypadkiem okręgu)
odwzorowanie zachowuje ortogonalność okręgów
Znana już zależność na wsp. odbicia to typowa funkcja homograficzna
ZK
−1
Z K − Z0 Z0
z −1
Γ=
=
= zn
Z K + Z 0 Z K + 1 z zn + 1
Z0
Wykres Smitha powstaje przez przetransformowanie siatki prostych r = const. i
x = const. z płaszczyzny impedancji Z na płaszczyznę współczynnika odbicia Γ.
23
19/04/2012
Proste r = const na płaszczyźnie Z transformują się na płaszczyznę Γ jako okręgi
o promieniach 1/(r+1) i środkach [r/(r+1), 0].
Proste x = const transformują się na okręgi o promieniach 1/|x| i
środkach leżących w punktach o współrzędnych [1, 1/x].
Obie rodziny okręgów są względem siebie ortogonalne.
Jeżeli transformację ograniczyć do prawej półpłaszczyzny to otrzymuje się wykres Smitha.
Można też przetransformować z płaszczyzny admitancji Y proste g = const i b = const
na odpowiednie okręgi na płaszczyźnie G - otrzymuje się wtedy identyczną, siatkę
współrzędnych, ale obróconą o 180o.
Punkty prawej półpłaszczyzny Z transformują się do wnętrza okręgu o promieniu 1,
punkty lewej półpłaszczyzny transformują się do zewnętrza okręgu.
Przy graficznej prezentacji parametrów obwodów generacyjnych korzysta się z poszerzonego
wykresu Smitha, zawierającego także siatkę współrzędnych poza okręgiem jednostkowym.
24
19/04/2012
Po nałożeniu okręgów powstaje gotowy wykres Smitha
Po obróceniu o 180o okręgi stałych rezystancji i reaktancji przechodzą odpowiednio
w okręgi stałych konduktancji i susceptancji.
Spotyka się wykresy z nałożonymi na siebie wszystkimi rodzajami okręgów.
25
19/04/2012
Wykres Smitha w postaci użytecznej praktycznie jest często wzbogacony o różne podziałki
Łatwo znajduje się tu odwrotności liczb zespolonych
λ/2 na jeden obrót
yK = 0,39 − j 0,5
z K = 0,8 + j 2
charakter pojemnościowy
charakter indukcyjny
26
19/04/2012
0, 6 + j1
1, 75 − j1, 7
5,5 + j 0
139o ≈ 0,19λ
Wykres Smitha jest popularnym sposobem reprezentacji danych pomiarowych
27
19/04/2012
28
19/04/2012
Rozważmy zwykła falę płaską propagującą się pod kątem θ do osi z i odbijającą się od
każdej napotkanej powierzchni przewodzącej
k’
z
v
i
fal
i
fal
oła
oła
cz
cz
29
19/04/2012
W kierunkach poprzecznych do kierunku propagacji (x i y) fale wielokrotnie
odbite od płaszczyzn ograniczających interferują ze sobą tworząc fale stojące
o długościach:
λx =
2a
m
λy =
2b
n
λz = ?
i liczbach falowych (stałych propagacji)
βx =
2π
λx
=
gdzie m, n = 1, 2, 3, …
Wektor falowy:
πm
a
βy =
2π
λy
=
πn
b
βz = β
a, b odległości pomiędzy płaszczyznami ograniczającymi
πm
πn
β=
ix +
i y + β iz
a
b
Pulsacja wyniesie:
2
2

n 
2
2 m
ω = c β = c β + π   +    =
 a   b  
2
( cβ ) + ωmn2
=
2
( cβ ) + λc2
Tylko niektóre kąty θ umożliwiają powstawanie fal stojących
2
ω 
λ 
cos θ = = 1 −  mn  = 1 −  c 
β
 ω 
λ 
β
2
Fala płaska rozchodzi się z prędkością c, ale ponieważ porusza się pod kątem θ
do osi z więc wypadkowa prędkość wzdłuż falowodu wynosi:
2
ω 
λ 
vg = c cos θ = c 1 −  mn  = c 1 −  c 
 ω 
λ 
2
30
19/04/2012
Z drugiej zaś strony prędkość czoła fali (prędkość fazowa) wynosi:
vf =
c
=
cosθ
c
ω 
1 −  mn 
 ω 
2
vf
2
2
 2π   2π   2π 

 +

 =
 λ   λc   λg 
2
v0
λ/λc
1
31
19/04/2012
y
σ=∞
b
σ=0
ε, µ
0
a
z
x
∇2 Ez − γ 2 Ez = 0
γ = ( R1 + jωL1 )(G1 + jωC1 ) = α + jβ , β =
2π
λ
Przy założeniu bezstratności tj. przyjmując α=0
∇2 Ez + β 2 Ez = 0
Rozwiązanie można uzyskać metodą rozdzielenia zmiennych
E z = XYZ
wtedy
X " Y" Z"
+ +
+ β2 = 0
X
Y
Z
