Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 9
Własności 1 (Własności wariancji). Jeżeli X jest zmienną losową dla, której EX 2 < ∞ to istnieje
D2 X oraz:
1. D2 (cX) = c2 D2 X gdzie c ∈ R
2. D2 (X + a) = D2 X gdzie a ∈ R
Definicja 1. Jednowymiarowy standardowy rozkład normalny N (0, 1) ma gęstość:
x2
1
f (x) = √ e− 2
2π
Własności 2. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1), to zmienna losowa σX +m, gdzie σ > 0,
ma rozkład N (m, σ 2 ) o gęstości
(x−m)2
1
fm,σ (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
Oznaczenie 1. Dystrybuantę rozkładu normalnego N (0, 1) będziemy oznaczać przez Φ(·).
Zadanie 1. Niech X ma rozkład normalny N (m, σ 2 ). Pokazać, że EX = m.
Zadanie 2. Udowodnić, że Φ(x) − 0.5 jest funkcją nieparzysta.
Zadanie 3. Niech X ma rozkład normalny N (m, σ 2 ). Pokazać, że P (|X − m| ¬ aσ) = 2Φ(a) − 1
dla każdego a > 0.
Zadanie 4. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (−5, 100). Obliczyć:
• P (X ¬ −9),
• P (X ∈ (−7, 1)),
• P (X ­ −7),
• P (|X − 5| ¬ 10).
Zadanie 5. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (10, 25). Obliczyć:
• P (X ¬ 8),
• P (X ∈ (9, 13)),
• P (X ­ 9),
• P (|X − 10| ¬ 5).
1
2
Zadanie 6. Niech X1 ma rozkład N (10, 25) oraz X2 ma rozkład N (1, 9) oraz X3 ma rozkład
N (−4, 16). Jaki rozkład ma
• X1 + X2 + X3 ,
• 2X1 ,
• 2X1 + 3X2 ,
• 2X1 + 3X2 + 1
Zadanie 7. Wzrost kobiety jest zmienną losową o rozkładzie N (158, 100). Obliczyć jaki jest procent
kobiet o wzroście pomiędzy 148 a 168.
Zadanie 8. Przyjmując, że przeciętna waga (w kilogramach) noworodka jest zmienną losową o
rozkładzie N (3, 0.25) określić procent noworodków o wadze z przedziału (3, 3.5).
Zadanie 9. Masa ciała dorosłego chomika ma rozkład normalny o parametrach µ = 20 g oraz σ = 2
g. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany chomik osiąga wagę:
a) powyżej 25.66 g
b) co najwyżej 16.48 g
c) co najwyżej 0 g
Zadanie 10. Długość łodygi pewnego gatunku roślin ma rozkład normalny o parametrach µ = 70
cm oraz σ 2 = 27.04 cm2 . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana roślina ma łodygę o
długości:
a) co najwyżej 68 cm
b) co najmniej 72 cm
c) co najwyżej -10 cm