tutaj

Wstęp do Latex.∗
Jan Kowalski i Zygmunt Nowak†
22-pażdziernik-2006
1
Wstęp
lub to samo inaczej
x + y = 5 + 4y − 3x2 .
Wielomiany ortogonalne stanowią ważną klasę
układów ortogonalnych, które mają duże znaczenie w analizie, głównie dzięki możliwości rozwijania
dowolnych funkcji należących do bardzo obszernych
klas funkcji w szeregi według funkcji ortogonalnych.
Przykładami takich szeregów mogą być szeregi Fouriera, szeregi Fouriera-Bessela itd.
Wielomiany Czebyszewa znane też były wcześniej w 1748 roku Leonhardowi Eulerowi w związku
z rozkładem funkcji cos nx według potęg cos x.
Badaniem wielomianów ortogonalnych zajmował
się również niemiecki matematyk Carl Gustaw
Jacobi, który wprowadził wielomiany nazwane jego
nazwiskiem tzw. wielomiany Jacobiego, uogólniające wielomiany Legendre’a.
Niniejsza praca poświęcona jest wielomianom ortogonalnym. Celem pracy jest przedstawienie licznych wspólnych własności wielomianów ortogonalnych. Najważniejszą z nich jest ta, iż tworzą one
układ ortogonalny funkcji w pewnym przedziale
(a, b) z ustaloną wagą (funkcją wagową), króra jest
nieujemną funkcją ciągłą w (a, b), mającą wszystkie osobliwości danej grupy wielomianów ortogonalnych. Do wielomianów ortogonalnych należą między innymi wielomiany trygonometryczne, wielomiany Legendre’a, Hermite’a, Laguerre’a, Czebyszewa, Jacobiego i innych.
1.1
Wielomianami Hermite’a zajmował się również
francuski matematyk Charles Hermite, który swoje
rozważania zawarł w pracy z 1864 roku. Wielomiany Laguerre’a wprowadził Czebyszew w 1859 roku,
a w 1879 roku zajmował się nimi francuski matematyk i oficer artylerii Edmond Nicolas Laguerre.
Wobec tego, z historycznego punktu widzenia wielomiany Hermite’a i Laguerre’a, słuszniej byłoby
nazywać odpowiednio wielomianami CzebyszewaHermite’a i Czebyszewa-Laguerre’a. Czebyszew,
wybitny profesor uniwersytetu w Petersburgu, również badał i wprowadził w 1854 roku wielomiany
nazwane jego nazwiskiem. Wielomiany te mają duże zastosowanie w teorii aproksymacji, gdyż są one
wielomianami o najmniejszym odchyleniu od zera
na zadanym odcinku.
W niniejszej pracy rozważamy teorię wybranych
wielomianów ortogonalnych. Praca zawiera podstawowe wiadomości o, tak często spotykanych w zastosowaniach, funkcjach specjalnych, jak wielomiany trygonometryczne, wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a. To jest numerowanie:
Praca składa się z dwóch rozdziałów. Pierwszy
z nich zawiera podstawowe definicje i własności,
które stanowić będą punkt wyjścia do naszych
dalszych rozważań. Rozdział drugi jest kluczowym
rozdziałem. Składa on się z pięciu podrozdziałów.
Pierwszy z nich zawiera ogólne informacje o wielomianach ortogonalnych, natomiast w pozostałych
szczegółowo omówione są wielomiany trygonometryczne, wielomiany Legendre’a, Hermite’a i
Laguerre’a. W owych podrozdziałach znajdują
się definicje i funkcje tworzące, wyprowadzone są
wzory rekurencyjne i równania różniczkowe dla
rozważanych wielomianów, a także udowodnione
są twierdzenia dotyczące ortogonalności układów
tych funkcji.
Ale chce mieć wzór wystawiony
x + y = 5 + 4y − 3x2 .
∗ tytuł
Dalsze wprowadzenia
jest zmyślony
i nazwiska są także zmyślone
† Imiona
1
1. Metody porównawcze stosuje się w wielu dzie- matematyka królowa nauk m przedstawieniem
dzinach geometrii.
funkcji” opublikowanej w pamiętnikach Petersburskiej Akademii Nauk.
