MOMENTY BEZW£ADNOŒCI

6. POWIERZCHNIOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
Zadanie 6.1
Dla figury przedstawionej na rysunku 6.1.1 wyznaczyć położenie głównych centralnych osi
bezwładności i określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
Rys.6.1.1
Rozwiązanie
Rozpocząć należy od wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości dla danej figury,
względem przyjętego uprzednio układu odniesienia Oxy. Patrz zadanie 5.2. Współrzędne te
wynoszą:
xc = 2mm;
yc = 3mm
Momenty bezwładności prostokątów na które podzieliliśmy naszą figurę względem ich osi x1,
y1 i x2, y2 mających początki w ich środkach ciężkości wynoszą
b ⋅ h 3 2 ⋅ 63
=
= 36[mm 4 ];
12
12
6 ⋅ 23
=
= 4[mm 4 ];
12
h ⋅ b 3 6 ⋅ 23
=
= 4[mm 4 ]
12
12
2 ⋅ 63
=
= 36[mm 4 ]
12
I x1 =
I y1 =
Ix 2
Iy2
Przez środek ciężkości C figury prowadzimy osie układu Cxcyc
Wyznaczamy moment bezwładności względem osi xc figury 1 korzystając z twierdzenia
Steinera
I(xc1) = I x1 + A1 ⋅ ( y1 − y c ) 2 = 36 + 12(5 − 3) 2 = 84[mm 4 ] ’
następnie figury 2
I(xc2) = I x 2 + A 2 ⋅ ( y 2 − y c ) 2 = 4 + 12(1 − 3) 2 = 52[mm 4 ]
sumujemy te momenty otrzymując moment bezwładności całej figury względem osi xc:
I xc = I(xc1) + I(xc2 ) = 84 + 52 = 136[mm 4 ]
Podobnie postępujemy wyznaczając Iyc
I(yc1) = I y1 + A1 ⋅ (x1 − x c )2 = 4 + 12(1 − 2) 2 = 16[mm 4 ]
I(yc2) = I y 2 + A 2 ⋅ ( x 2 − x c )2 = 36 + 12(3 − 2)2 = 48[mm 4 ]
I yc = I(yc1) + I(yc2) = 16 + 48 = 64[mm 4 ]
Wyznaczamy moment dewiacji figury 1 względem osi Cxcyc
1)
I(xcyc
= 0 + A1 (x1 − x c )(y1 − y c ) = 12(1 − 2)(5 − 3) = −24[mm 4 ]
oraz figury 2
2)
I(xcyc
= 0 + A 2 ( x 2 − x c )( y 2 − y c ) = 12(1 − 3)(3 − 2) = −24[mm 4 ]
Całkowity moment dewiacji
1)
( 2)
Ixcyc = I(xcyc
+ Ixcyc
= −24 − 24 = −48[mm 4 ]
Następnie wyznaczamy kąt ϕo jaki należy odmierzyć od osi xc aby znaleźć położenie osi
głównych
tg 2ϕo = −
2 ⋅ I xcyc
I xc − I yc
=
2 ⋅ 48
= 1,33
136 − 64
więc
2ϕo = 53,13o;
ϕo = 26,56o
Aby stwierdzić czy os Imax (1)będzie obrócona względem osi xc o kąt ϕo, czy ϕo + 90o
podstawiamy wyliczone wartości do wzoru transformacyjnego
1
1
(I xc + I yc ) + (I xc − I yc ) ⋅ cos 2ϕo − I xcyc ⋅ sin 2ϕo =
2
2
136 + 64 136 − 64
=
+
⋅ cos 53,13o + 48 ⋅ sin 53,13 = 100 + 21,6 + 38,4 = 160[mm 4 ]
2
2
Iξ =
widzimy, że wyliczone Iξ>Ixc,
Stwierdzamy zatem, że oś 1 (dla Imax), ustala kąt , ϕo = 26,56o. Oś 2 (dla Imin) jest więc
nachylona do dodatniego kierunku osi xc pod kątem ϕo + 90o, (rys. 6.1.2).
Wyliczone Iξ jest oczywiście równe maksymalnemu, centralnemu momentowi bezwładności
figury I1
Główne centralne momenty bezwładności wyliczamy ze wzorów
1
1
1
1
(136 − 64) 2 + 4 ⋅ 482 = 160[mm 4 ],
(I xc + I yc ) +
(I xc − I yc ) 2 + 4 ⋅ I 2xcyc = (136 + 64) +
2
2
2
2
1
1
1
1
I2 = (I xc + I yc ) −
(I xc − I yc ) 2 + 4 ⋅ I2xcyc = (136 + 64) −
(136 − 64)2 + 4 ⋅ 482 = 40[mm 4 ].
