Print version - Wydawnictwa PTM

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO
Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA X (1977)
LUCJA GRZEGÓRSKA
(Lublin)
Charakteryzacja
rozkładu
Poissona
w modelach dyskretnych z zaburzeniem
(Praca
przyjęta
do druku 24.11.1975)
1. Wstęp. W praktyce często zachodzi konieczność badania populacji niejednorodnych, tj. składających się z dwóch podpopulacji, w którychjedna ma stałą wartość
cechy, w drugiej zaś cecha ma określony rozkład prawdopodobieństwa. Zatem
badana cecha ma rozkład będący mieszaniną rozkładu dyskretnego z rozkładem
zdegenerowanym, czyli rozkład postaci
(I)
gdzie O < rx ~ 1, a q(x; A1 , .•• , Ak) jest rozkładem prawdopodobieństwa o parametrach A1, A2 , ••• , Ak.
Rozkład postaci (1) będziemy nazywać rozkładem dyskretnym ze zniekształce­
niem w punkcie x = s.
Szczególnymi postaciami rozkładu (1 ), które będziemy dalej wykorzystywać,
są rozkład dwumianowy i Poissona ze zniekształceniem, tj. rozkłady
gdzie 0< rx
(3)
~
dla
dla
X= 0,
X= 1, 2, ... ,n,
"+ ixe-'
dla
X= Ó,
-J.
dla
X=
.
f 1-a+ciqn
q(x' p, n, rx). = \ ctG)pxqn-x
(2)
1, O<p<l,p+q=I,
q(x; A, rx) =
{ I-
;.x
ct-e
x!
1~
2, ... ,
gdzie O < rx ~ 1, A > O.
R.C. Rao i H. Rubin [3], R.C .. Srivastawa i A.B.L Srivastawa [5] i inni rozważali „zakłócony" proces Poissona, tj. proces Poissona z parametrem A., w którym
każde z kolejnych zdarzeń jest obserwowalne lub nie, niezależnie od innych zdarzeń,
z jednakowym prawdopodobieństwem p.
Niech X oznacza rzeczywistą liczbę zdarzeń w ustalonym odcinku czasu - proces
wejściowy, a Y liczbę zdarzeń obserwowalnych - proces wyjściowy. W pracach
[2], [3], [5] zakłócenia mają· charakter dwumianowy, tj. prawdopodobieństwo tego,
(55]
56
że
L. Grzegórska
obserwacja X = n zostanie zredukowana do r
s(r; n)=
W roku 1963 R.C. Rao [2]
~
n, jest równe
(~)prqn-r.
wykazał, że
dla procesu
wyjściowego zachodzą
rów-
ności
P[Y = r] = P[Y = rlA] = P[Y = rlA] = _(A~y e-;.p,
(4)
r.
gdzie A oznacza zdarzenie, że nie wystąpiło zaburzenie procesu X.
R.C. Rao i H. Rubin [3] wykazali, że warunek (4) charakteryzuje rozkład Poissona, a R.C. Srivastawa i A.B.L Srivastawa [5] udowodnili, że jeśli X jest procesem
Poissona i zachodzi (2), to proces zaburzeniowy podlega rozkładowi dwumianowemu.
W tej pracy zajmować się będziemy „zakłóconym" procesem Poissona w przypadku, gdy zakłócenia mają charakter zniekształconego rozkładu dwumianowego.
Tego typu zakłócenia mogą powstać wtedy, gdy z pewnym prawdopodobieństwem
a obserwujemy proces zakłócony opisany wyżej, a z prawdopodobieństwem 1- r:t.
nie możemy obserwować żadnego ze zdarzeń. Wyobraźmy sobie np. urządzenie
w rodzaju licznika Geigera, które jednak rejestruje tylko niektóre cząstki (przy czym
rejestracje lub nierejestracje są niezależne dla różnych zdarzeń i następują ze stałym
prawdopodobieństwem), a ponadto, urządzenie to może ulegać „blokadzie"; w
czasie której nie rejestruje się niczego.
Twierdzenia podane w tej pracy pozwalają orzekać o postaci procesu wejściowego
(ciągu sygnałów) przy znanym charakterze urządzenia i znanych wynikach obserwacji lub też odwrotnie, orzekać o charakterze urządzenia gdy znamy charakterystykę procesów na wejściu i na wyjściu, dokładniej - gdy wiemy, że procesy te
spełniają określone warunki.
