SPIS TRES´CI

SPIS TREŚCI
PRZEDMOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
WSTE˛P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Rozdział 1
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIA˛ZYWANIA UKŁADÓW
WYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Metody dokładne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Metoda eliminacji Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Metoda rozkładu LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Metoda macierzy odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Metody iteracyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Metoda sukcesywnych poprawek . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Metody iteracyjne Jacobiego i Gaussa-Seidela . . . . . .
1.3. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RÓWNAŃ
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
LINIO.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Rozdział 2
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIA˛ZYWANIA POJEDYNCZYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Wyznaczanie pierwiastków równań wielomianowych metodami Lina, Bairstowa i Laguerre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Metoda Lina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Metoda Bairstowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Metoda Laguerre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Iteracyjne metody rozwia˛zywania równań transcendentnych . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Metoda bisekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Metoda cie˛ciw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Metoda stycznych (Newtona-Raphsona) i zwia˛zana z nia˛ metoda siecznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Metody numerycznego poszukiwania minimum funkcji jednej zmiennej . . . . . . .
2.4. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 3
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIA˛ZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Metoda iteracji prostych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Metoda iteracyjna ze zmiennym parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Metody optymalizacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
13
18
18
22
24
27
29
30
31
36
41
42
42
44
48
49
50
51
52
54
56
61
61
63
64
69
70
3
Rozdział 4
METODY INTERPOLACJI I APROKSYMACJI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ . . . . . . . .
4.1. Metody interpolacji funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Interpolacja odcinkami (krzywa˛ łamana˛) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Interpolacja wielomianem Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Procedura interpolacyjna Aitkena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4. Interpolacja wielomianem Newtona-Gregory’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5. Interpolacja sześcienna˛ funkcja˛ sklejana˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Aproksymacja liniowa˛ kombinacja˛ wielomianów Czebyszewa pierwszego
rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem spełniaja˛cym kryterium równomiernego przybliżenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem spełniaja˛cym kryterium maksymalnej płaskości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5. Aproksymacja funkcji okresowych ortogonalnymi szeregami . . . . . . . . . .
4.3. Przykład zastosowania wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki grupowej liniowego szyku antenowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 5
CAŁKOWANIE FUNKCJI JEDNEJ I DWÓCH ZMIENNYCH METODAMI NUMERYCZNYMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Obliczanie przybliżonej wartości całki oznaczonej przez rozwinie˛cie funkcji
podcałkowej w szereg funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Metody numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Metody prostoka˛tów i trapezów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Metoda Romberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Metoda Simpsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Metoda Newtona-Cotesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Metoda funkcji sklejanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6. Kwadratury Gaussa i Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Metody numerycznego całkowania funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Metoda elementarnych komórek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Uogólniony, kubaturowy wzór Simpsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Przykład zastosowania numerycznego całkowania do wyznaczania pozycji
zliczanej przemieszczaja˛cego sie˛ obiektu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 6
METODY NUMERYCZNEGO OBLICZANIA POCHODNYCH FUNKCJI JEDNEJ
I DWÓCH ZMIENNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Wzory różnicowe do obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . .
6.2. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej poprzez różniczkowanie interpoluja˛cego ja˛ wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Różniczkowanie wielomianu Newtona-Gregory’ego . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Różniczkowanie sześciennej funkcji sklejanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Wzory różnicowe do obliczania pochodnych cza˛stkowych funkcji dwóch
zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Przykład zastosowania metody optymalizacyjnej wykorzystuja˛cej pochodne
cza˛stkowe funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
81
84
84
85
88
90
95
99
99
104
108
110
116
123
132
135
137
137
140
143
147
149
150
157
157
159
162
165
169
174
174
177
179
184
Rozdział 7
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIA˛ZYWANIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Zadanie Cauchy’ego i metody jego rozwia˛zywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Metody jednokrokowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Metoda Eulera i jej udoskonalona wersja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Metoda Heuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Metody Rungego-Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4. Metoda Rungego-Kutty-Felhlberga RKF 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Wielokrokowe metody prognozy i korekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Metoda Adamsa-Bashfortha-Moulthona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Metoda Milne’a-Simpsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Metoda Hamminga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Przykłady zastosowania metody RK 4 do rozwia˛zywania układów równań
różniczkowych opisuja˛cych wybrane urza˛dzenia prostownicze . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Niesymetryczny podwajacz napie˛cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Dwupołówkowy prostownik z trójelementowym ogniwem filtruja˛cym . .
7.4.3. Czterokrotny, symetryczny powielacz napie˛cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Przykład rozwia˛zania równania różniczkowego typu Riccatiego opisuja˛cego
odcinek niejednorodnej linii długiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Przykład rozwia˛zania zadania granicznego metoda˛ różnic skończonych . . . . . .
Rozdział 8
PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA METODY RÓŻNIC SKOŃCZONYCH DO ROZWIA˛ZYWANIA WEWNE˛TRZNEGO, BRZEGOWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE’A . . . . . .
8.1. Wewne˛trzne i zewne˛trzne zagadnienie brzegowe dla równania Laplace’a . . . . .
8.2. Algorytm numerycznego rozwia˛zywania równania Laplace’a funkcji dwóch
zmiennych metoda˛ różnic skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Procedura obliczeniowa Liebmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Metoda nadrelaksacyjna (SOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Wzory różnicowe do numerycznego obliczania składowych wektora nate˛żenia
pola elektrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Przykłady obliczeń impedancji charakterystycznej i współczynnika tłumienia
wybranych prowadnic falowych typu TEM metoda˛ różnic skończonych . . . . . .
8.4.1. Ekranowana, symetryczna linia paskowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Linia współosiowa z kwadratowymi przewodami . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3. Symetryczna linia paskowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4. Ekranowana, podwieszona linia paskowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.5. Ekranowana linia cylindryczno-płaska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6. Symetryczne linie paskowe sprze˛żone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.7. Linie cylindryczno-płaskie sprze˛żone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
189
190
190
192
194
196
200
203
205
208
210
210
215
222
229
233
236
238
240
244
251
255
258
260
263
264
266
271
277
283
LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
DODATKI
1. Równanie płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
2. Macierz odwrotna wzgle˛dem zadanej, nieosobliwej macierzy kwadratowej . . . . . . . 291
3. Algorytm metody rekurencyjnych współczynników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5
4. Wzory Doolittle’a umożliwiaja˛ce przedstawienie nieosobliwej macierzy kwadratowej
w postaci iloczynu dwóch macierzy trójka˛tnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Całkowe przekształcenie Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Funkcje Bessela pierwszego rodzaju jako współczynniki szeregu Fouriera . . . . . . . .
7. Wzór różnicowy do obliczania funkcji potencjału elektrycznego w punktach leża˛cych na granicy rozdziału dwóch bezstratnych ośrodków dielektrycznych bez ładunków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
295
297
300
SKOROWIDZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6