2
2
2
2
I1 =
Rys.6.1.2
Zadanie 6.2
Dla figury przedstawionej na rysunku 6.2.1 wyznaczyć położenie głównych centralnych osi
bezwładności i określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
Rys.6.2.1
Rozwiązanie
Rozpocząć należy od wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości dla danej figury,
względem przyjętego uprzednio układu odniesienia Oxy. Patrz zadanie 5.4, rys. 5.4.b.
Współrzędne te wynoszą:
xc = -0,52mm;
yc = 1,9mm
Przez środek ciężkości rysujemy układ współrzędnych Cxcyc.
W każdym ze środków ciężkości figur prostych na jakie podzieliliśmy naszą figurę rysujemy
układy współrzędnych x1 y1, x2 y2, x3 y3. Wyliczamy odległości pomiędzy poszczególnymi,
równoległymi osiami, rysunek 6.2.2.
Rys.6.2.2
Liczymy moment bezwładności względem osi xc i yc jako sumę momentów trzech figur
prostych, stosując twierdzenie Steinera.
Ixc = I(x1) + A1 ⋅ 0,12 + I(x2) + A 2 ⋅ 1,232 + I(x3) + A 3 ⋅ 1,12 =
π ⋅ 14
2 ⋅ 43
2 ⋅ 23
2
2
=
+ 8 ⋅ 0,1 +
+ 2 ⋅ 1,23 +
+ 1,57 ⋅ 1,12 = 16,51[mm 4 ]
12
36
8
I yc = I(y1) + A1 ⋅ 0, 482 + I(y2) + A 2 ⋅ 1,19 2 + I(y3) + A 3 ⋅ 0,94 2
W ostatnim wzorze nie znamy I(y3) dla półkola względem osi przechodzącej przez jego środek
ciężkości. Wiemy natomiast, że moment dla półkola względem średnicy jest równy
π ⋅ r4
.
8
Więc z twierdzenia Steinera
π ⋅ 14 π ⋅ 12  4 1 
π
8
=
−
[mm 4 ]
 = −

8
2  3 π
8 9⋅π
2
I
( 3)
y
podstawiając
I yc =
4 ⋅ 23
2 ⋅ 23
π
8
+ 8 ⋅ 0,482 +
+ 2 ⋅ 1,19 2 + −
+ 1,57 ⋅ 0,94 2 = 9,28[mm 4 ]
12
36
8 9⋅π
Moment dewiacji względem osi xcyc
Ixcyc = I(xy1) + A1 (−0,1)(0,48) + I(xy2) + A 2 (1,23)(−1,19) + I(xy3) + A 3 (−1,1)(−0,94) =
= 0 + 8 ⋅ (−0,1)(0,48) + (−
2 2 ⋅ 22
) + 2 ⋅ (1, 23)(−1,19) + 0 + 1,57 ⋅ (−1,1)(−0,94) = −1,91[mm 4 ]
72
Następnie wyznaczamy kąt ϕo jaki należy odmierzyć od osi xc aby znaleźć położenie osi
głównych
tg 2ϕo = −
2 ⋅ I xcyc
I xc − I yc
=
2 ⋅ 1,91
= 0,528
16,51 − 9,28
więc
2ϕo = 27,8o;
ϕo = 13,9o
Aby stwierdzić czy os Imax (1)będzie obrócona względem osi xc o kąt ϕo, czy ϕo + 90o
podstawiamy wyliczone wartości do wzoru transformacyjnego
1
1
(I xc + I yc ) + (Ixc − I yc ) ⋅ cos 2ϕo − I xcyc ⋅ sin 2ϕo =
2
2
16,51 + 9,28 16,51 − 9, 28
=
+
⋅ cos 27,8o + 1,91 ⋅ sin 27,8o = 16,98[mm 4 ]
2
2
Iξ =
widzimy, że wyliczone Iξ>Ixc,
Stwierdzamy zatem, że oś 1 (dla Imax), ustala kąt , ϕo = 13,9. Oś 2 (dla Imin) jest więc
nachylona do dodatniego kierunku osi xc pod kątem ϕo + 90o, (rys. 6.2.2).
Wyliczone Iξ jest oczywiście równe maksymalnemu, centralnemu momentowi bezwładności
figury I1
Główne centralne momenty bezwładności wyliczamy ze wzorów
1
1
1
1
I1 = (I xc + I yc ) +
(I xc − I yc ) 2 + 4 ⋅ I 2xcyc = (16,51 + 9,28) +
(16,51 − 9,28) 2 + 4 ⋅1,912
2
2
2
2
4
I1 = 16,98[mm ],
1
1
1
1
(16,51 − 9,28) 2 + 4 ⋅1,912
I 2 = (I xc + I yc ) −
(I xc − I yc ) 2 + 4 ⋅ I 2xcyc = (16,51 + 9,28) −
2
2
2
2
I 2 = 8,81[mm 4 ].
