Liczby zespolone - Andrzej Skoczeń

Liczby zespolone
Prowadzący:
Dr inż. Andrzej Skoczeń
Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii
Wydział Informatyki
Informatyki, rok II
Fizyka
2012‐12‐08
WSTiE Sucha Beskidzka
1
Liczby zespolone
Liczby uzyskane jako rozszerzenie liczb rzeczywistych o jednostkę
urojoną j, od
d kktórej
ó wymaga się, aby
b spełniała
ł ł warunekk j2 = -1.
Każda z nich może być zapisana w postaci algebraicznej jako:
z = a + jb,
jb
gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio:
‰częścią rzeczywistą a = Re(z) oraz
‰częścią urojoną b = Im(z) .
Dla liczb zespolonych określone są działania:
‰Dodawania (a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d) ,
‰Odejmowania
(a+jb) - (c+jd) = (a-c) + j(b-d) ,
‰Mnożenia (a+jb) · (c+jd) = (a·c - b·d) + j(b·c+a·d) i
‰Dzielenia a + jb (a + jb)(c − jd ) (ac + bd ) + j (bc − ad )
c + jd
=
(c + jd )(c − jd )
=
c2 + d 2
Działania są rozszerzeniem odpowiednich działań w liczbach
rzeczywistych.
2012‐12‐08
WSTiE Sucha Beskidzka
2
Płaszczyzna zespolona
Im(z)
b
Moduł liczby zespolonej
z = a2 + b2
r
z
Argument liczby
zespolonej
arg( z ) = arctg
b
a
a
R ()
Re(z)
Liczbom zespolonym
p
y
można p
przyporządkować
yp ą
wzajemnie
j
jjednoznacznie
wektory na płaszczyźnie (zaczepia się je w początku układów współrzędnych),
podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi.
Każdej więc liczbie zespolonej
2012‐12‐08
z = a + jb można przyporządkować
WSTiE Sucha Beskidzka
r
z = ( a, b)
3
Postać trygonometryczna
z = z (cos ϕ + j sin ϕ )
r
z = ( a, b)
Im(z)
b
Moduł liczby zespolonej
z = a2 + b2
Argument liczby zespolonej
ϕ = arg( z ) = arctg
2012‐12‐08
b
a
a
WSTiE Sucha Beskidzka
Re(z)
4
Postać wykładnicza
z = ze
jϕ
Związek Eulera (bez dowodu) :
e
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
Proste konsekwencje związku Eulera:
e jπ = −1
j
π
e j 2π = 1
j
3π
2
= j
e =−j
π
3π
j
j
1
1
4
4
e =
(1 + j ) e =
(1 − j )
2
2
π
π
j
j
1
1
e 3 = (1 + j 3 ) e 6 = ( 3 + j )
2
2
e
2
2012‐12‐08
e j 3π = −1 e j 4π = 1
e
WSTiE Sucha Beskidzka
j
5π
2
= j
5
Trzy reprezentacje
Wykładnicza
Trygonometryczna
Kartezjańska
z=|z|·e jφ
|z| = a 2 + b 2
φ=arctg(b/a)
z=|z|·(cosφ+j·sinφ)
|z| = a 2 + b 2
φ=arctg(b/a)
z=a+j·b
aa=|z|·cosφ
|z| cosφ
b=|z|·sinφ
Przykład
y
1:
z = 4 + j3
z = 4 2 + 32 = 5
3
ϕ = arctg = 36,87 o
Postać trygonometryczna 4
Postać wykładniczao
o
o
z = 5(cos(36,87 ) + j sin(36,87 )) z = 5e j 36,87
Postać kartezjańska
Przykład 2:
π
π
π
3
1
z = 6e = 6(cos + j sin ) = 6( + j ) = 3( 3 + j)
Postać wykładnicza
6
6
2
2 Postać kartezjańska
j
6
Postać trygonometryczna
2012‐12‐08
WSTiE Sucha Beskidzka
6
Algebra w zbiorach funkcji sinusoidalnych,
sinusoidalnych wektorów i liczb
zespolonych jest taka sama. Zbiory te nazywany przestrzeniami
liniowymi (lub wektorowymi).
Funkcja sinusoidalna:
x(t) = A·sin(ω · t+φ)
r
r
Wektor (wskaz, fazor): x = (a, b) = ( x , ϕ )
ϕ = arctg
b
a
Liczba zespolona: x==|x|· e jωt · e jφ =a+j·b
2012‐12‐08
WSTiE Sucha Beskidzka
7
Funkcje trygonometryczne wyrażone
poprzez
p
p
funkcje
j wykładnicze
y
e
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
− jϕ
e = cos ϕ − j sin ϕ
jϕ
− jϕ
e + e = 2 cos ϕ
jϕ
e −e
− jϕ
= −2 j sin ϕ
Korzystając ze związku Eulera
Dodając stronami
Odejmując stronami
e jϕ + e − jϕ
cos ϕ =
2
e jϕ − e − j ϕ
sin ϕ =
2j
2012‐12‐08
WSTiE Sucha Beskidzka
8