dyskretna analiza modeli reologicznych

M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
I STOSOWAN A
1/2, 22 (1584)
1
D YSKRETN A AN ALIZA M OD ELI REOLOG ICZN YCH )
ROMU ALD Ś WITKA
,
BOG D AN H U SIAR
Poznań ,Politechnika Poznań ska
I . Wstę p
Problemy zwią zane z wyznaczaniem naprę ż eń i odkształ ceń w ciał ach lepkosprę ż ystych
komplikują się przede wszystkim z powodu Teologicznych równań stanu, które wystę pują
z reguł y w postaci zwią zków róż niczkowych bą dź cał kowych [l- r- 5]. Trudnoś ci z tym
zwią zane rozwią zuje najogólniej znana analogia sprę ż ysto- lepkosprę ż yst
a ALFREY'a
i LEE [2], Analogia ta dotyczy podobień stw
a pomię dzy transformatami Laplace'a zwią ze
ków opisują cych ciał o lepkósprę ż yste a równaniami teorii sprę ż ystoś . ciTą drogą moż liw
jest rozwią zanie niektórych podstawowych zadań, co unaocznia znana monografia N oWACKIEGO [2], Jednakże moż liwośi ctej analogii są ograniczone trudnoś ciami natury matematycznej, które pojawiają się przy wyznaczaniu transformacji odwrotnej.
Rozwią zania wię kszoś ci problemów praktycznych lepkosprę ż ystośi cnależy wię c szukać
n a drodze metod numerycznych.
PEDACHOWSKI [6] zaproponował pewną metodę „kontinualno- dyskretną " opartą na
znajomoś ci funkcji peł zania. Sumują c przyrosty odkształ ceń Teologicznych otrzymał on
zwią zek mię dzy odkształ ceniem w danej chwili a naprę ż eniami we wszystkich chwilach
poprzednich.
D o rozwią zywania zadań lepkosprę ż ystych w uję ciu metody elementów skoń czonych
powszechnie stosowane są metody iteracyjne. Spoś ród nich moż na wymienić sposób
naprę ż eń począ tkowych i sposób odkształ cenia począ tkowego, obydwa opisane przez
ZIENKIEWICZA [7]. Sposób odkształ cenia począ tkowego był stosowany przez wielu autorów, m.in. przez ZIEN KIEWICZA [8] oraz ARGYRISA [9].
D o rozwią zywania problemów reologii mają też szerokie zastosowanie metody numerycznego cał kowania liniowych i nieliniowych równań ruchu. Metody te, a mają one
również charakter iteracyjny, dzieli się na proste (explicit) i zł oż one (implicit). D o metod
prostych zalicza się n p. metodę Eulera i metodę Rungego- Kutty, do zł oż onych jn.in. metodę stycznych [10] i metodę czasoprzestrzennych elementów skoń czonych KĄ CZKOWl
! Praca został a wykonana w ramach problemu wę złowego 05.12 „Wytrzymałość i optymalizacja
konstrukcji maszynowych i budowlanych" — koordynowanego przez Instytut Podstawowych Problemów
Techniki Polskiej Akademii N auk.
14 M ech. Teoret. i Stos. 1—2/ 84
210 R . Ś WITKA
, B. HUSIAR
i
SK.IEGO [11]. Ta ostatnia metoda stwarza, jak się wydaje, nowe moż liwośi crównież w dziedzinie lepkosprę ż ystoś .ci
Autorzy niniejszego opracowania wybrali inną drogę . Opierają c się n a opisie ciał a
lepkosprę ż ystego za pomocą zwią zku róż niczkowego aproksymują przebieg naprę ż eń
w poszczególnych przedział ach czasu wielomianem. Takie uję cie pozwala n a opis zjawisk
peł zania w ciał ach liniowo lepkosprę ż ystych. W rezultacie otrzymuje się zwią zki rekurencyjne, w których odkształ cenie w danej chwili jest okreś lone przez naprę ż enie w tejże
chwili i przez stan ukł adu w chwili poprzedniej. Przedł oż oną metodę m oż na wię c zakwalifikować do metod prostych. Przedział czasu dzielą cy obie chwile może być, w wielu
przypadkach dowolnie dł ugi, co jest zaletą metody, w pozostał ych — dł ugość przedział u
czasowego należy regulować w oparciu o kryterium dokł adnoś ci. Powyż sza metoda był a
już stosowana w pracach [12, 13].
W niniejszej pracy problem został uogólniony przez dopuszczenie niecią gł oś ci funkcji
a(t) i jej pochodnej a(t) oraz funkcji e(t) i k(t). Zastosowano aproksymację liniową i kwadratową funkcji a(t). Przeprowadzono analizy wyników dla podstawowych modeli reologicznych (Kelvin- Voigt, Zener, Burgers) i analizy bł ę dów obliczeń w zależ nośi cod aproksymacji i dł ugoś ci kroku.
Jakkolwiek ograniczono analizy tylko do modeli reologicznych, t o jednak uzyskane
wyniki pozwalają na dalsze zastosowanie metody w zł oż onych ukł adach lepkosprę ż ystych.
Jako przykł ad moż na podać wstę pnie napię tą siatkę cię gnową . N ad problemem peł zania
siatki cię gnowej są prowadzone obecnie prace.
o w uję ciu dyskretnym
2. Równanie konstytutywne ciał a lepkospreż ysteg
Równanie konstytutywne dla materiał u lepkosprę ż ystego moż na przedstawić w postaci zwią zku róż niczkoweg
o [2]
P(D)a(t) - Q(D)e(t) (2.1)
w którym D = d/ dt jest operatorem róż niczkowania wzglę dem czasu t, P(D) i Q(D) są
liniowymi operatorami róż niczkowymi (wielomianami argumentu D w ogólnoś ci stopnia n, przy czym stopień może być niż szy
, jeś i l czę ść współ czynników wielomianu bę dzie
równa zeru), a jest naprę ż eniem i e — odkształ ceniem.