2.
Główne
wyniki.
TWIERDZENIE 1. Niech X (proces wejściowy) będzie zmienną losową o rozkładzie
Poissona z parametrem A. > O, s(r; n)- prawdopodobieństwem redukcji wartości
X = n do r, Y (proces wyjściowy) - zmienną losową obserwowaną, a A - zdarzeniem, że nie wystąpiło zakłócenie X.
Jeśli
(5)
s(r; n) =
l
fJ + r:t.qn
„ n-r
r lfJ q
r:t.(n)
r = O,
r = 1, 2, ... , n,
dla
dla
gdzie O< p < I, p+q = 1, O< r:t. ~ 1, a+{J = 1, to
r = O,
dla
{J+ae-i.p
(6)
(7)
P[Y = r] = { a (Ap)'" e -i.p
71
d''a
,,
r = 1, 2,
„ .,
dla
r =O,
dla
r = 1, 2, . „,
Charakteryzacja
rozkładu
57
Poissona
oraz
(8)
dla
r = O,
dla
r
= I, 2, ... ,
gdzie
et
et
----
Cl,+ {Je-AP'
1 -
a2
a
= _ct_+_(J_(_l--e-----,A-)/-(1---e-_-=-Aą-) '
f31 = 1-ah
D o wód.
f32 = l-et2.
n] przez Pn mamy
Oznaczając P[X =
oo
P[Y = r] = Lpns(r; n),
(9)
n=r
(10)
p,s(r; r)
P[Y = rlA] =
oo
L p,s(r; r)
r=O
co
(Il)
P[Y
L
PnS(r; n)
= rlA] = -c:-=_r+_~----
2: L
r=On=r+l
PnS(r; n)
Na podstawie (5) i (9) otrzymujemy: dla r = O
i dla r
~
1
n=r
co dowodzi (6).
Proste przekształcenia (5) i (10)
(8).
prowadzą
.
r] _
WNIOSEK. Jeśli spełnione .są założenia
do wzoru (7), a (5) i (11) - do wzoru
twierdzenia 1, to
P[Y =
-Ap
P[Y = rlA] - a.+(Je
oraz
P[Y = O]
P[Y= OIA]
Udowodnimy teraz
I
następujące
dla
r ~ 1
P[Y = I] AP
P[Y= llA] - a.+(Je.
twierdzenie:
58
L. Grzegórska
TWIERDZENIE
dyskretnym {pn,
X, a Y Jeśli
2. Niech X (proces
o rozkładzie
nie wystąpiło zakłócenie
wejściowy) będzie zmienną losową
O}, A - zdarzeniem
n~
oznaczającym, że
zmienną losową obserwowaną.
s(r; n) ma
(5) oraz
postać
(12)
f3 -Ai
P[Y = r] _
p [Y = rlA] - a+ e
(13)
P[Y = O]
P[Y = OjA]
r ~ 1,
dla
I
P[Y = 1]
P[Y = 1/A]
= ct.+{Je
A1
'
= r] = p (r; a, A1), O < et < 1, rx+fJ = 1; P [Y = rlA] = p (r;
O< ct 1 < 1, ct 1 +{3 1 = 1, A1 > O, to
gdzie P[Y
Do wód. Z warunku (12) wynika, ze dla r
Ale
=
P[Y
r]
=
2
P[Y = r-1]
P[Y = r-llA]"
P[Y = r]
P[Y = rlAJ
(14)
~
dla
r =O,
dla
r
oo
(X
LPn(~)p'qn;r
= 1, 2, „.,
n=r
oraz
P[Y = rlA]. =
gdzie Pn
= P[X =
Po
dla
r = O,
ap„p'
dla
r
n] > O.
Podstawiając powyższe wartości .dla
~
1, 2, ..
2 do (14), otrzymujemy
oo
~)
n=r
n=r-1
( n ) n+l-r
~ (n) n-r = Pr ~
· ·
~ Pn r-1 q
Pr-1 L.J Pn r q
(15)
Porównanie w tym wzorze
r
współczynników
Pr..
