Rachunek Prawdopodobieństwa

Rachunek Prawdopodobieństwa
LISTY ZADAŃ
opracowanie M. Bogdan, w oparciu o listy dr. W. Wawrzyniak-Kosz
Literatura podstawowa
1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT,
Warszawa 2004.
Literatura uzupełniająca
1.L.Gajek, M.Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody, WNT, Warszawa 2004.
2.J.Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania, PWN, Warszawa 1976.
3.T.Inglot, T.Ledwina, Z.Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wyd.Politechniki Wrocławskiej 1984
4.H.Jasiulewicz, W.Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001.
5.W.Klonecki, Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1999.
6.W.Kordecki,Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna., Oficyna Wydawnicza
GiS, Wrocław 2002.
7.W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowska, M.Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna w zadaniach, Cz.I i II, PWN, Warszawa 2007.
Lista nr.3
1. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa podany w tabeli:
xi
pi
-3 -2
0.1 0.2
-1
0 1
0.2 0.3 p
2
0.1
Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = X 2 + 2 i oblicz jej wartość oczekiwana̧ i
wariancjȩ .
2. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać:
x
(−∞, −1) [-1, 3) [3, 7) [7, 10)
F (x)
0
0.15
0.25
0.4
Obliczyć EX i Var X.
3 . Zmienna losowa X ma gȩstość
(
f (x) =
[10, 15)
0.85
[15,∞)
1
Acosx dla x ∈ (−π/2, π/2),
0
dla x ∈
/ (−π/2, π/2).
Oblicz
1
a) parametr A,
b) P (π/6 < X < π/4).
c) Narysuj dystrybuantȩ X.
4 . Zmienne losowe X i Y sa̧ niezależne i EX = 2, V arX = 1, EY = 1, V arY = 4. Wyznacz
wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej Z = 3X − 5Y .
5 . Niech P (X = 2n ) = α5−n dla n = 1, 2, . . .. Oblicz α. Oblicz EX i V arX.
6. Układ składa się z n elementów połączonych równolegle. Czas działania każdego z elementów
jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,10] i te zmienne losowe są niezależne. Dla jakiej najmniejszej liczby elementów n, wartość oczekiwana czasu działania układu będzie
większa lub równa 8.
7. (
Czas kontroli wyrobu (w sek.) jest zmienną losową X o funkcji gęstości
1
√
, gdy 1 < x < 4
2 x
f (x) =
0, x ¬ 1, x ­ 4
Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję czasu kontroli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 15 wyrobów, 8 wyrobów będzie miało czas kontroli krótszy niż 94 s?
8. W hali jest zainstalowanych 15 niezależnie pracujących obrabiarek. Każda z nich pracuje
przeciętnie 50 minut na godzinę. Jakie jest prawdopodobieństwo,że w losowym momencie:
a) pracuje 12 obrabiarek,
b) pracuje co najmniej jedna,
c) przynajmniej jedna nie pracuje.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pracujących obrabiarek.Jaka jest wartość oczekiwana
liczby pracujących obrabiarek.
9. Prawdopodobieństwo,że urządzenie zepsuje przed upływem 3 sekund od momentu włączenia
wynosi 0.01, i za każdym razem jest takie samo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) urządzenie zepsuje się przed upływem 3 sekund dopiero przy 5 włączeniu,
b) nie zepsuje się przed 5 włączeniem,
c) zepsuje się przed upływem 3 sekund, co najmniej przy 7 włączeniu.
10. Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i
wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem λ = 10. Ile miejsc do naprawy
należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego samochodu.
11. Prawdopodobieństwo,że opakowanie jest nieszczelne wynosi 0.02:
jakie jest prawdopodobieństwo,że wśród 100 opakowań będzie: a) 5 nieszczelnych,
b) co najwyżej 2 nieszczelne,
c) przybliżyć prawdopodobieństwo z punktu a),b) odpowiednim rozkładem Poissona.
d) Jaka jest wartość oczekiwana liczby nieszczelnych opakowań?
12. Prawdopodobieństwo,że płytka jest wadliwa wynosi 0.04. Jakie jest
prawdopodobieństwo,że w partii 150 takich płytek są:
a) mniej niż 2 wadliwe;
b) połowa wadliwych.