N a osi czasu wyodrę bniamy chwile tT (T = 0 , 1, 2 , . . . ) dzielą c oś n a przedział y &t =
Przyję to, że przebieg naprę ż enia w czasie jest funkcją niekoniecznie cią gł ą . Miejsca niecią gł oś ci bę dą wę zł ami na osi czasu. Poza tym inne wę zł y rozmieszcza się stosownie do
potrzeb obliczeniowych. Tak wię c w ogólnoś ci w wę ź e l T naprę ż enie może doznawać
przyrostu o
Aax - <y't~ar,
a prę dkość naprę ż enia — skoku o
Ać xr = ax- óx.
AN AU ZA MODELI REOLOGICZNYCH
211
Wprowadzono oznaczenia
Or = [o>(OŁ- <r- 0» T
~ L * L, r 0 > Ci = [0(.t)]l- tx+O,
"• • [ T"
Podział osi czasu i przebieg funkcji a(t) ilustruje rys. 1.
N aprę ż enie o"(ż) w przedziale czasu &r — ?r — fr_x moż na aproksymować za pomocą
wielomianu stopnia m :
(2.2)
Jeś i l /n = 1 (aproksymacja liniowa), to
(2.3)
oto = °V- I J
Jeś i l m — 1 (aproksymacja kwadratowa), to
i
(2.4)
Z wyż szych stopni wielomianu (2.2) w niniejszej pracy nie korzystano. Krzywe aproksymują ce funkcję a(t) przedstawiono na rysunkach 2 (aproksymacja liniowa) i 3 (aproksymacja kwadratowa).
Rozwią zanie równania (2.1), w którym a(t') dane jest wzorem (2.2), bę dziemy poszukiwać w przedziale t' e (0, oo), przyjmują c najpierw, że funkcje o(t') i s(t') są w cał ym
tym przedziale okreś lone i są funkcjami rzę du wykł adniczego, co pozwala n a zastosowanie transformacji cał kowej Laplace'a. Z przedział u (0, co) moż na nastę pnie wyodrę bnić
u*
212 R. Ś WITKA
, B. HUSIAR
przedział (O, # T ). Po wykonaniu transformacji Laplace'a na równaniach (2.1) i (2.2)
otrzymuje się
P(p)a{p)- P0(p„ DM0) = Q(p)e(p)- Q0(p, D)e(0),
1 1 2 m
W równaniach (2.5) <r(p) i e(p) są transformatami Laplace'a funkcji 0(1!') i e(t'), p jest
parametrem cał kowania, a wielomiany P, Q, Po i Qo mają postać:
J
J
PoiP, D) = ]?(aj + aJ+ip+ ... +anp- ) D ~\ (2.6)
;= i
Qo(.P,D)=Y(bJ+bJi.lp+ 1
i
J
... +bttP
i
Operację D ~ a(0) lub D ~ s(0), j = 1,2, ...,« należy rozumieć jako granicę lewostronną funkcji i ich pochodnych w punkcie t' = 0:
Jest to zwią zane z niecią głoś cią funkcji transformowanych w punkcie t = tT . M oż na się
2)
tu powoł ać na rozważ ania zawarte np. w [14] str. 75 - 76
Z równania (2.S) l oblicza się transformatę s(p). D alsze rozważ ania wymagają bliższych ustaleń w odniesieniu do zwią zku konstytutywnego (2.1) i aproksymacji (2.2).
Przyję to model Teologiczny co najwyż je pię cioparametrowy, to znaczy model opisany
równaniem
aatf+diCt+aza ~ boe+bi'e+bz'e, (2.7)
w którym niektóre współ czynniki at i 6f mogą być równe zeru, oraz aproksymację co najwyż je kwadratową (m — 2). W równaniu (2.7) wystę puje 6 współ czynników, z których
jednakże tylko 5 jest niezależ nych.
Rozwią zanie zadania bę dzie tak uję te, że wyniki bę dą sł uszne również dla modeli niż szych
rzę dów.
2
> D obrym przykł adem istoty problemu jest funkcja H eaviside'a H(t). Transformata Laplace'a
pochodnej funkcji H eaviside'a jest równa
Taki sam wynik uzyskamy na podstawie twierdzenia o róż niczkowaniu oryginał u
Se[H\ t)\
jeś i l przyjmie się H(0) = H(0~) = 0.
213
AN ALI Z A MODELI REOLOG ICZN YCH
Uwzglę dniając w (2.5) powyż sze uwagi oraz warunki począ tkowe a(0) = cr r _t, ó(0)
= ór- i, e(0) = e r _ , , e(0) = £ *_ !, otrzymuje się
+ c 3 ( p ) (2a x a 2
(2.8)
We wzorze (2.8):
GOO'
(2.9)
1 Ę <i 'TT I
^. II „ 5J- a,- v - .[- « «r # - T« u
v - a - s ^ § K v i i i * - 14 - a «« v * ^ - U f '
*T> - Tj - TJ - - S « i , , ^ «" f f f O . 1 O i^ł t •a i * 5 ' h rt 3
a S- *- £ ł n 1 - 8°
i
«. i
'
- &•
M
S S o s
I O tf r
/ /
f
« i •& 41
»« -
« i | r ~ ^f t v
i ^ v v - f« f - ui« ||
l
i
^
- | 1 j. . « 1 1 1 3
? > - '» 1
»• M +
- V*
7 ^ "T
- g = ^ TH ©
II
^ II o T 3 • "< O * g> - (S I I « P ł O- O % o" '. • II »Q II * o II o II o II o I I " ^ M J "^ S l *^ " U « P i „ t S ** O O O- O II o" II o" o - .M »Q 11* ( l li >Q i! n
N O<S II o" O II >Q 11 K
* o ^ 1 1
< S «
O- O K- o" O II >Q II [21 4]
o | M O- Q H. o" ° Ml < l ( K % £ i i >)(. 1* H
- O |>O
- ł), ||
M M
O
£ AN ALI Z A MODELI REOLOG ICZN YCH 215
Po wykonaniu transformacji odwrotnej otrzymuje się
r
+ [a1cs(t')+a2c6(t )K<x0- ar- 1)+a2c5(t')(al- at„l). (2.10)
Podstawiają c t' — # r i uwzglę dniają c, że e(&T ) = etf dostajemy
+ c3 , T (2at a 2 + a 0 a i ) + c 4p T • 2a0 a2 +
• +(aiC5.i:+a2c6tr)(ciQ- 0T _ 1) + a2cs,A<Zi - ^ - i ) - (2.11)
D la prostoty zapisu oznaczono:
Ą , t - c , ( # T ) , / = 0, 1, . , . , 6.