Zadanie 6.3
Przekrój figury przedstawionej na rysunku 6.3.1 składa się z ceownika znormalizowanego
[ 100 i kątownika 40×40×5. Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i
określić względem nich główne centralne momenty bezwładności.
Rozwiązanie
Z tablic dla znormalizowanych wyrobów walcowanych odczytujemy
Dla ceownika
Pole przekroju poprzecznego; AI = 13,5cm2
Moment bezwładności względem osi poziomej xI; IxI = 206 cm4
Moment bezwładności względem osi pionowej yI; IyI = 29,3 cm4
Rys. 6.3.1
Rys. 6.3.2
Dla kątownika;
Pole przekroju poprzecznego; AII = 3,79 cm2,
Momenty bezwładności względem osi poziome i pionowej IxII i IyII są równe;
IxII = IyII = 5,54 cm4
Momenty bezwładności względem osi głównych, centralnych (osie biegnące przez środek
ciężkości kątownika i nachylone pod kątem –450 – jedna z nich jest osią symetrii przekroju
kątownika)
I1II = 8,75cm4 ;
I2II = 2,34cm4.
Wyznaczenie położenia środka ciężkości figury.
Wyznaczamy współrzędne środka ciężkości względem układu odniesienia mającego początek
w środku ciężkości ceownika rysunek 6.3.2.
Z twierdzenia o momentach statycznych:
xC =
0 + A II ⋅ (−1,55 − 1,17) 3,79(−2,72)
=
− 0,6cm
A I + A II
17,29
yC =
0 + A II ⋅ (5,0 − 1,17) 3,79 ⋅ 3,83
=
= 0,84cm.
A I + A II
17,29
Na rysunku 6.3.2 nanosimy układ współrzędnych centralnych mający początek w punkcie C i
osie poziomą xC i pionową yC.
Wyznaczamy względem tego układu momenty bezwładności figury korzystając z twierdzenia
Steinera.
I xC = I xI + A I ⋅ 0,84 2 + I xII + A II ⋅ (5 − 0,84 − 1,17) 2 =
= 206 + 13,5 ⋅ 0,84 2 + 5,54 + 3,79 ⋅ 2,99 2 = 254,95cm 4
I yC = I yI + A I ⋅ 0,6 2 + I yII + A II ⋅ (1,17 + 1,55 − 0,6) 2 =
= 29,3 + 13,5 ⋅ 0,6 2 + 5,54 + 3,79 ⋅ 2,12 2 = 56,73cm 4
Aby wyznaczyć moment dewiacji względem układu osi C,xC,yC musimy znać moment
dewiacji kątownika względem osi xII,yII. Moment dewiacji ceownika względem osi xI,yI jest
równy zeru bo jedna z osi jest osią symetrii.
Ponieważ dla kątownika znamy główne centralne momenty bezwładności, korzystając z
wzoru transformacyjnego wyliczamy:
I xIIyII =
1
1
(I1II − I 2 II ) ⋅ sin( −90 0 ) = (8,75 − 2,34) ⋅ (−1) = −3, 2cm 4
2
2
a następnie dla całej figury moment dewiacji względem osi xC,yC:
I xCyC = 0 + A I ⋅ 0,84 ⋅ (−0,6) + I xIIyII + A II ⋅ 2,12 ⋅ (−2,99) =
= 13,5 ⋅ 0,84 ⋅ (−0,6) + (−3, 2) + 3,79 ⋅ 2,12 ⋅ (−2,99) = −34cm 4
Kąt o jaki należy obrócić układ aby znaleźć się położeniu głównym:
tg 2α o = −
2 ⋅ I xCyC
I xC − I yC
=
2 ⋅ 34,0
= 0,343
254,95 − 56,73
α o = 9,46 0
Główne centralne momenty bezwładności względem tego układu wynoszą
1
(I xC + I yC ) + 1 (I xC − I yC )2 + 4I 2xCyC =
2
2
1
1
= (254,95 + 56,73) +
(254,95 − 56,73) 2 + 4 ⋅ 34 2 = 260,6cm 4
2
2
1
1
(I xC − I yC )2 + 4I 2xCyC =
I 2 = (I xC + I yC ) −
2
2
1
1
= (254,95 + 56,73) −
(254,95 − 56,73) 2 + 4 ⋅ 34 2 = 51,1cm 4
2
2
I1 =