Symulacje procesu Poissona i procesów z nim związanych
Transkrypt
Symulacje procesu Poissona i procesów z nim związanych
1 Ćwiczenie Nr 2: Symulacje procesu Poissona i procesów z nim zwiazanych ¾ Proces Poissona o sta÷ ej intensywności moz·na symulować a (jako dowolny tzw. proces odnowy ) symulujac ¾ ciag ¾ okresów miedzy ¾ zg÷ oszeniami fXi gi 1 (majacych ¾ rozk÷ ady wyk÷ adnicze z parametrem ) a nastepnie ¾ k÷ adac ¾ N (t) = min fn : X1 + : : : + Xn > tg ; t 0; b wykorzystujac ¾ twierdzenie o postaci warunkowego rozk÷ adu momentów zg÷ oszeń i symulujac ¾ najpierw dla ustalonego t; N (t) (zgodnie z rozk÷ adem Poissona o parametrze t) a nastepnie, ¾ jeśli N (t) = n; symulujac ¾ n zmiennych losowych o rozk÷ adzie jednostajnym na odcinku < 0; t > (wyjście funkcji Random[] w Mathematice pomnoz·one przez t) fUi gni=1 : Dla s < t k÷ adziemy, N (s) = # fi : Ui sg : Aby przyspieszyć obliczenie N (s) dobrze jest posortować wyrazy ciagu ¾ fUi gni=1 i otrzymujac ¾ ciag ¾ fSi gni=1 a nastepnie ¾ przyjać ¾ S0 0 i N (s) = i 1 dla s 2< Si 1 ; Si ): Niejednorodny proces Poissona z intensywnościa¾ (t) ; moz·na symulować na dwa sposoby. A W pierwszym korzysta sie¾ z twierdzenia o klasy…kowaniu zg÷ oszeń w procesie Poissona. Mianowicie określmy (t) dla t 2< 0; T > : Symulujmy proces Poissona z intensywnościa¾ : Nastepnie ¾ klasy…kujemy zg÷ oszenie w momencie t z prawdopodobieństwem (t) : Proces klasy…kowanych zg÷ oszeń jest procesem Poissona o zmiennej intensywności. Procedura symulacji niejednorodnego procesu Poissona jest wiec ¾ nastepuj ¾ aca: ¾ Generujemy niezalez·ne zmienne losowe fXi ; Ui gi 1 takie, z·e X Exp( ); U U (0; 1) zatrzymujac ¾ sie¾ w momencie ( ) n X N = min n : Xi > T : i=1 Dla j = 1; : : : ; N Ij = 1; k÷ adziemy 8 < 1 gdy Uj : 0 gdy Uj > 1 Pj i=1 Pj Xi = i=1 Xi = : Tworzymy zbiór J = fj : Ij = 1g : Za momenty zg÷ oszeń symulowanego proces Poissona przyjmujemy zbiór momentów ) ( j X Xi : j 2 J : i=1 B Moz·na pokazać (rozumujac ¾ podobnie jak w przypadku procesu jednorodnego), z·e pod warunkiem, z·e w okresie czasu T by÷ o n zg÷ oszeń, okresy czasu miedzy ¾ zg÷ oszeniami maja¾ tworza ciag ¾ statystyk pozycyjnych próby prostej z rozk÷ adu o gestości: ¾ f (s) = gdzie (t) (T ) (t) = Rt 0 (s) ; (T ) (1) (s) ds; lub, co równowaz·ne, o dystrybuancie F (t) = , dla t = t 2< 0; T > : Symuluje sie¾ wieć najpierw N (T ) (ma rozk÷ ad Poissona z (T ) ) a nastepnie n niezaleznych obserwacji z rozkladu (1), podanego wyz·ej za momenty zg÷ oszeń, bierze sie¾ uporadkowane ¾ realizacje z próby prostej. W kaz·dej z poniz·szych symulacji wygenerować co najmniej 3 realizacje i wykreślić je na wspólnym rysunku róz·nymi kolorami (lub wzorami punktów w przypadku drukarek czarno-bia÷ ych). 1. Zasymulować dwoma sposobami (a i b) proces Poissona na odcinku < 0; 50= > z intensywnościami = 1 i = 10: 2. Zasymulować dwoma sposobami (A i B) niejednorodny proces Poissona dla intensywności (t) = t2 (T t)=T 3 na odcinku < 0; T > : T = dowolnie wybrane 2 wartości. 3. Zasymulować z÷ oz·ony proces Poissona o intensywnościach = 1 i = 10 i róz·nych rozk÷ adach szkód np. a) jednostajnym U (0; 1) ; b) 2 : dwumianowym z parametrami n = 10; p = 10 4. Napisać krótkie sprawozdanie. 2