Zestawienie współ czynników c,- .T dla róż nych postaci wielomianu 2(D ) zawiera tablica 1,
Wykorzystanie tej tablicy i dobór współ czynników a0, al i a2 we wzorze (2.11) pozwala
wykorzystać ten zwią zek dla każ dego modelu co najwyż je pię cioparametrowego.
Zwią zek rekurencyjny (2.11) pozwala obliczyć e w chwili tt jeś i l jest w tejże chwili
okreś lone a oraz jeś i l dany jest stan ukł adu w chwili poprzedniej ? r _ t . W równaniu (2.11)
wystę puje również prę dkość odkształ cenia e i niezbę dny jest wzór dla jej obliczenia. Prę dkość odkształ cenia otrzymamy obliczają c pochodną s(ł ') ze wzoru (2.10) i podstawiają c
t' = # T . W wyniku otrzymuje się
+ ć 3 iT (2
a J L - ó' I _ 1 ), (2.12)
Współ czynniki ć i i T zestawiono w tablicy 2. Wzory (2.11) i (2.12) są sł uszne zarówno
dla aproksymacji kwadratowej, jak i liniowej. W tablicach 1 i 2 został y zestawione współczynniki cj, T i ć i i T dla wszystkich moż liwych teoretycznie kombinacji współ czynników
bo> bj. i b2. N iekoniecznie musi to oznaczać, że wszystkie podane kombinacje są fizycznie
moż liwe. N p . pod pozycją 1 przypadek b0 ^ 0, bx = 0, b2 - 0 oznaczał by w ogólnoś ci,
że odkształ cenie jest kombinacją liniową a, a, a, co raczej wydaje się być przypadkiem
fizycznie niemoż liwym. Jeś i l jednakże przyją ć, że a0 j= 0 i a± = a2 — 0, to przypadek 1
doprowadzi nas do ciał a H ooke'a. Podobnie pojawianie się dystrybucji <5(# r) i jej pochodnych przy niektórych współ czynnikach c 6 > 1 trudne jest do fizycznego zinterpretowania.
N ależy jednak zwrócić uwagę , że współ czynnik c6, x wystę puje w iloczynie ze współ czynnikiem a2. M oż na by wię c postawić pytanie, czy istnieją takie modele Teologiczne, dla
których wystę puje w równaniu stanu przyspieszenie naprę ż enia i jednocześ nie współ czynniki b0, bL i b2 odpowiadają przypadkom poz. 2 i poz. 6 omawianych tablic? N a to pytanie brak jest w tej pracy odpowiedzi, choć autorzy są dzą , że odpowiedź był aby negatywna. D o takiego są du skł ania analiza wszystkich znanych autorom modeli reologicznych.
W dalszych rozważ aniach przyjmuje się wię c, że jeś i zachodzi przypadek 2 lub 6, to a
l
2 = 0.
­u ^ ^ ­; Ij? :­ ­u­ f­ "rf. T 1 ­. o i ! 1 °
rl ,. *w 9
1 « i i 4 " l * > . ' 7 ­f ­ ' *> « ,
= t
i
­5"
1 r
„­ x
? . x i * ?•
I ° 3 * 1: i ^
8 a * I' 1 * " i
C g J 8. a
& X
.5" o o o o *: . i 4­T J­ i
­g ­8 f f § o H
| ­
f ^ | 1 * \ i i
^ ­i ­i
^ ^ P; a " o t o II o «• II J ? II uJ. % O < I O ­ Q O ­ O % o" II o" 11 o" j ? II j ? U. 4 " H ­ H ­ o II o ^ * o < s II o" ­s * j ? % cT­<a H> o" 4 II P16J
*
°
7 * U o cT •«?
~H~ o" ­^ ­ o * ^ V T1
<=l Q
^ ^ ^
j?
AN ALI Z A MOD ELI REOLOG ICZN YCH 217
W przypadku aproksymacji liniowej podstawia się a 0 i oct zgodnie ze wzorami (2.3)
oraz uwzglę dnia się , że a 2 = 0. P o przekształ ceniach otrzymuje się nastę pują cy zwią zek
rekurencyjny dla odkształ cenia
- 7:—{aT _ t- a'x„2). (2.13)
We wzorze (2.13):
T * = - §~ ( fl o c 3 ,r + at c2 >T + « 2 c 5 , r ) ,
/ If f , . = ar^— O T .
We wzorze (2.13) wystę puje ponadto prę dkość odkształ cenia, którą oblicza się wzorem
, t~—
1
W przypadku aproksymacji kwadratowej otrzymuje się :
e r = C o . T fir - i+ c 1 . T e r _ 1 + y T ( T r + (flroc
(2.16)
2
yt = - ^2 (a0cĄ , r+asc3iX+a2c2tX),
et = ć 0 , r e t _ a + ć 1 , T g t _ 1
2
Yt = ^ 2 ( «o i- ' 4. T + a ić 3 > r + a 2 ć 2 > r ) , (2.17)
2
2
Wzory (2.13) i (2.16) pozwalają obliczyć e r , to znaczy granicę lewostronną funkcji
s(t) w punkcie t = tr. Jeś i l funkcja jest w tym punkcie niecią gł a, to zachodzi potrzeba
obliczenia również granicy prawostronnej e'x. G ranicę tę obliczymy za pomocą wzoru
(2.10), bowiem e(0) - d M oż na wykazać, że wył ą czywszy przypadek 1 w tablicy 1 jako mogą cy prowadzić tylko
do ciał a H ooke'a, dla wszystkich pozostał ych przypadków otrzymuje się c o (0) = 1,
218 R . Ś wiTKA
, B. H U SIAR
Ci(O) = c 2 (0) = c 3(0) - c 4(0) = O oraz c 5 (0) = y - , jeś i ^ l
«p* 0 i Z>2 « 0 oraz c s (0) = 0
jeś i l b2 ^ 0. W koń u
c c 6 (0) = T - jeś i fc
l 2 ^ 0, a w przypadkach 2 i 6 uzasadnione zo«2
stał o już, że a2 = 0. Otrzymuje się wię c w postaci ogólnej
lub, z uwzglę dnieniem powyż szych wywodów
g
; = ez+j- Aar, (2.18)
jeś i b
l x T^ 0 i b2 = 0, oraz
' B J - ^ + ^ - J O , , (2.19)
jeś i l &2 T^ 0.
