rozwiązania do zadań otwartych

Koło Naukowe Dydaktyków Matematyki „AlfaBeta”
oraz Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie
KONKURS M ATEMATYCZNY
ZADANIA OTWARTE - ETAP TRZECI
Rozwia̧zania
2
KWIETNIA
2016
Zadanie 16. Pewna firma sprzedawała napój w puszkach w kształcie walca o promieniu podstawy r
i wysokości h. Firma konkurencyjna wypuściła na rynek taki sam napój w puszkach w kształcie
walca, którego promień był wiȩkszy o 10%, a wysokość mniejsza o 10%. Obaj producenci ustalili
jednostkowa̧ cenȩ za puszkȩ napoju.
Która firma sprzedawała drożej?
ROZWIA̧ZANIE
I firma
r - promień puszki sprzedawanej przez firmȩ I
h - wysokość puszki sprzedawanej przez firmȩ I
V1 = πr2 h - objȩtość puszki sprzedawanej przez firmȩ I
II firma
r′ - promień puszki sprzedawanej przez firmȩ II
h′ - wysokość puszki sprzedawanej przez firmȩ II
V2 = π(r′ )2 h′ - objȩtość puszki sprzedawanej przez firmȩ II
Z treści zadania wiadomo, że
r′ = r + 10%r = r + 0, 1r = 1, 1r
oraz
h′ = h − 10%h = h − 0, 1h = 0, 9h
Zatem
V2 = π(r′ )2 h′ = π(1, 1r)2 · 0, 9h = 1, 089πr2 h = 1, 089 ·V1 > V1
Odp.: Przy ustalonej, tej samej cenie firma pierwsza sprzedawała mniej napoju, wiȩc firma pierwsza
sprzedawała drożej.
Konkurs matematyczny
Finał
Zadanie 17. Uzasadnij, że w trapezie prostoka̧tnym różnica kwadratów podstaw jest równa różnicy
kwadratów przeka̧tnych.
ROZWIA̧ZANIE
b
c
.
f
e
a
Oznaczenia:
a, b - podstawy trapezu
c - wysokoć trapezu
e, f - przeka̧tne trapezu
Rozważmy trójka̧t złożony z boków a, c, e. Jest to trójka̧t prostoka̧tny z uwagi na to, że trapez jest
trapezem prosta̧ka̧tnym.
Skorzystajmy zatem z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójka̧ta. Otrzymujemy
a2 + c2 = e2
Sta̧d
c2 = e2 − a2
(1)
Analogicznie - dla trójka̧ta prostoka̧tnego b, c, f otrzymujemy
b2 + c2 = f 2
Sta̧d
c2 = f 2 − b2
(2)
Zatem z równań (1) i (2) otrzymujemy
f 2 − b2 = e2 − a2
Po przekształceniu otrzymujemy tezȩ, która̧ należało udowodnić
a2 − b2 = e2 − f 2
Odp.: W trapezie prostoka̧tnym różnica kwadratów podstaw jest równa różnicy kwadratów przeka̧tnych.
Strona 2 z 5
Konkurs matematyczny
Finał
Zadanie 18. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste p, q, r, s, które spełniaja̧ poniższy układ równań:

 p2 + q2 = rs
r2 + s2 = pq
ROZWIA̧ZANIE
Dodajemy równanie stronami.
p2 + q2 + r2 + s2 = pq + rs
Przenosimy pq + rs na prawa̧ stronȩ i mnożymy obustronnie przez 2:
p2 + q2 + r2 + s2 − pq − rs = 0
2p2 + 2q2 + 2r2 + 2s2 − 2pq − 2rs = 0
Przekształcamy:
p2 + q2 + r2 + s2 + (p − q)2 + (r − s)2 = 0
Otrzymaliśmy sumȩ liczb nieujemnych, która jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ze składników sumy jest równy 0.Wówczas wnioskujemy, że
p=q=r=s=0
- czyli jeżeli układ ma rozwia̧zanie, to jest nim tylko czwórka
(p, q, r, s) = (0, 0, 0, 0)
Odp.: Rozwiazaniem
˛
podanego układu równań jest czwórka (p, q, r, s) = (0, 0, 0, 0).
Strona 3 z 5
Konkurs matematyczny
Finał
Zadanie 19. Stosunek pola trójka̧ta CDE do pola trapezu ABED jest równy 4:5.
Oblicz |AB|, jeżeli |DE| = 1.6dm oraz DE||AB.
C
E
D
A
B
..
ROZWIA̧ZANIE
Z zadania wiadomo, że pola P△CDE oraz PABED sa̧ w stosunku 4:5. Otrzymujemy:
P△CDE = 4x
PABED = 5x
Trójka̧ty ABC oraz CDE sa̧ trójka̧tami podobnymi.
Niech k - skala podobieństwa △CDE do △ABC
k2 =
P△CDE
P△CDE
4
=
=
P△ABC
P△CDE + PABED 9
Sta̧d mamy
k=
3
2
Korzystaja̧c z podobieństwa otrzymujemy:
k=
2 |DE|
=
3
|AB|
Przekształcaja̧c:
3
3
|AB| = |DE| = 1, 6 dm = 2, 4 dm
2
2
Odp: Bok |AB| ma długość 2, 4 dm.
Strona 4 z 5
Konkurs matematyczny
Finał
Zadanie 20. Wykaż, że ilość cyfr liczby 550 nie przekracza 35.
ROZWIA̧ZANIE
Zauważmy, że: 53 = 125 jest mniejsze niż 27 = 128.
Sta̧d kolejno wynika, że
57 · 53 < 57 · 27 → 510 < 107 ,
dalej
(510 )5 < (107 )5 ,
co daje
550 < 1035
Odp.: ilość cyfr liczby 550 nie przekracza 35.
Liczba 550 ma 35 cyfr i jest równa 88 817 841 970 012 523 233 890 533 447 265 625
Strona 5 z 5