2
c) przybliżyć prawdopodobieństwo z a),b) odp. rozkładem Poissona.
13. Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów należy sprawdzić, aby prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej jednego braku było większe niż 0.9.
14. Liczba awarii wodociągowych w pewnym mieście, w ciągu dnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 8. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba awarii? Jaka jest
wartość oczekiwana liczby awarii?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że;
a) w ciągu 7 dni będzie 5 dni, z liczbą awarii mniejszą niż 6
b) w ciągu 7 dni będą 2 dni z liczbą awarii większą niż 10.
15. W pewnej loterii 1000zł wygrywa się z prawdopodobieństwem 0.01, 500zł z prawdopodobieństwem 0.1, 100zł z prawdopodobieństwem 0.2. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję wygranej.
Przy jakiej cenie losu warto zagrać na loterii?
16. Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym
z α = 10−4 . Jakie jest prawdopodobieństwo,że dioda będzie pracować co najmniej 5000h ? Wiadomo,że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie jest prawdopodobieństwo, że popracuje
jeszcze co najmniej 5000h ?
17. Czas działania elementu jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem
α = 0.1. Obliczyć wartość oczekiwaną czasu działania układu złożonego z 3 takich elementów połączonych równolegle. Zakładamy, że czasy działania elementów są niezależnymi zmiennymi losowymi.
18. Czas wykonywania (w min.) kontroli technicznej jest zmienną losową X,
o rozkładzie X ∼ N (24, 2).
a) Narysować funkcję gęstości zmiennej X, zaznaczyć przedział z reguły 3σ.
b) Obliczyć z wykorzystaniem tablic P (22 < X < 27); P (X > 29).
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że 5 takich kontroli zostanie wykonanych w czasie krótszym niż
100 min?
19. Czas jednej analizy (w s) na zawartość krzemu jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym N (5, 1). Naszkicować funkcję gęstości zmiennej X. Jaki rozkład ma czas 4 takich niezależnych
analiz, narysować jego funkcję gęstości. Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas 4 analiz będzie:
a) między 15s a 24s;
b) dłuższy niż 25s .
20. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji ?
21. Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ). Przy jakim σ
drukarka działa co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem 0.95.
LISTA 4
1. Oszacować prawdopodobieństwo, że w 1000 rzutach monetą liczba orłów będzie między 450
a 550. Wykorzystać:
a) nierówność Czebyszewa;
3
b) centralne twierdzenie graniczne.
2. Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając do najbliższej liczby
całkowitej.Zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale
[-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy
niż 10?
3. Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest prawdopodobieństwo,że
zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin pracy?
4. Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X1 , X2 , . . . , Xn
będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.Założono,że EXk =
d, varXk = 1, k=1.2,. . . ,n. Za oszacowanie odległości d przyjęto
Yn =
n
1X
Xk
n k=1
Ile pomiarów należy wykonać, aby P (|Yn − d| ¬ 0.1) ­ 0.99.
5. Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100 aparatów zepsuje się:
a) nie mniej niż 5 aparatów;
b) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów ?
6. Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 pkt, w przypadku innej liczby
oczek przegrywa 1 pkt. Do czego dąży średnia z wygranych po 120 rzutach? Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 120 rzutach przegra więcej niż 50 pkt?
7. Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi 0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej 50 dobrych było
większe niż 95%.
8. Błędy pomiaru Xk , k = 1, 2, . . . są niezależymi zmiennymi losowymi i mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,1]. Obliczyć
P (−4 <
240
X
Xk < 10).
k=1
Dla jakiego n prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna średniej błędów pomiaru nie przekracza
0.1 jest większe niż 0.94 ? Zastosować centralne tw.graniczne.
9. Czas kontroli (w sek.) jednego wyrobu jest zmienną losową o gęstości ( tzw.rozkład Pareto)
(
f (x) =
0, gdy x ¬ 0
gdy x ­ 0
3
,
(x+1)4
Przerwa po kontroli (w sek.) każdego wyrobu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,2]. Czasy kontroli wyrobów, czasy przerw sa niezależnymi zmiennymi losowymi. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kontrola 144 wyrobów wraz z 144 przerwami będzie trwała krócej niż 246
sek.?
4