Wzory (2.18- 2.19) są sł uszne dla aproksymacji liniowej i kwadratowej. Z e wzorów
tych wynika też, że funkcja e(t) jest cią gł a (mimo niecią gł oś ci funkcji a(t)), jeś i l a1 — 0
w przypadkach 2 i 6, lub a 2 = 0 w przypadkach pozostał ych. Jest tak n p. w modelu Kelvina- Voigta (przyp. 6), w którym ax = 0. D la modelu M axwella (przyp. 2) jest aL = ~
Et
i skok funkcji a(t) powodxije niecią gł ość s(t).
W podobny sposób moż na okreś lić granice prawostronne funkcji e(t) jeś i l jest niecią gł a. Otrzymuje się :
& = e, T + - U° "7 M l • • Aor+ ~ - Aar, (2.20)
jeś i b
l x # 0 i b2 — 0, oraz
4 I - M - ^ T 2 I ^ + T Ł ^ T , o 2 62
(2.21)
jeś i l Z>2 7^ 0.
3. D yskretna analiza modeli Teologicznych
3.1. Model Kelvina- Voigta. Wł asnoś ci fizyczne ciał a Kelvina- Voigta opisuje zwią zek różniczkowy
a(t) = E&(t)+i)'s(t) (3.1)
w którym wystę pują dwa param etry: E i rj.
M odel Kelvina- Voigta jest wię c przypadkiem szczególnym modelu opisanego równaniem (2.7), w którym należy przyją ć: a 0 = 1> «i = a2 = 0, 6 0 = E, &! == i?, 6 2 = 0.
W uję ciu dyskretnym równanie stanu ciał a Kelvina- Voigta m a postać
',- u 13.2)
ANALIZA MODELI REOLOGICZNYCH 219
w przypadku aproksymacji liniowej, oraz
w przypadku aproksymacji kwadratowej. We wzorach (3.2) i (3.3)
— e "t
2
e
- »
3.1.1. Wyznaczmy krzywą peł zania przyjmują c w tym celu
tf(0 - o°H(t), (3.5)
H(t) — funkcja H eaviside'a.
Rozwią zanie ś cisłe jest ogólnie znane
fi
(O = ~ O - e - f > - (3.6)
Ponieważ dla t > 0 jest a(t) = 0, wię c ó C i = 0 oraz cv_j = aT = <T°, wobec czego
A- e - S fc - i + ^Cl- e- f?), (3.7)
zarówno dla aproksymacji b'niowej, jak też kwadratowej. Wyniki uzyskane za pomocą
wzoru (3.7) pokrywają się dokł adnie z wynikami ś cisłymi wg (3.6) i to niezależ nie od
doboru dł ugoś ci kroku # T w (3.7).
3.1.2. Przebieg naprę ż eń w przedziale t e 10, — I dany jest funkcją
a(t) = o°ń ncot.
(3.8)
Rozwią zanie ś cisłe ma postać [1]:
1 +
U 7 (3- 9)
<P = a r c t g— .
a
D o dalszych obliczeń przyję to dane wedł ug monografii [15] s. 170 zawierają ce wy5
niki badań J. Kmity nad parametrami lepkosprę ż ystymi lin stalowych: E = 2 • 10 MPa,
2
4
5
= 4 249 000 kG dni/ cm = 42,49- 10 MPa dni = 102- 10 MPah. Przyję to, że woln
nozmienne obcią ż enie przebiega w przedziale (0; 14 dni) wg pół fali sinusoidy; m =
1
0
3
= T 7 - AT - ^ ^ T T - Ł " . w = 6- 10- MPa.
14 dzień 24- 14
Obliczenia wykonano
1° wedł ug wzoru ś cisł ego (3.9);
2° wedł ug zwią zku rekurencyjnego (3.2) (aproksymacja liniowa) ze stał ym krokiem rówrównym kolejno: • & = 24h, • & - 2 • 24/;, # = 4 • 24h;
"
H •3 8 I ° a ? • 1 { | 4 ° i s " S . , E M > i l l I"*-
O
p
5
2
00 O
s. ą s
=, 8 ?
3
»
- < m * t as ^t O\ oo m u i "n «s O\ < S f n *- * * - l t " - *£> \ O VO ©< t » • * »- i »n
oo
W"ł
\ O
8 " O • "
* m" - T vo v
t> - T " n c f e >- t N N W <S J"
»H
H
f lj • n 11 ^ "^ł* 00 O O O O O ^5 O O O C C?
O N O O O M ^ O ' - O ' — t 1 ^ t ^ *S vo es <5 »o
O rt ^ M W 00 ^ l ^ ł f l l ^ ^ ^ H ^ r t
O
'3 X C V II " O tfc _ " ) 1 1
• B »• N '0 * g ' 5 1 — t w e d f s t . 2 . ^^ y u 3 0 8 S 00 »S" r H • * S K S
S
3
O "O
1O CT\
M "
h
o
o
o
o
o
m m f*~i —1 r-v 1 Ch m « S f O T t - Q l
- - ' r t
o o o f ^ ' ^ i ^ o o v
1 0 • * >n r j ^ CJ, • r - • *
" t ń <- T «? «3 0
o
o
v£j
"*
" —*
|
M
|ł 0 r- i t " 00 t»{ h «- i ^ vo" r*" \o " ł <H \ D H •
1
.,. m ^^ " * * o o o o o o o o o o m < ? o
^a, , , , n«o no 0 5 i»iOf Cł * Hi»»
• * 13 > - . nrtNM PIM NNrt- i
„ C L X r j ^^sS 1
V, ' 3 H m A m 00 >o t n r o o o l n c s f l O ^ * Q ^t * n 00 o\ a\ tn *- *
C h v ^Q Q t n w ^
^ O 5 T O <O
0 - ^r ^m T f «\ o r - o o ^O ' - H M m ' *
»5 ^ t «- ^ »- ł TH ł - l
[230]
AN ALI Z A MODJGLI R E OU XJI C Z N YC H
221
ff!tl
0 .1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 U 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *„
Łltl
Rys. 4
alt)
20*
o"
0 T 2T 3T a 5T 6T 7T
. »h, 2 4 h.
