4 - Piotr Szurgott

Obliczanie geometrycznych momentów
figur płaskich
4
Podstawowe zależności
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich względem osi xy układu współrzędnych obliczmy w oparciu o poniższe zależności:
I x = ∫ y 2 dA
(4.1a)
I y = ∫ x 2 dA
(4.1b)
Geometryczny moment bezwładności względem punktu (biegunowy moment bezwładności) jest równy:
IO = Ix + Iy
(4.2)
Geometryczny moment dewiacji figur płaskich określony jest jako:
I xy = ∫ xy dA
(4.3)
Geometryczne momenty bezwładności i momenty dewiacji figur płaskich wyrażane są
w jednostkach [(długość)4], np. [m4], [cm4], [mm4]. Momenty bezwładności przyjmują
tylko wartości dodatnie, natomiast momenty dewiacji mogą być zarówno dodatnie,
jak i ujemne.
Twierdzenie Steinera dla zagadnień 2D (rys. 4.1) przyjmuje postać:
— dla momentów bezwładności:
I x = I xc + A (y C )2
(4.4a)
I y = I yc + A (x C )2
(4.4b)
— dla momentów dewiacji
I xy = I xc yc + A x Cy C
Rys. 4.1.
(4.5)
2
Dynamika
Zadanie 4.1.
Wyprowadzić ogólny wzór na położenie środka ciężkości wycinka koła o promieniu R
i kącie rozwarcia 2φ (rys. 4.2).
Rys. 4.2.
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych jak na rys. 4.3.
Rys. 4.3.
Wybieramy wycinek o kącie rozwarcia dβ (rys. 4.3). Zakładając, że wycinek ten jest
bardzo mały, możemy potraktować go jako trójkąt o długości podstawy dl równej:
d l = R dβ
i wysokości R. Położenie środka ciężkości określa współrzędna ydl równa:
y dl =
2
R cos β
3
Położenie środka ciężkości możemy zapisać następująco:
yC =
∑ Ai yi
∑ Ai
gdzie Ai oznacza pole i-tego wycinka, natomiast yi – położenie jego środka ciężkości.
Powyższa zależność przyjmie postać:
⎛1
⎞
⎛R ⎞
∑ ⎜⎝ 2 dl R ⎟⎠ ⋅ y dl ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ y dl dl
=
=
yC =
⎛1
⎞
⎛R ⎞
∑ ⎜⎝ 2 dl R ⎟⎠
∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dl
=
+φ
⎛R 2
⎞
∫ ⎜⎝ 2 ⋅ 3 R cos β ⎟⎠ R dβ
−φ
+φ
⎛ R2 ⎞
⎟ dβ
⎟
2
⎠
−φ
∫ ⎜⎜⎝
R3
+φ
sin β −φ
= 3 2
=
R
+φ
β −φ
2
2 sin φ − sin(−φ ) 2 sin φ
R
= R
φ − (−φ )
φ
3
3
Dla wybranych wycinków koła (np. półkola, ćwiartki), do wyznaczenia środków
ciężkości można stosować drugie twierdzenie Pappusa-Guldina, które mówi, że objętość bryły powstałej na skutek obrotu powierzchni płaskiej wokół osi leżącej w tej
samej płaszczyźnie co powierzchnia i nie przecinającej jej, jest równe iloczynowi pola
powierzchni i drogi jaką przebywa podczas obrotu środek ciężkości tej powierzchni.
Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich
3
W dalszej części znajdziemy środek ciężkości półkola o promieniu R (rys. 4.4).
Rys. 4.4.
Pole powierzchni półkola A jest równe:
A=
π R2
2
W wyniku pełnego obrotu półokręgu wokół osi y (rys. 4.4) otrzymamy kulę o objętości V równej:
V =
4
π R3
3
Droga s jaką przebywa środek ciężkości C jest równa (rys. 4.4):
s = 2π x C
Zgodnie z drugim twierdzeniem Pappusa-Guldina mamy:
A ⋅s =V
2
πR
4
⋅ 2π x C = π R 3
2
3
4
xC =
R
3π
W oparciu o wyprowadzony wcześniej wzór ogólny mamy:
2
xC = R
3
⎛π ⎞
sin⎜ ⎟
⎝2⎠ = 4 R
π
3π
2
Zadanie 4.2.
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności figury przedstawionej na rys. 4.5.
Wymiary podano w [mm].
Rozwiązanie
Obieramy układ współrzędnych jak na rys. 4.6. Rozpatrywaną figurę podzielimy na
dwa prostokąty oznaczone odpowiednio 1 (prostokąt pionowy o wymiarach 4×60 mm)
i 2 (prostokąt poziomy o wymiarach 36×4 mm).
4
Dynamika
Rys. 4.5.
Rys. 4.6.
