Problemy do egzaminu z algebry liniowej

Problemy do egzaminu z algebry liniowej
1. Dziaªania wewn¦trzne i zewn¦trzne, ich wªasno±ci.
2. Grupy i wªasno±ci dziaªa« w grupach.
3. Pier±cienie i ciaªa.
4. Wielomiany i twierdzenie Bezouta.
5. Liczby zespolone i dziaªania na nich.
6. Zasadnicze twierdzenie algebry.
7. Przestrzenie wektorowe i wªasno±ci ich dziaªa«.
8. Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe.
9. Liniowa niezale»no±¢ wektorów.
10. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
11. Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni, iloczyn kartezja«ski
przestrzeni.
12. Odwzorowania liniowe.
13. J¡dro, obraz i rz¡d odwzorowania liniowego.
14. Izomorzmy liniowe, kanoniczne modele przestrzeni sko«czenie wymiarowych.
15. Macierze i dziaªania na nich.
16. Szczególne rodzaje macierzy.
17. Zwi¡zek odwzorowa« liniowych z macierzami.
18. Zmiana bazy i transformacja macierzy odwzorowania liniowego.
19. Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych.
20. Przestrze« dualna i baza dualna.
21. Izomorzmy Hom(V1 ⊗...⊗Vk ; W ) ∼
= Hom(V1 , ..., Vk ; W ) oraz Hom(V ; W ) ∼
=
?
V ⊗ W.
22. Permutacja i jej znak.
1
23. Wyznacznik macierzy kwadratowej.
24. Rz¡d macierzy.
25. Rozwini¦cie Laplace'a.
26. Twierdzenie Cramera.
27. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
28. Metoda eliminacji Gaussa.
29. Klatka Jordana i posta¢ Jordana macierzy.
30. Wielomian charakterystyczny macierzy.
31. Twierdzenie Hamiltona-Cayleya i wielomian minimalny.
32. Warto±ci i wektory wªasne.
33. Podprzestrzenie pierwiastkowe.
34. Baza Jordana.
35. Przestrze« aniczna i odwzorowanie aniczne.
36. Podprzestrzenie aniczne.
37. Iloczyn skalarny i norma.
38. Przestrze« euklidesowa i ortogonalno±¢.
39. Twierdzenie Grama-Schmidta.
40. Twierdzenie Pitagorasa i rzutowanie prostok¡tne.
41. Orientacja w przestrzeni sko«czenie wymiarowej.
42. Obj¦to±¢ w przestrzeni n-wymiarowej.
43. Izomorzm Frecheta.
44. Izometrie w przestrzeni euklidesowej.
45. Iloczyn wektorowy i iloczyn mieszany.
46. Odlegªo±ci i k¡ty w R3 .
47. Grupa izomorzmów anicznych.
2
48. Kompleksykacja przestrzeni liniowej i odwzorowania liniowego.
49. Przestrzenie i odwzorowania unitarne.
50. Odwzorowania hermitowskie i symetryczne.
51. Formy kwadratowe i dwuliniowe.
52. Macierz, rz¡d i sygnatura formy kwadratowej.
53. Formy kwadratowe okre±lone, nieokre±lone i póªokre±lone.
54. Twierdzenie Lagrange'a.
55. Twierdzenie Sylvestera o bezwªadno±ci.
56. Metoda Lagrange'a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
57. Metoda Jacobiego.
58. Metoda odwzorowania ortogonalnego.
59. Funkcje dwuaniczne i kwadratowe.
60. Punkty ±rodkowe funkcji kwadratowej.
61. Posta¢ kanoniczna funkcji kwadratowej.
62. Kwadryki i ich rodzaje.
63. Punkty ±rodkowe kwadryk.
64. Postaci kanoniczne kwadryk i ich klasykacja.
65. Przestrzenie odwzorowa« wieloliniowych, wieloliniowych symetrycznych
i wieloliniowych antysymetrycznych.
66. Pot¦ga zewn¦trzna przestrzeni wektorowej.
67. Multiwektory i multiwektory proste.
68. Pot¦ga zewn¦trzna odwzorowania liniowego.
69. Abstrakcyjna denicja wyznacznika.
70. Wªasno±ci wyznacznika deniowanego abstrakcyjnie.
3