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
Sxif f 6 -
Rys. 5
3° wedł ug zwią zku rekurencyjnego (3.3) (aproksymacja kwadratowa) ze stał ym krokiem
równym kolejno & = 24h, # = 2 • 24h, 0 = 4 • 2Ak, & = 7 • 2Ah.
Wyniki zestawiono w tablicy 3 oraz na rysunku 4. Widoczny jest wpływ dł ugoś ci
kroku na dokł adność obliczeń oraz przewaga aproksymacji kwadratowej nad liniową .
N iemniej moż na stwierdzić, że aproksymacja liniowa daje dostatecznie dokł adne dla
celów praktycznych wyniki nawet przy znacznej dł ugoś ci kroku.
3.13. Przebieg naprę ż eń jest funkcją niecią gł ą przedstawioną na rysunku 5:
7"
cr(t) =
0 < t < T,
2<r°,
t < 2T,
2T < t < 37,
2<r°
3T< t < AT,
0.
t >
AT.
(3.10)
222 R. Ś WITKA
, B. HUSIAR
Otrzymuje się nastę pują ce rozwią zanie ś cisł e:
te [1,21). s(t) - - = - li e
^r-
* e [42\ oo): s( 0 = - ^ ™ (1 - e
aT
- a7'e
2ar
- 2e
3ar
+ 2e
4ar
)e^'.
W uję ciu dyskretnym przyjmujemy # r = T uwzglę dniają c się , że
o'0 = 0 , ffj = ffi = cr°, <TĄ = a*. = O, cr2 = cr°, o'2 - 2o °, 0- 3 = 03 = 2o- °,
o 5 = aś = O, . . . , o raz
D la aproksymacji liniowej otrzymuje się zwią zek rekurencyjny w postaci
"» w I
~ 1 ' E \ « r / " E
ską d, przy warunku począ tkowym e 0 = 0, oblicza się kolejno:
a T
61
1
"Tl "
'
l- ea T / '
ar E2
~ BV i
OLT
.0 / „ar i
1
., 2- e— _^-
- 3°e T
—
Stosują c aproksymację kwadratową otrzymuje się zwią zek rekurencyjny
223
AN AU Z A MODELI RKOLOG IC/ .N YCH
Wyniki otrzymane za pomocą wzoru (3.13) są identyczne z otrzymanymi ze wzoru (3.12)
oraz, jak ł atwo sprawdzić, z wynikami rozwią zania ś cisł ego (3.11).
3.1.4. Przebieg naprę ż eń dany jest funkcją
(3.14)
ff°,
T.
W tablicy 4 zestawiono wartoś ci funkcji s(t). Aproksymacja kwadratowa daje wyniki
pokrywają ce się ze ś cisł ymi, ponieważ dokł adnie opisuje przebieg naprę ż eń w cał ym zakresie zmiennoś ci t. Wykresy a(t) i s(t) pokazane są na rysunku 6.
o(t)
0 T 2 T 3 T 0 T 2T 3T CT 5T
4T 5T tr
10"8
6 { t)
Rys. 6
Tablica 4
f
Igodz.]
0
6
12
18'
24
48
72
96
120
144
o(t) x 10
e(r)xlO
3
[M Pa]
wartość
dokł adna
0
2,625
4,500
5,625
6,000
6,000
6,000
6,000
6,000
6,000
0
0,77750
2,71353
5,26316
7,94196
16,22330
21,39553
24,62593
26,64352
27,90364
9
aproksymacja
liniowa
0
0,74282
2.64802
5,17024
7,82468
16,15007
21,34982
24,59740
26,62573
27,89255
% bł ę du
4,46
2,41
1,76
1,48
0,45
0,21
0,12
0,07
0,04
3.2. Model Zenera (rys. 7)
Równanie stanu ma postać
E,
(3.15)
12
224 R- Ś WI TKA
, B. H U SI AR
Przyjmują c stał y krok $T = T, otrzymuje się dla aproksymacji liniowej
+
(3.16)
~E S \ E t + E 2
oraz dla aproksymacji kwadratowej
E,
+ •
(3.17)
+ E 2 ~uT
E, r 2
a =
D la granicy prawostronnej otrzymuje się wzór
°' -
c
zlcrr
n
' E1+ E2-
(3.18)
Niech przebieg naprę ż eń przedstawia wykres na rysunku 8. To znaczy
0 < t < T,
(3.19)
T <t <2T,
0, 2T < t < oo-
Oil)
s.
s,
n'
t
1
zr
3T
2T 3T
eiu
10-
96h Rys. 8
, | , 96h |
AN ALI Z A MODELI REOLOG ICZN YCH
225
Rozwią zani
e ś cisłe ma postać:
/ 6(0, T):
te(T ,2T ):
l+ e-
(3.20)
te(2T , oo):
W uję ciu dyskretnym przyjmujemy stał y krok # T = T i uwzglę dniamy w obliczeniach,
0
0
że a'o = o°, Aa0 = o- , ax = <r°, crj = 2a°, Aat = ff°, a 2 = a°, a'2 - 0, /J<x2 = - o- ,
a 3 = a'3 = ... = 0; bo = ^ = 0, er i = tf2 = - y , ^ = ^3 = ^ 3 = ... = 0.