równanie rozpada się na trzy równania zawierające po jednej zmiennej
X " − γ 2x X = 0
Y " − γ 2yY = 0
Z " − γ 2z Z = 0
każde z nich można rozwiązać oddzielnie
32
19/04/2012
Szukamy rozwiązania w postaci superpozycji fal
X = Aeγ x x + Be −γ x x
Warunki brzegowe opisują zanik pola na ściankach falowodu
X=Ez(x) = 0 dla x = 0 oraz dla x = a
Dla falowodu bezstratnego
X = Ae jβ x x + Be − jβ x x
Z wzorów Eulera
e jz = cos z + i sin z , e − jz = cos z − i sin z
X = C sin β x x + D cos β x x
z 1. w.b. wynika, że C = 0, zatem
X = D cos β x x
2. w.b. będzie spełniony dla
β x a = mπ
βx = m
zatem
analogicznie
βy = n
π
a
π
b
Wartości βx i βy umożliwiają wyznaczenie rozkładu składowej Ez w płaszczyźnie
⊥ do osi z
b g
[ E z x , y ]m,n = cos(
mπ
nπ
x ) cos(
y)
a
b
wskaźniki m i n określają rodzaj fali (mod) typu E ozn. TEmn
33
19/04/2012
Analogiczne ozważania dla składowej pola magnetycznego prowadzą do rozkładu:
b g
[ Hz x , y ]m,n = cos(
mπ
nπ
x ) cos(
y)
a
b
w którym wskaźniki m i n określają rodzaj fali (mod) typu H ozn. TMmn
Długość fali krytycznej - największa długość fali, dla której nie jest ona tłumiona
długość ta wynosi:
λC =
2
FG mIJ + FG n IJ
H a K H bK
2
2
Podstawowym rodzajem fali jest taki rodzaj, dla którego
λ C = max
Dla pola E jest to TE10 i wtedy λc=2a i nie zależy od b.
Aby nie dopuścić do pojawienia się w falowodzie innych rodzajów fal należy
dobrać wymiar b. Zakładając możliwość pojawienia się sąsiednich dla TE10
rodzajów fal czyli TE01 i TE20 uzyskuje się
FG π IJ = FG 2π IJ
H bK H a K
2
stąd
2
a = 2b
34
19/04/2012
symulacja
35
19/04/2012
z
y
r
θ
x
Przyjmuje się cylindryczny układ współrzędnych
x = r cos θ , y = r sin θ , r = x 2 + y 2 , θ = arctg
y
x
W tym układzie równanie falowe przyjmie postać
1 ∂  ∂ E  1 ∂ 2E
+ χe E = 0
r
+
r ∂ r  ∂ r  r 2 ∂θ 2
gdzie
χe
jest stałą charakteryzującą pole
Rozdzielając zmienne E = f (r ) g (θ ) i mnożąc przez
r2
f ( r ) g (θ )
otrzymujemy układ równań ze względu na f i g
r 2 f "(r ) + rf ′(r ) + χ e r 2 f ( r ) = n 2 f (r )
g " (θ ) + n 2 g (θ ) = 0
(
)
Równania te można sprowadzić do równań Bessela za pomocą funkcji z r χ e = f ( r )
Wtedy pierwsze z nich przyjmie postać:
(
)
(
)
(
)
r 2 χe z " r χ e + r χe z′ r χe + ( χe r − n2 ) z r χe = 0
Zagadnienie tego typu rozwiązują funkcje Bessela.
Dla n∈ C
(
)
(
z = C1 I n r χ e + C2Yn r χ e
)
In - funkcja Bessela I-ego rodzaju n-ego rzędu
Yn - funkcja Bessela II-ego rodzaju n-ego rzędu
36
19/04/2012
można przyjąć
(
)
lim Yn r χ e → ∞
Z własności funkcji Bessela
r →0
(
)
(
z r χe = In r χe
)
wobec czegorozwiązanie równania falowego ma postać:
(
)
E ( r , θ ) = I n r χ e cos nθ
(
)
I n R χe = 0
i spełnia w.b.
Pierwiastki funkcji Bessela (lub jej pochodnych) ozn. αmne oraz αmnh
n - rząd funkcji Bessela
m - miejsca zerowego funkcji Bessela
Wartościom m i n odpowiadają różne rodzaje pola
Rodzaje podstawowe α01e=2,4 oraz α11h=1,84
Ogólnie
R χ = α mn → χ =
2
α mn
R2
Krytyczna długość fali dla falowodu cylindrycznego wynosi:
λc =
2π
χ
=
2πR
α mn
dla TM
λ Ce =
2πR
= 2,61R
2,4
dla TE
λ Ch =
2πR
= 3,41R
184
,
37
19/04/2012
38
19/04/2012
Dopasowanie jest zawsze konieczne - najprostszy przykład
I=
U
RW + RL
I 2 RL =
PRL
zatem
UIRL
= PRL
RW + RL
osiąga maksimum gdy
U2
( RW + RL )
z czego wynika
2
− 2 RL
U2
( RW + RL )
3
/⋅ IRL
dPRL
dRL
=0
=0
RW = RL
Identycznie jest w obwodach prądu zmiennego pod warunkiem,
że wszystkie reaktancje zostaną skompensowane.