Wyznaczamy położenie środka ciężkości figury, w oparciu o poniższe zależności:
xC =
∑ Ai x i
∑ Ai
=
A1 x1 + A2 x 2
A1 + A2
yC =
∑ Ai yi
∑ Ai
=
A1 y1 + A2 y 2
A1 + A2
gdzie Ai jest polem powierzchni i-tej figury, natomiast xi i yi są współrzędnymi środka
ciężkości i-tej figury.
Zgodnie z rys. 4.6 mamy:
— dla prostokąta 1
A1 = 4 ⋅ 60 = 240 mm2
x1 = 2 mm
y1 = 30 mm
— dla prostokąta 2
A2 = 36 ⋅ 4 = 144 mm2
x 2 = 22 mm
y 2 = 2 mm
Współrzędne środka ciężkości całej figury są więc równe:
xC =
240 ⋅ 2 + 144 ⋅ 22
= 9,5 mm
240 + 144
yC =
240 ⋅ 30 + 144 ⋅ 2
= 19,5 mm
240 + 144
Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich
5
Przystąpimy teraz do obliczenia momentów bezwładności poszczególnych prostokątów
względem osi xc i yc układu współrzędnych o środku w punkcie C (rys. 4.7). Osie te są
osiami centralnymi całej rozpatrywanej figury. Wykorzystujemy twierdzenie Steinera:
— dla prostokąta 1
I xc 1 = I x1 + A1(y1 − y C )2 =
4 ⋅ 60 3
+ 240 ⋅ (30 − 19,5)2 = 98460 mm4
12
I yc 1 = I y1 + A1(x1 − x C )2 =
43 ⋅ 60
+ 240 ⋅ (2 − 9,5)2 = 13820 mm4
12
— dla prostokąta 2
I xc 2 = I x 2 + A2 (y 2 − y C )2 =
36 ⋅ 43
+ 144 ⋅ (2 − 19,5)2 = 44292 mm4
12
I yc 2 = I y 2 + A2 (x 2 − x C )2 =
363 ⋅ 4
+ 240 ⋅ (22 − 9,5)2 = 38052 mm4
12
Rys. 4.7.
Ostatecznie centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury są równe:
I xc = I xc 1 + I xc 2 = 98460 + 44292 = 142752 mm4
I yc = I yc 1 + I yc 2 = 13820 + 38052 = 51872 mm4
Aby określić główne centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury należy
znaleźć główne osie bezwładności, czyli takie, dla których moment dewiacji figury
będzie równy zeru. Wzory transformujące momenty bezwładności i dewiacji względem
centralnego układu współrzędnych do układu obróconego o kąt φ (rys. 4.8) są następujące:
I ξ = I xc cos 2 φ + I yc sin2 φ − I xc yc sin 2φ
I η = I xc sin2 φ + I yc cos 2 φ + I xc yc sin 2φ
I ξη =
1
(I x − I yc ) sin 2φ + I xc yc cos 2φ
2 c
Moment dewiacji względem osi głównych jest równy zeru. Tak więc przekształcając
ostatni z powyższych wzorów otrzymamy kąt φ, o który należy obrócić układ osi xc i yc,
aby uzyskać zerowe momenty dewiacji.
6
Dynamika
Rys. 4.8.
1
(I x − I yc )sin 2φ + I xc yc cos 2φ = 0
2 c
1
(I y − I xc )sin 2φ = I xc yc cos 2φ
2 c
tg 2φ =
2 I x c yc
I yc − I x c
Musimy jeszcze policzyć moment dewiacji rozpatrywanej figury. Wiemy, że momenty
dewiacji prostokątów 1 i 2 względem osi, odpowiednio x1 i y1 oraz x2 i y2, są równe
zeru. Korzystając z twierdzenia Steinera obliczymy momenty dewiacji prostokątów
względem osi xc i yc:
— dla prostokąta 1
I xc yc 1 = I x1y1 + A1(y1 − y C )(x1 − x C ) = 0 + 240 ⋅ (30 − 19,5)(2 − 9,5) = −18900 mm 4
— dla prostokąta 2
I xc yc 2 = I x 2y 2 + A2 (y 2 − y C )(x 2 − x C ) = 0 + 144 ⋅ (2 − 19,5)(22 − 9,5) = −31500 mm 4
Moment dewiacji dla całej figury jest zatem równy:
I xc yc = I xc yc 1 + I xc yc 2 = −18900 − 31500 = −50400 mm 4
Znajdujemy poszukiwany kąt φ:
tg 2φ =
φ=
2 ⋅ (−50400 )
= 1,1092
51872 − 142752
1
arctg(1,1092) = 23,9813° = 23°58′53′′
2
Ostateczne rozwiązanie przedstawiono na rys. 4.9. Moment dewiacji względem osi ξη
jest równy zero, natomiast momenty bezwładności mają wartość:
I ξ = 165171,8084 mm4
I η = 29452,1916 mm4
Są to odpowiednio wartości maksymalna i minimalna momentu bezwładności dla
rozpatrywanej figury płaskiej.
Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich
Rys. 4.9.
7