Aproksymacja liniowa (3.16) i kwadratowa (3.17) daje identyczne nastę pująe c wyniki:
E2
E i+ E j
(3.21)
G ranice prawostronne funkcji e(t) są równe:
e'o = p e2 = , „ , ei = £1 +
E , + E 2'
(3.22)
e2-
Ł atwo moż na sprawdzić, że za pomocą wzorów ś cisł ych (3.20) otrzyma się identyczne
wartoś ci odkształ ceń w chwilach tx = T*a 2T*, 3T", .... W celu sporzą dzenia wykresu
e(/ ) zagę szczono wę zły n a osi czasu przyjmując # T = - ~T. Wyniki obliczeń dla T = 96 h,
3
3
5
0
a = 5 M Pa, Ei = 9,5 • 10 M Pa, E 2 = 22,5 • 10 M Pa, r/ 2 = 49,92 • 10 MPah ilut z monografii I. KISIELA. [15]
struje wykres na rysunku 8. Powyż sze dane został y wzię e wedł ug badań A. Mitzla i A. D ziendziela dotyczą cych betonu.
Rys. 9
15 Mech. Teoret. i Stos. 1—2/ 84
R . Ś WITKA, B. H usiAR
226
3.3. Model Burgersa (rys. 9)
W czteroparametrowym modelu Burgersa jest a0 = 1,
Przyjmując stał y krok # T = T otrzymuje się dla aproksymacji liniowej
\ - e~ XT .
E 2 tyi 1 EiE 2 \ Vl E j / l i \ i- e- » 1 VI B~ I'M 1 I A 1 . -
1 XT
XT
J__l
T
1
l - e-
E J ~E~
J !r
(3.24)
T
Dla aproksymacji kwadratowej otrzymuje się
£
T = S T -
7X E lE 2 E 2 'l~ XT
—
2
" T - 1 +
2 T
6»!
E
A 16i?
2
1 / 1 / E 1 + Ę 2 2
\ EjEa T+ E2AT,
1 \ l - e - * r l . | ' | 2 c
1 l - e - * T , .
E 1 + E 2 2 (3.25)
l-
r—1 ~
2 [E
E 2 2
E 1 + E 2 ( ( AJ
l- e-
} } 11 r
Ar
JJ "
\ ,
(3.26)
AN ALI Z A MOD ELI REOLOGrczNYCH 227
3.3.1. Dla obcią ż eni
a
or(0 - a°H(t) (3.27)
otrzymuje się
e(t) = - £[f + (a, - j ] (1 - z- M)+a2h- A. (3.28)
Jest to wynik ś cisł y. Identyczne wyniki otrzymuje się za pomocą wzorów rekurencyjnych, co wynika stą d, że każ da aproksymacja opisuje dokł adnie funkcję typu (3.27).
Krok # T może być dowolnie dł ugi.
W aproksymacji liniowej w pierwszym kroku należy przyją :ć e 0 = 0, ś0 = 0, a0 = 0,
0
a'o = ff°, Aa0 = o , tft = a°, czyli dla r = 1 (0, = T);
Granice prawostronne odkształ cenia i prę dkośi codkształ cenia dla t = 0 obliczamy wzorem (2.19)
i wzorem (2.21)
Identyczne wyniki otrzymamy z (3.28)
Dla T = 2, 3, ... otrzymuje się
Ar
a°T
l - e - . —j—A^ . , + —
Dla aproksymacji kwadratowej należy dodatkowo przyjąć Aax = 0 dla wszystkich r.
3.3.2. Przyję o t program obcią ż eni
a
a(t) = ahincot. (3.29)
Bezpoś rednie rozwią zanie równania róż niczkoweg
o metodą transfonnacji Laplace'a
daje wynik
, \ o° r i • / 1 \ / A A . i
eu) = - r- 1—- r- +Ae~ — —.r +/4 coscof+ a2H A] sinaiM,
b2 \_toX \ o>l I \ (o I J 15*
3Q
^
(S O\ >n <r> "*f M o <s os" os "i
' 7
• C f s - II o =6 j? > © —. „ 2 • a | u " * •S H o vo oo R, o * i. oT - t^*1 o" ocT "• r i i- H1 1 O " ) " Ó ' W T ' | ^' O C 0 0 « > ( N ' >£>rt * * „ .- i
ui
* i *"«
O * o
|
i*^1 t ^ 1 r* 1 1 o"
'
f- " OO ^ " Ifl rt VO O"
' 1 1 1 1 1 1 1 ' '
S S 2 3 rt x £ r- . r- » - , o" o. * <
II OS
OS
m
\o
S
C5 11 o * » N
o" 4
i i
to
« H li d " CT* °o O I o ^ * S. _ g ° D< II f ^ i m O N
» o \
o " (- ^ It — i
>
oo" o o
? 5
w y s
\ —
^* o
M i O
o " t m
K
(- • " ^ £ i o o T -
H O \ ł -
i T t o o o \ ' — i h -
-
i
T i M *
S > n \ o
t~^ rn1 cT
7 7 7 7 i
O ^ n i o ^ i o v i T t ^
o v{ o" >n h- " cT « \o* N " \O t - rj- " O • "* K oo h- " <o ^ ^o o
* •
oo 7 < es, w
O
1 i
- o C^- ' 1 1 1 ! 1 1 1 ' '
O SO O T W ' O ' t O ' n ^ N O O O O ^ V O a ^ ' t ^ Q O O ^
f ri ^ ri 22 ' O 0 0 i - t O \ ł - H r t - O © < j \ T - ł t ^© T l - f O »n 0 \ > ^ł n i < t - ^0
© »n ©" *n o- oC oo" ^o" n" ^o ^ r f © - ^t" t*- ' oo" t ^ <n *- < ^o o
•« * , • ~^,? ^• Oi ^ E £ , ' O —i O • * • r f O ^ - iO T - t t ^T —t m f n • —
i t—• »
—
^ T t v o - i t > o < o - * ^ o - * ' n r - l ' n O O n M 1 o o m o o r ^ o t ^ o o v n o o o H cn ' t in y ) in ^f rn - H o | | | | | | | ' '
O r t O T j - H t ^ r 4 m r t « Tf vp > O < S w - l O o o t n o o ^o t
f- i m i t in" ^ - >t O —i O
C * I ^* ^^H
vo - ^i- vo - ^O m N " 1
^o o w - i o o Q
>n TJ- m H
1 1 1 1 1 1 1 1 1
f ^ ( S T t V O O O O M T j - V O O D O f ^' ^' O O O O f S ^V O O O O
[228]
AN AL I Z A MOD ELI REOLOG IC Z N YC H
229
Obliczenia numeryczne wykonano przyjmują c dla polistyrenu KA w temperaturze
293 K (~ 20°C ) za [16] nastę pują ce dan e:
E i = 3,32 • 103 M P a, E 2 = 4,30 • 10* M Pa,
8
rj2 = 9,62 • 107 M P a • s.
tji - 6,45 • 10 M P a • s, Przyję to róż ne dł ugoś ci kroku w celu zbadania, jaki to ma wpł yw na dokł adność obliczeń
1
(0 = 0,2/r, 0 = 0,4A, • & = \ h, & = 1,2A), Przyję to n adto a = 6 M P a i co = —h' .