•l
Pn= - --pn,_1,
n Pr-1
W
r
=
szczególności
dla r
= 2,
r
przy
·
qn-r
= .2, 3, ..f'.;
n ~ 2 mamy ·
daje
~ ~ r.
Cl.i,
A1 ),
Charakteryzacja
rozkładu
2
Pn = 2p2 Pn-1 = ( 2p2 )' Pn-2 = ...
n(n-1)
P1
n
Pi
Przyjmując
I=
(16)
2p 2 /Pi otrzymujemy
An-1
Pn = - 1-Pi,
n.
oo
Stąd oraz z warunku
L Pn =
59
Poissona
I
n = 1, 2,
= ( 2p2)n-l1!2_•
teraz pod
n!
=
1 otrzymujemy
„.
I mamy
n=O
(17)
Weźmy
Pi
uwagę równość
(12).
oo
oo
n=l
n=O
Przyjmując
r
Lnpnqn-l(PPo+CI. LPnP"] = Pi(li+,Be-l 1).
e;. oraz przyjmując A =
Mnożąc ostatnią równość przez
.A. 1
/p
i wykonując proste
przekształcenia, możemy napisać
oo
n
oo
oo
,BpoeA L (n+ l)Pn+iqn+ae;. L
[L L (- l)k(i)(n+ 1-k)Pn+i-kPi] qn
n= O k=O i=k
n=O
Porównując współczynniki
=
przy q" mamy: dla n = O
oo
PP0PieA+C1.e;.pi LPi = ct.pie"+PP1
(18)
i=O
oraz dla
n~
1
n
(19)
oo
,8(n+l)PoPn+1e"+C1.eA LL<...:.1)k(L)(n+l -k)pn+1-kPi = PP1
-
k=O i=k
Na mocy (18)
(20)
p0
A~.
n.
= e-i.
Przyjmując we wzorze (19) n = 1 oraz wykorzystując (20) i (16) otrzyrtmjemy
(21)
ap 1eA
=
[,B(I-J.)+aJ:ei]e-1.
.
że (17) i (20) implikują równość
Zauważmy
, -ter~z,
I+p 1 e\eL- l) = ..f</.
.
~
-
Wstawiając (21) do ostatniej równości,' po prostych przekształceniach mamy
(22)
Z ostatniej
(23)
równości widać, że
musi
być
60
L. G r z e g ó r s k a
Ostatni wzór oraz (16), (17) i (20) pozwalają nam ostatecznie napisać'
An -.?.
e ;
n.1
n = O, 1, 2, „.,
Pn = -
co dowodzi twierdzenia 2.
TWIERDZENIE 3. Niech X (proces wejściowy) będzie zmienną losową o rozkładzie
dyskretnym {Pn, n;;;::: O}, A - zdarzeniem oznaczającym, że nie wystąpiło zakłócenie,
a Y (proces wyjściowy)- zmienną losową obserwowaną.
Jeśli s (r; n) ma postać (5) oraz
i
P[Y =
P[Y = rlA]
(12')
=
P[Y = O]
P[Y = OIA]
(13')
a+ ,8(1- e-..lif P)/(1- e_;. qf P)
I
1
dla
r ;;;::: I,
1-eAl
I ,8
P[Y = I]
P[Y = 1IA] = + ae;. 1qfp + ,Be;.1/P _ l '
gdzie P[Y = r] = p(r; a, A. 1 ), O< rx < 1, a+,B = 1, A. 1 >O, r =O, 1, 2, „.; P[Y =
= rlA] = p(r; il.2, J. 1 ), O < a 2 < 1, rx 2+ ,82 = 1, A. 1 > O, to
D o w ó d. Analogicznie jak w twierdzeniu 2,
(12') i (13'), że
(24)
Pn+1 =
dla
(n+ l)! P1
można dowieść, wykorzystując
n= O, 1, 2,
oo
Ponieważ
L Pn =
n=O
1, więc
+,-,
Po
oo
In
~ (n+l)! P1 =I,
n=O
a
stąd
(25)
Kładąc
w (12') r = 1 oraz A. = A. 1 /p mamy
a stąd
oo
n
~ ~
.A,n+l-j
(1-,Bpo) ~~(j+l)Pi+1 (n+l-j)! q
n=O i=O
n+l
-
„.
