Zmienna losowa czyli jednowymiarowy wektor losowy

Zmienna losowa
Przykład 1.
Pewna gra polega na rzucie dwiema monetami (1 zł, 2 zł) i otrzymaniu wygranej 6 zł w
przypadku dwóch reszek, a przegraniu 2 zł w pozostałych przypadkach.
RozwaŜmy funkcję X określającą wartość wygranej w tej grze.
X : Ω → R , gdzie Ω = {(r , r ), (r , o ), (o, r ), (o, o )} oraz X (Ω ) = {− 2,6} ⊂ R .
Z warunków zadania mamy
X ({(r , r )}) = 6, X ({(r , o )}) = X ({(o, r )}) = X ({(o, o )}) = −2 .
Ponadto
1
P({ω ∈ Ω : X (ω ) = 6}) = P( X = 6 ) = P({(r , r )}) = = p2 ,
4
3
P({ω ∈ Ω : X (ω ) = −2}) = P( X = −2 ) = P({(r , o ), (o, r ), (o, o )}) = = p1.
4
Def.
Niech (Ω, S, P ) - przestrzeń probabilistyczna.
Odwzorowanie X : Ω → R nazywamy (jednowymiarową) zmienną losową lub
jednowymiarowym wektorem losowym, jeśli X jest funkcją mierzalną względem
σ - algebry S , czyli zachodzi warunek
∀ B ∈ Β(R ) X −1 (B ) ∈ S ,
gdzie Β(R ) jest σ - algebrą zbiorów borelowskich na prostej (na R ).
Przypomnienie definicji przeciwobrazu zbioru B : X −1 (B ) = {ω ∈ Ω : X (ω ) ∈ B}.
Uwaga 1.
Β(R ) - σ - algebra zbiorów borelowskich na R , to najmniejsza (w sensie inkluzji) rodzina
podzbiorów zbioru R , spełniająca aksjomaty w definicji σ - algebry.
Elementami tej rodziny są na przykład zbiory
∞
∞
1
 1 

∅, R, (0;1), [0;1) = I  − ;1, (− ∞;1) = U  − ∞;1 − , A = (− ∞;0 ) ∪ (1; ∞ ), R \ A = [0;1],
i 
i
i =1 
i =1 
[0;1] ∩ [1;2] = {1} itp.
Uwaga 2.
Jeśli (Ω, S, P ) przestrzeń probabilistyczna, X : Ω → R , to następujące warunki są
równowaŜne:
a) ∀ B ∈ Β(R ) X −1 (B ) ∈ S ,
b) ∀ x ∈ R
c) ∀ x ∈ R
Uwaga 3.
X −1 ((− ∞; x )) ∈ S ,
X −1 ((− ∞; x ]) ∈ S .
Jeśli S = {∅, Ω} , to tylko funkcje stałe są mierzalne.
Jeśli S = P(Ω ) , to wszystkie funkcje są mierzalne.
1, ω ∈ A
Jeśli A ⊂ Ω , to χ A (ω ) = 
funkcja charakterystyczna zbioru A jest
0, ω ∉ A
{
}
mierzalna względem S = ∅, Ω, A, A .
KaŜda funkcja charakterystyczna zbioru mierzalnego jest mierzalna. Zbiór A
jest σ - mierzalny (mierzalny) jeśli A ∈ S , S − σ algebra.
Suma, róŜnica, iloczyn, iloraz (o ile jest wykonalny) funkcji mierzalnych jest
funkcją mierzalną.
Granica ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
ZłoŜenie funkcji mierzalnej f z funkcją g ciągłą w pewnym przedziale, czyli
g o f jest funkcją mierzalną.
Tw. (o indukowaniu przestrzeni probabilistycznej przez zmienną losową)
Niech X : Ω → R zmienna losowa, oraz S X = A ⊂ R : X −1 ( A) ∈ S ,
{
(
}
)
PX : S X ⊃ A → PX ( A) = P X −1 ( A) = P( X ∈ A) ∈ R .
Wtedy uporządkowana trójka (R, S X , PX ) jest przestrzenią probabilistyczną indukowaną
przez zmienną losową X .
Uwaga 4.
Naturalną σ - algebrą S X na R jest rodzina zbiorów borelowskich Β(R ) .
Def.
Odwzorowanie PX : S X → R nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X.
Uwaga 5.
Jeśli A = {a} , to PX ({a}) = P( X = a ) .
Jeśli A = [a; b] , to PX ([a; b]) = P(a ≤ X ≤ b ) .
Jeśli A = (− ∞; x ) , to PX ((− ∞; x )) = P( X < x ) .