W pierwszym kroku należy przyją ć nastę pują ce wartoś ci począ tkowe: e 0 = 0, e 0 = 0,
0
tfo = <f'- i — o'o = 0, Aa0 = 0, ć ó> = coa°, Aa0 = ma . G ranicę prawostronną prę dkoś ci
odkształ cenia dla t = 0 oblicza się wzorem:
P- 0 =
coa°
Wyniki zestawiono w tablicy 5. Widoczne jest, że aproksymacja kwadratowa daje
przy tej samej dł ugoś ci kroku znacznie dokł adniejsze wyniki.
4. Uwagi koń cow
e
Przedstawiona m etoda pozwala opisać zjawisko peł zania materiał ów, przy czym w niniejszej pracy ograniczono się do jednoosiowego stanu naprę ż enia. M etoda jest dobrze
przystosowana do skoń czonej liczby niecią gł oś ci funkcji a(t) i jej pochodnej a(t). Punkty
niecią gł oś ci muszą być wę zł ami na osi czasu.
M etoda jest obcią ż ona tylko bł ę dem aproksymacji przebiegu naprę ż eń. Oznacza to,
l
a{i) jest odcinkami liniowa lub paraboliczna i jeś i l wę zł y umieś ci się przyie jeś i funkcja aproksymacja liniowo
- aproksymacja kwadratowa
Rys. 10
230
R. Ś WITKA
, B . HUSIAR
aproksymacja
liniowa
——— aproksymacja
kwadratowa
Rys. 11
najmniej we wszystkich punktach niecią gł oś ci funkcji a(t) i jej pochodnej cr(t), to otrzymamy we wszystkich wę zł ach wyniki ś cisłe niezależ nie od dł ugoś ci kroku.
Przebieg naprę ż eń w ogólnoś ci może być bardziej zł oż ony. W takim przypadku otrzymuje się wyniki obarczone bł ę dem zależ nym od dł ugoś ci kroku. Problem ten został przeanalizowany dla przebiegu sinusoidalnego w przypadku modelu Kelvina- Voigta opisanym w pkt. 3.1.2 i w tablicy 3 (rys. 10) oraz w przypadku modelu Burgersa opisanym
w pkt. 3.3.2 i w tablicy 5 (rys. 11).
N a wykresach przedstawiono bł ą d bezwzglę dny Ae (róż nica mię dzy rozwią zaniem ś cisł ym a rozwią zaniem wg opisanej metody) jako funkcję czasu (lub ś ciś lej
: wskaź nika kolejnych chwil r) oraz w zależ nośi cod rodzaju aproksymacji i dł ugoś ci kroku. Z wykresów
tych wynika oczywista zresztą przewaga aproksymacji kwadratowej n ad liniową i wyraź na
stabilność metody. Jest charakterystyczne, że przebieg bł ę du aproksymacji liniowej jest
w przybliż eniu proporcjonalny do przebiegu funkcji aproksymowanej, natomiast przy
aproksymacji kwadratowej bł ą d oscyluje zmieniają c znak krok za krokiem. „ Am plituda"
AN ALI Z A MOD ELI REOLOG IC Z N YC H
231
aproksymacja kwadratowa
tej „krzywej oscylują cej" jest, praktycznie rzecz biorą c, stał a w cał ym badanym przedziale
czasu. O stabilnoś ci metody ś wiadczy też przebieg bł ę du zanotowany w tablicy 4.
N a rysunku 12 przedstawiono ś redni bł ą d kwadratowy jako funkcję dł ugoś ci kroku.
D la modelu Kelvina- Voigta i danych dotyczą cych lin stalowych ś redni bł ą d kwadratowy
obliczono w przedziale czasu (0, 14 dni). Krok • & — 7 dni odpowiada ć wiartce sinusoidy
przebiegu n aprę ż en— T\
i
. Widoczne jest na rysunku 12a, że jeś i l dł ugość kroku zbliża
się do - - T , to bł ą d metody szybko roś nie nawet przy zastosowaniu aproksymacji kwadratowej.
Wykresy n a rys. 12b dotyczą modelu Burgersa i danych przyję tych dla polistyrenu KA.
Ś redni bł ą d kwadratowy obliczono w przedziale czasu (0, 4h ). N ależy zwrócić uwagę n a
T
zjawisko zbliż ania się obu krzywych bł ę du do siebie dla • & > - j- , co się tł umaczy tym,
że przy tak dł ugim w stosunku do okresu funkcji kroku, aproksymowanie sinusoidy odcinkami parabol staje się równie mał o przydatne, jak aproksymowanie jej odcinkami
prostych.
Stą d należy wnosić postulat takiego doboru dł ugoś ci kroku ż eby w przedziale (f, _i, U)
funkcja aproksymowana i jej pochodna był y monotoniczne.
232 R . Ś WITKA
, B. HUSIAR
Dł ugość kroku moż na wię c na ogół przyjmować znaczną , co ma istotne znaczenie
przy badaniu dł ugotrwał ych procesów peł zania i stanowi zaletę opisanej metody.
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. D ERSKI, S. ZIEMBA, Analiza modeli reobgicznych, PWN , Warszawa 1968.