Warunek dopasowania ma zatem postać:
RW + j ∑ X C = RL − j ∑ X L
lub krócej
Z ŹR = Z L*
albo po prostu, jak dla prądu stałego
RW = RL
Kompensację reaktancji dla określonej częstotliwości uzyskuje się
przez odpowiednie dołączenie reaktancji o charakterze przeciwnym.
39
19/04/2012
kompensacja jest możliwa tylko dla określonej częstotliwości
C
L
1
+ jω L = 0
jωC
ω=
1
C
L
1
jω L
1
LC
=∞
+ jωC
Trudniej jest wyrównać rezystancje (jeśli są różne).
40
19/04/2012
Często zdarza się, że Re(ZŹR)≠Re (ZL)
Na dostatecznie wysokich częstotliwościach (2π l /λ >> 0) można
wykorzystać własności transformacyjne linii długich
*
Z ŹR = ZWE
ZWY = Z L*
Re ( ZWY ) = Re ( Z L )
Re ( Z ŹR ) = Re ( ZWE )
ZWE (l ) = Z 0
ZWY + Z 0tgh ( γ l )
Z 0 + ZWY tgh ( γ l )
ZWE (l ) = Z 0
ZWY + jZ 0tg ( β l )
Z 0 + jZWY tg ( β l )
Przykłady dla czterech typów obciążeń
XC := 30 − j⋅ 70
Rm := 10
XL := 30 + j⋅ 70
Rd := 200
[ Ω]
300
250
Zwe ( l , XC)
200
.
Zwe ( l , XL)
Zwe ( l , Rm)
150
Zwe ( l , Rd)
100
50
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
l
41
19/04/2012
Jeśli linia wnosi straty
300
2dB/m
Zwe ( l , XC )
200
Zwe ( l , XL )
Zwe ( l , Rm )
Zwe ( l , Rd ) 100
.
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
l
l
300
200
Im( Zwe ( l , XC) )
Re( Zwe ( l , XC) )
100
Im( Zwe ( l , XL) )
Re( Zwe ( l , XL) )
0
100
200
0
0.5
1
1.5
2
l
42
19/04/2012
Można do tego zastosować wykres Smitha
43
19/04/2012
Smith.exe
500 MHz Z0= 50Ω
0,207λ = 124 mm
10 pF
87
Realizacja XKOMP na wysokich częstotliwościach może być bardzo
trudna
1000 pF kondensator monolityczny
100
103
10
XC
1
0
0
-50
10
10
1
10
XL
100
-1
10
100
-1
10
10-2
50
Z
[Ω]
107
108
109
1010
1011 f [Hz]
faza
2
mo
du
ł
10
moduł
[Ω]
2
faza
|Z| Impedancja 500 Ω rezystora cienkowarstwowego
101
102
103
-100
104 f [MHz]
cewka powietrzna 64 nH
5
10
4
ka
cew
10
XL
3
10
a
a ln
ide
XC
2
10
1
10
7
10
10
8
9
10
10
10
11
10
f [Hz]
44
19/04/2012
Linia zwarta i rozwarta na końcu
1500
1000
500
Im( Zwe ( l , 0) )
(
(
Im Zwe l , 10
))
100
0
500
1000
.
1500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
l
89
Jeśli źródło jest zespolone stosuje się stroiki
Stroik może też spełniać rolę filtru!
45
19/04/2012
Jeśli źródło jest rzeczywiste stosuje się tzw. transformatory ćwierćfalowe
ZT = RŹR RWE
46
19/04/2012
B
A
A
B
Z01
Z0T
Z01
Z02
Z0T
l
ZK
l
Z 01 = ZT
Z 02 + jZT tg β l
ZT + jZ 02tg β l
Z 02
Z 01 = ZT τ
ZT
/ :τ → ∞
+ jZT
tg β l
τ
tg β l
+ jZ 02
τ
τ
tg β l → ∞
βl =
π
2
β=
2π
λ
l=
λ
4
jZT
ZT2
Z 01 = ZT
=
jZ 02 Z 02
ZT = Z 01Z 02
Γ we =
Z 02 − Z 01
Z 02 + Z 01 + j 2 Z 01Z 02 ⋅ tg β l
47
19/04/2012
Γ we =
Z 02 − Z 01
( Z 02 + Z 01 )
2
+ 4Z 01Z 02tg 2 β l
|Γwe|
dopasowanie
f/f0
48
19/04/2012
98
49