Charakteryzacja
L L (j+2)Pi+2 · (:~~!
oo
=
n
teraz
współczynniki
(n+2)Pn+2qn+1.
n=O
przy qn+ 1 mamy dla n = O
I(l -
A.(1- Po) =
(26)
L
oo
qn+l(l-{Je-J.)-a
n=O j=O
Przyrównując
61
Poissona
rozkładu
e-J.).
Na mocy (25) i (26)
Podstawmy
(27)
Stąd
na mocy (24)
(28)
Wykorzystując
(29)
Po
= 1-b+be-:A,
Pn
=
-
In
b-e-;.
n!
n
= 1, 2, ...
teraz wzory (5), (9), (11) i (28) otrzymujemy
P[Y = r] =
{I -ab+abe->e>•
dla
r =O,
ab -- - e
dla
r = 1, 2, „.
r2+a2e-"
dla
r =O,
IY.z-„- - e
dla
r = 1, 2, „„
(Ipy _-;.p
r!
oraz
(30)
P[Y = rlA] =
(ipy -~P
1
gdzie
IY.2
=
ab(e).-e1P)
ab(e).- eJ.P) + flb(eL 1) '
fl2 = 1-<Xz.
Na mocy (29) i (30) oraz założeń twierdzenia: P[Y = r] = p(r; a, J. 1 ), P[Y = rlA] =
= p(r; <X 2 , J. 1 ) wnioskujemy, że A1 = 1p, czyli 1 = J.ifp = A.
Stąd, na podstawie (27), b = 1, co łącznie z (28) daje wzór
Pn
i
kończy
;.n -J.
= - ,-e ,
n.
n = O, 1, 2, . „,
dowód twierdzenia.
twierdzenie dotyczy procesu zaburzeniowego.
Następne
62
L. Grzegórska
TWIERDZENIE 4. Niech X (proces wejściowy) będzie zmienną losową o rozkładzie
Poissona z parametrem A > O, A - zdarzeniem oznaczającym, że nie wystąpiło
zakłócenie X, a Y (proces wyjściowy)- zmienną losową obserwowaną.
Jeśli rozkład zmiennej losowej Y oraz rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod
warunkiem A spełniają (12) i (13) z A1 < A, to rozkład s(r; n) ma postać (5).
Do w ó d.
rzystując
Niech Pn
= P[X =
n] =
A~ e-i.. Przyj~ując w
n.
(12) r = 1 i wyko-
(9) i (10) otrzymujemy
Podstawiając
w ostatniej
równości
p = A1 /A otrzymujemy po prostych
przekształ­
ceniach
Porównując współczynniki. przy _Ai marny
L
i
(31)
i=O
Podstawiając
= s (l ; 1)(a + fJ qi),
i s ("i ; z.)· s(l;j-i+l)
• •
(i)
1-1+ 1
j
=
o, 1, 2, ...
w ostatnim wzorze j = O otrzymujemy
s(O; O) s(l; 1)
= s(l; 1),
skąd
s(O; O)
(32)
Na mocy
założenia
(12) dla r
~
= 1.
1 mamy
= r+ 1]
P[Y = rlA] = P[Y = r+ 1IA]"
P[Y = r]
P[Y
Stąd
I
oo
oo
PnS (r+ 1; n)
. Pr+ 1 s(r+ 1; r+ 1) LPnS(r; n) = PrS(r; r)
n=r+l
n=r
i dalej
oo
oo
n=O
n=O
_An+r+l
~
•
•
s(r+ 1; r+ 1) ~ _An+r+l
~ (n+r)! s(r, n+r) = s(r, r) ~ ·(n+r+-l)T s(r+ 1; n+r+ I).
r+ 1
Charakteryzacja
Przyrównując współczynniki
n+r+
(. r + 1
1)
przy
63
Poissona
rozkładu
mamy
A_n+r+i
l) s(l; 1)
(
s(r+ 1; r+ 1)
s(r + 1 ; n+ r + 1) = n+ s(l ; n+ 1)
dla n = O, 1, 2, ... ; r = O, 1, 2, ...