2. W. N OWACKI, Teoria peł zania, Arkady, Warszawa, 1963.
3. I. KISIEL, Reologiczne równania stanu oś rodków quasiliniowych, Wyd. PAN Oddz. we Wrocł awiu, 1980.
4. F. J. LOCKETT, Nonlinear Viscoelastic Solids, Akademie Press, London, N ew York, 1972.
5. Y. C. F U N G , Podstawy mechaniki ciał a stał ego, PWN , Warszawa 1969.
6. H . H . IlEflAXOBCKHttj RucKpemHO- KOHtnuHyajibHuu Memod « Auuemou meopuu ynpyzo—no/ ią yneeo
mejia, ITpHMeHeHHe 3JieKTpoHHbix BLiqacJiH TentH bix AianiHH B crpoHTeJisHOH MexaHHKe, H ayi< o5a
flyMKa, KneB, 1968.
7. O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa, 1972.
8. O. C. ZIEN KIEWICZ, M . WATSON, I. P. K I N G , A numerical method of visco- elastic stress analysis, I n t.
J. of Mech. Sci., 1968.
9. J. H . ARGVRIS, H . BALMER, J. S. DOLTSINIS, Nieliniowoś ć materiał u w analizie metodą elementów skoń czonych, Metody obliczeniowe w mechanice nieliniowej, Ossolineum, 1977.
10. Zastosowanie metody elementów skoń czonych w geotechnice, praca zbiorowa, Ossolineum, 1980, s.
130- 135.
11. Z. KĄ CZKOWSKI, Metoda czasoprzestrzennych elementów skoń czonych, Arch. ln ż. Lą d., 22, 3, 1976.
12. B. HUSIAR, R. Ś WITKA, Quaslstatyczne peł zanie cię gna lepkosprę ż ystego w uję ciu dyskretnym, Arch,
lnż. Lą d., 25, 1, 1979.
13. B. HusrAR, R. Ś WITKA, Statyka lepkosprę ż ystej siatki cię gnowej ze wstę pnym napię ciem, 7ASZ. N auk.
PP, Budownictwo Lą dowe nr 24, 1979.
14. G. DOETSCH, Praktyka przekształ cenia Laplace'a , PWN , Warszawa, 1964.
15. I . KISIEL, Reologia w budownictwie, Arkady, Warszawa, 1967.
16. J. ZAWADZKI, Problemy wytę ż enia i znuż enia polimerów jako tworzyw konstrukcyjnych, PWN , Warszawa, 1978.
P e 3io M e
flH CKPETH Llfł AHAJIH3 PEOJIOri- mECKHX
B pa6oTe npeflcraBjraercH Merofl flH CKpeTH 3aipni ypaBHeHHH COCTOHHHH JIH H CH H O- BH 3KoynpyrH X
Ten . MeTOfl COCTOHTCH B pasflen em n i OCH BpeMeiiH Ha HHTepBaJiM, u K O io p u x HanpjDKeHHe anpoKCKMHpyeTCH n in ieiin oń H JIH KBaflpaTHMHoii 4>yHi«mieft. KoHCTwryTHBHoe ypaBH em ie BH 3i< oyn pyroro i e n a
npinmTO B BHfle flH (J)c])epeH qH ajiBH oił 3aBHCHiwocTH 3 B KOTopyio BxoflHT n e 6ojn>ine BTopoń np0H 3B0flm.ie
n o BpeiweHH. florrj'CKaeTCH KOHe^Hoe tjncjio pa3pwBH0CTeH (JiyHKqHH a(t), a TaiOKe npoHSBOAHoft b(t).
ypaBIKH H e COCTOHHHH flJIH flaHHOH annpOKCHMaUHH B npOH3B0J!BH0M H H TepBa^e MO>KHO pelHHTb TO^IHO.
B pe3j'Ji6TaTe n on yn aeM pei<ypeHTHyio (J)opMyjryj B KOTopoft fled)opiwai;H H B flaH H OM M OMeme B b i p a wa c r o i
i e p e 3 H anp»i<eH H e B TOM caiwoM MoiweHTe H ve p e 3 cocTom nie cn creM bi B npeflinecTByiomeM M OM C H TC
<t>opMyjia oSpeMeHeHa TOJIŁKO onniG Koii annpoKCH Mainł H . 3 T O o 6o 3H aiaeT , m o fljw jm H e t e o r o H JI H n a paSojiiP iecKoro n p o 6e r a H anpH wenirii KBaflpaTHUHaa annpoKCHMaqHH flocraBJiaeT TOJffiwe pe3yjn .Taiw
He3aBHCHMO OT fljiH H M m a r a . B flpyrnx cjiyqaH x fljunra H H TepBana peryjinpyeivia H a ocHOBe npH 3H ai<a
TOMHOCTH M0>KeT BbITŁ 3HaxiHTejIBH0Hj a 3TO H Meei CymeCTBeHHOe 3HaMeHHe TipH HCnblTaHHHX ^JIHTeJlbHbtX
npoi?eccoB n oji3yn eciH .
IIpoBefleH O p«H H cn brraTen tH bix BbWHcneHHń «H H pa3H biK peonorH qecKH X MOReneH (KenbBH H —
3H H ep, Byp rep c) H HJIH pa3H bix n porpaM H arpyweH H H . npoBefleH O aH0JiH3 OIH H 6OK flJiH
H ana pa3Hbrx p^nwa m ara.
ANALIZA MODELI, REOLOGICZNYCH 233
Summary
DISCRETE ANALYSIS OF RHEOLOGICAL MODELS
The discretization method of the equation of state for the linear visco-elastic materials has been proposed. The time axis has been divided into seperate time intervals; within each time interval the stresses
have been approximated by means of the linear or quadratic functions. The constitutive relation for a viscoelastic material has been assumed in the form of a differential relation with the time derivatives at most
of the second order. It has been assumed that the number of points at which functions a(t), &(f) suffer
discontinuities is finite. The constitutive relation for the given approximation can be solved in the exact
form.
As a result the reccurence relation has been obtained for which the state of derfomation at a given
instant is determined by the state of stress at the same instant and by the state of the body in the preceding (discrete) time instant. Thus for the linear and parabolic time distributions of stress, the quadratic
approximation leads to the exact results for any length of steps. In other cases the length of the step, controlled by the criterion of accuracy, can be rather big; this fact plays an essential role when long time creep
processes are considered.
A number of test calculations for different Theological models (Kelvin-Voigt, Zener, Burgers) and
for different loading programs have been performed. The error analysis for some special approximations
and different step lenghts has been given.