1.1 w geometrii riemannowskiej
sum studia uzupełniajace magisterskie m przed1.2 w geometri euklidesowej
stawieniem funkcji” opublikowanej w pamięt2. są one kojarzone z podstawowymi twierdzenianikach Petersburskiej Akademii Nauk.
mi Raucha, Toponogowa. Ideę przeniesienia
giez małe zwierzę m przedstawieniem funkcji”
3. ubiegłego stulecia. Ich rozwój jest związany z
opublikowanej w pamiętnikach Petersburskiej
wynikami Gromowowa z lat 70-tych i 80-tych.
Akademii Nauk.
To jest wypunktowanie
• pochodzi od słów Comparison, Alexandrov,
Toponogow, lub według innych źródeł:
2
Nowości
W zakresie mechaniki nieba. Określenie wielomianów Hermite’a pojawiło się u Pierra Simona Laplace’a w 1810 roku. Badał je potem znakomity
rosyjski matematyk Pafnutij Czebyszew w 1859 ro• Przestrzeń jest CAT (κ) jeżeli trójkąt geode- ku w pracy „Pytania o najmniejszych wielkościach
zyjny jest „chudszy” niż trójkąt porównawczy związanych z przybliżonym przedstawieniem funk- Poniżej bew przestrzeni o stałej krzywiźnie κ. Celem pra- cji” opublikowanej w pamiętnikach Petersburskiej dzie pierwAkademii Nauk.
szy cytat
cy jest opisanie pewnych
” Carton,
++ Alexandrov,
””” Toponogow;
Badaniem wielomiamów ortogonalnych
zajmowało się wielu wybitnych matematyków. Francuski matematyk Andien Marie Legendre wprowadził w 1785 roku wielomiany, które później nazwano jego nazwiskiem. Do wprowadzenia ich doprowadziły go badania .
To jest zagnieżdżenie wypunktowania w numerowaniu
1. niedodatniej krzywiźnie). Wyniki te są opisane
w rozdziale 4 w postaci twierdzeń o „płaskości”
2. pewnych tworów w przestrzeniach CAT (0).
Rozdział 3 poświęcony jest ogólnym przestrzeniom CAT (κ),
1. •
• a rozdział 2 przestrzeniom o stałej krzywiźnie. W rozdziale 1 zgromadziliśmy potrzebne informacje
• o geometrycznej strukturze przestrzeni
metrycznych.
2. ◦
3. ∩
4. ∪
3. Praca jest oparta głównie na nowej monografii
Martina Bridsona i André Haefligera [BH].
5. ⊕
6. ±
4. Podobna treścią jest książka [BBI], a historycznie ważną pozycją dotyczącą tej tematyki j
7. ∓
W zakresie mechaniki nieba. Określenie wielomianów Hermite’a pojawiło się u Pierra Simona Laplace’a w 1810 roku. Badał je potem znakomity
rosyjski matematyk Pafnutij Czebyszew w 1859 roku w pracy „Pytania o najmniejszych wielkościach
związanych z przybliżonym przedstawieniem funkcji” opublikowanej w pamiętnikach Petersburskiej
Akademii Nauk.
8. ·
9. d¯
10. ~a
11. v̂
12. ¬
2
13. ­
43.
14. ⊂
44.
15. ⊃
16. ⊆
2
(x + 1)(x − 1)
)
o
17. ⊇
45.
18. ∈
19. ≡
46. 20. α
47. x1 , . . . , xn
21. β
48. x1 + · · · + xn
22. γ
23. δ
24. ε
25. λ
26. ϕ
27. φ
28. ω
29.
1
2
30. x2 + 5 = y 2 + log5 4
P5
31.
i=1 =?
32. limn→∞ (n2 − 5)
R
33. f (x)dx
R6
34. 5 f (x)dx
35. kx + yk
36. x 6= y
√
37. 5
√
38. 5 45
39. arccos x cos x csc x exp x ker x lim sup x min x
40. sinh x arcsin x cosh x deg x gcd x lg x ln x Pr x sup x
41. arctan x cot x det x hom x lim x log x sec x tan x
42. arg x coth x dim x inf x lim inf x max x sin x tanh x
3