Podstawiając w ostatnim wzorze r = j- 1 mamy
s(l; 1)
n+j) s(j; j)
( j
s(j; n+j) =(n+ 1) s(l; n+ l)
(33)
dla n = O, 1, ... ; j = 1, 2, ...
Podstawiając teraz w (33) n = j-i (i
zamieniając j
(~) s(i;i)s(l;j-i+l)
1
1-1+ dla i
=
1, 2, „.; j
•
•
l
= 1, 2, ...
rzystując (32) i równość
j
I
i=O
na i) otrzymujemy
(l· l) ("· .)
s ' s l,j
=
ostatni wzór do (31), a
Wstawiając
równość
jest prawdziwa
również
s(l;j+l) = s(l; l)(j+l)[s(O;j)-/3(1-qi)],
(34)
Biorąc
ostatnia
teraz pod
uwagę
L-J
,
j = 1, 2, ...
•
dla j = O. Zatem
j =O, 1, 2, ...
(13) mamy
oo
1
"\
wyko-
s(i;j) = 1, mamy
.
s(l ·j+ I)
.
+s(l; 1)-s(l; 1) s(O;J),
~
s(l; 1) (a+f3qJ) =
1
1+
Zauważmy, że
następnie
}·"
n!
s(O· n)
'
n=O
= a+f3e;.P.
},s(l; l)
;.n
L-,n. s(l; n)
oo
n=l
Stąd, przyrównując współczynniki
przy
J."+ 1 ,
otrzymujemy
.
n
pn-i
~(n)
f3
s(l; n+ 1)
s(O;n) = n+l s(l; l) + s(l; l) ~ j s(I;1+l) j+l,
rx
Wstawiając
(35)
Dzieląc
n= O, 1,2, ...
teraz (34) do ostatniego wzoru, mamy
{Js(O; n)+ rx/3(1-q") = f3
(35) przez f3 i
wykonując
Le) [s(O;j)-/3(1- qi)]p"-i.
n
j=O
proste
•
przekształcenia
otrzymujemy równanie
n-1
a(l-q") = L(J)Pn-i[s(O;j)-{3],
n= 1, 2, ... ,
j=O
którego
rozwiązaniem
jest funkcja
s(O;j) = f3+rxqi,
j =O, 1, 2, ...
64
L. G r z e g ó r s k a
Wzór (34) ma
więc postać
s(l ;j+ 1)
(36)
Podstawiając
j = O, 1, 2, ...
= s(I; l)(j+ l)qi,
(36) do (31) mamy
=I ({)s(i; i)qi-i.
j
rx+(Jqi
i=O
Rozwiązanie
ostatniego równania ma
postać
i= 1, 2, ...
(37)
Wykorzystując
teraz (12), mamy dla r
oo
L
n=O
Przyrównując
~
1
rJ.p'
·
A_n+r
)' s(r; n+r) = - 1
(
r.
n+r.
w ostatniej
oo
~
qn
. - A.n+r.
~n.1
/
n=O
przy A_n+r otrzymujemy
równości współczynniki
r =O, 1, 2, ...
Tak
więc
s(r; n)
fJ + rxqn
= { rJ.(~)p'qn-r
dla
r =O,
dla
r
=
1, 2, ... ,n,
kończy dowód.
Za uwagi i sugestie odnośnie do zastosowań podanych w pracy wyników,
dam Doc. Drowi hab. R. Bartoszyńskiemu gorące podziękowania.
co
skła­
Bibliografia
[1] K. N. Pa n da y, On generalized inflated Poisson distribution, J. Scienc. Res. Benares Hindu
Univ. XV (2) (1964-65), str. 157-162.
[2] R. C. Ra o, On discrete distributions arising out of methods of accertainment, Internat. Symp.
on Discrete Distributioris, McGill University, (1963), str. 320-332.
[3] R. C. Ra o, H. Ru b i n, On a characterization of the Poisson distribution, Sankhya, ser.
A, 26 (1964), str. 295-298.
[4] S. N. Si n g h, A note of inflated Poisson distribution, J. Indian Statist. Assoc. 1.3 (1963).
str. 140-144.
[5] R. C. Sr i va st a w a, A. B. L Sr i va st a w a, On a characterization of Poisson distribn,
lion, J. Appl. Probability, 7 (1970), str. 497-501.
(