Logarytmy i eksponenty

Logarytmy i eksponenty
Prowadzący:
Dr inż. Andrzej Skoczeń
Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii
Wydział Informatyki,
Informatyki rok II
Fizyka
WSTiE Sucha Beskidzka
1
Logarytm
Logarytm przy podstawie a z liczby b,
b zapisywany logab,
b to taka liczba c,
c
że podstawa a podniesiona do potęgi c daje logarytmowaną liczbę b:
gdzie a>0, a≠1 oraz b>0.
N przykład
Na
kł d log28=3, ponieważ
i
ż 23=8.
Podstawowe twierdzenia o logarytmach:
log(a ⋅ b) = log a + log b
a
l
log
= log
l a − log
l b
b
n
log(a ) = n ⋅ log a
WSTiE Sucha Beskidzka
2
Liczba Eulera e
Podstawa
P
d t
llogarytmu
t
naturalnego
t l
(i
(inaczejj liliczba
b E
Eulera
l
llub
b liliczba
b N
Nepera))
w przybliżeniu wynosi:
e ≈ 2, 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967
6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...
Definicja:
Liczba e jest określana przez następującą granicę ciągu:
 1
e = lim1 +
 n
n
n →∞
Funkcję wykładniczą o podstawie e
zapisujemy także w postaci
f(x)=ex
f(x)=exp(x)
WSTiE Sucha Beskidzka
3
Własności liczby e
Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard
Wiadomo
Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).
Liczba e jest podstawą takiej funkcji
wykładniczej, że styczna do jej
wykresu w punkcie (0,1) ma
współczynnik kierunkowy równy 1.
Liczba e jest podstawą takiego
logarytmu że styczna do wykresu
logarytmu,
funkcji logarytmicznej o tej podstawie
w punkcie (1,0) ma współczynnik
kierunkowyy równy
y 1.
WSTiE Sucha Beskidzka
exp(x)
l ( )
ln(x)
4
Własności liczby e (c. d.)
P h d ffunkcji
Pochodna
k ji f(x)=e
f( ) x
(e ) = e
x '
x
Całka funkcji f(x)=ex , gdzie C jest dowolną stałą całkowania
x
x
e
dx
=
e
+C
∫
Z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do
logarytmu naturalnego:
x
( )
ln e = x
ln x
e =x
Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też
"najpiękniejszym wzorem matematyki"), wiążącej e z innymi słynnymi
liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:
iπ
e +1 = 0
WSTiE Sucha Beskidzka
5
Funkcja ważne w praktyce inżynierskiej
y
 x
y ( x) = A exp − 
 τ
x
τ
y
A

 x 
y ( x) = A1 − exp −  
 τ 

x
τ
WSTiE Sucha Beskidzka
6