α β ( , )=0,024 sin 3 40 . y x t x t ⋅ ⋅ + ⋅

Wydział Inżynierii Środowiska (IŚ); kierunek IŚ. Lista nr 7 do kursu Fizyka, r. ak. 2014/15.
Lista zawiera zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
Karta przedmiotu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fis.pdf; zasady zaliczenia:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zcis.pdf;
zasady zaliczenia egzaminu:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/zeis.pdf; tabele wzorów:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/twmis.pdf; ta
lista pod adresem:http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/l2is15.pdf. Studentka/student jest zobowiązana(y) do wydrukowania ww. kartę
przedmiotu, tabelę wzorów, list zadań i przynoszenia tabel i list na zajęcia w portfolio. Lista nr 7 ma na celu zdobycie przez studentów
wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących fal akustycznych. Zadania nie rozwiązane na
zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
43. Monochromatyczna fala akustyczna pada pod kątem α na powierzchnię wody. Dla jakich kątów padania fala ta
nie wnika do wody? Prędkość dźwięku w wodzie c2 =1500 m/s, a w powietrzu c1 = 332 m/s; prawo załamania dla
fal akustycznych c2 ⋅ sin α = c1 ⋅ sin β , gdzie β − kąt załamania. Komentarz: Zaskakujący na pozór wynik, bowiem
powinno być tak, jak w optyce geometrycznej: Fala przechodząca z ośrodka rzadszego do gęstrzego nie powinna
ulegać całkowitemu wewnętrznemu odbiciu!
44. Podaj regułę wyznaczania odległości w kilometrach od miejsca błyskawicy metodą zliczania sekund
upływających od zobaczenia błysku do usłyszenia grzmotu. Załóż, że dźwięk biegnie po linii prostej.
45. Dwóch kibiców piłki nożnej obserwuje mecz i widzi kopnięcie przez piłkarza piłki. Dźwięk uderzonej piłki
dociera do obu z opóźnieniami 0,25 s i 0,14 s. Linie proste poprowadzone od kibiców do piłkarza tworzą kąt
prosty. W jakiej odległości od siebie znajdują się kibice?
41. Umocowana dwustronnie struna skrzypiec o długości 15 cm wydaje ton podstawowy. Prędkość dźwięku w
strunie 250 m/s, a w powietrzu 332 m/s. Obliczyć częstość i długość rozchodzącego się dźwięku w strunie i w
powietrzu.
42. Zamocowana na obu końcach lina ma długość 8.4 m i masę 0,12 kg. Lina została naciągnięta siłą 96 N i
wprawiona w drgania. Wyznacz: (a) prędkość fali w linie; (b) największą możliwą długość fali stojącej i podaj
częstość tej fali.
43. Prędkość dźwięku w powietrzu c = 332 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz jest syrena wozu policyjnego. (a) Wóz porusza się z prędkością 45 m/s. Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem. (b) Za
wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30 m/s, a drugi w przeciwnym kierunku z
prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasażerowie samochodów? (c) Wóz policyjny zbliża się z prędkością
5m/s do pionowej ściany odbijającej dźwięk syreny. Jaką częstotliwość dudnień słyszy policjant? Ws-ka: Należy
pamiętać o tym, że częstotliwość odbieranej fali akustycznej zależy zarówno od prędkości detektora/odbiornika jak i od
źródła/nadajnika względem powietrza i liczona jest ze wzoru Dopplera, który stosujemy posługując się następującym
algorytmem. Jeśli skierujemy wektor Rdetektor→źródło o początku w miejscu położenia detektora i o zwrocie od detektora do
źródła, to częstość odbieranej fali przez odbiorcę określa wzór f detektora/odbiornika = f źródla/nadajnika
c ± vdetektora/odbiornika
; znaki plus
c ± vźródla/nadajnika
wybieramy pod warunkiem, że prędkości mają zwroty zgodne z dodatnim zwrotem wektora Rdetektor→źródło.
Wrocław, 25 II 2014
W. Salejda
Zadania do samodzielnego rozwiązania (siłownia umysłowa)
1. Po naciągniętej strunie biegnie fala poprzeczna y ( x , t ) = 0, 024 ⋅ sin [ 3 ⋅ x + 40 ⋅ t ] . Liniowa gęstość masy tej struny
wynosi 2.2·10-4 kg/m. Oblicz prędkość fali i naprężenie struny.
2. Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI) y ( x, t ) = 0,35 ⋅ sin (10π t − 6π x + π / 4 ) . Ile wynosi prędkość c i jaki jest
kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,1 m? Ile wynosi długość i
częstotliwość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej?
3. Dwie fale biegnące opisują równania (w SI): y1 = 0,3 sin[π(5x−200t)] oraz y2 = 0,3 sin[π(5x−200t)+π/3]. W wyniku ich
nałożenia powstaje fala biegnąca. Wyznaczyć amplitudę, prędkość i długość fali biegnącej.
4. Struna ma długość 1,5 m, masę 8,7 g, a jej naprężenie wynosi 120 N. Zamocowano jej końce i wzbudzono drgania.
Obliczyć: (a) prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych w tej strunie; (b) długość i częstotliwość dwóch fal interferujących
ze sobą i wytwarzających na strunie falę stojącą o: b1) jednej strzałce; b2) dwóch strzałkach. Jakie są długości fal akustycznej,
których źródłem jest ta struna?
8. Wyznaczyć prędkość poprzeczną v = ∂y/∂t oraz przyspieszenie poprzeczne a = ∂2y/∂t2 fragmentów struny w chwili czasu t =
0,2 s w punkcie x = 1,6m struny, w której rozchodzi się fala y(x, t) = 0,12 sin[π(x/8 + 4t)]. Ile wynoszą wartości maksymalne
wyznaczonych wielkości? Dla jakich chwil czasu wielkości v oraz a osiągają w tym punkcie wartości ekstremalne? Czy
spełniona jest relacja a = −ω2y? Ile wynoszą: długość, okres i prędkość fazowa tej fali?
1
9. Akustyczny alarm przeciwwłamaniowy samochodu emituje falę o częstości 10 kHz. Jaka jest częstość dudnień
powstających po nałożeniu się fali alarmu i fali odbitej od intruza, tj. potencjalnego złodzieja, oddalającego się od źródła z
prędkością 3m/s? Prędkość dźwięku 332 m/s.
10. (A) Pocisk leci z prędkością 685 m/s. Wyznaczyć kąt, jaki stożek fali uderzeniowej tworzy z kierunkiem ruchu. (B)
Samolot leci poziomo z prędkością 1,25Ma. Grom dźwiękowy dociera do człowieka stojącego na ziemi po czasie 1min od
momentu przelotu samolotu bezpośrednio nad nim. Na jakiej wysokości leci samolot? Prędkość dźwięku v = 343m/s.
11. Studnia rezonuje przy najniższej częstości 7Hz. Jak głęboka jest ta studnia?
12. Otwarta obustronnie piszczałka organowa A ma częstość podstawową 300 Hz (dla n = 1). Trzecia harmoniczna piszczałki organowej B
(dla n = 3), mającej jeden koniec otwarty, ma taką samą częstość, jak druga harmoniczna piszczałki A. Wyznaczyć długości obu piszczałek.
13. Natężenie fali akustycznej w powietrzu wynosi I = (∆pmax)2/(2ρc), gdzie (∆pmax) ‒ amplituda zmian ciśnienia. Oszacować wartość
(∆pmax) dla dźwięku o częstotliwości 4 kHz i intensywności I = 10−8 W/m2. Jakie ciśnienie wywiera ta fala padając prostopadle na
powierzchnię, która: a) całkowicie pochłania, b) całkowicie odbija dźwięk?
14. Poziom głośności L fali dźwiękowej L = 10 lg(I/I0), gdzie I0 = 10−12W/m2. Wyznaczyć, ile razy większa jest amplituda zmian ciśnienia
dźwięku o poziomie głośności L = 100 dB od amplitudy zmian ciśnienia fali akustycznej L0 = 0? Ile wynosi (∆pmax) dla tego dźwięku, jeśli I
= (∆pmax)2/(2ρc) (patrz zad. 13.)? (B) Poziom głośności źródła dźwięku wzrósł o 30 dB. O jaki czynnik wzrosły jego natężenie oraz
amplituda zmian ciśnienia ośrodka?
15. Fala sinusoidalna o długości 1,56 m biegnie w napiętej linie. Punkty liny przebywają drogę od swego położenia równowagi do
maksymalnego wychylenia (odkształcenia) w czasie 0,24 s. Oblicz okres, częstotliwość i prędkość tej fali.
16. Równanie fali poprzecznej propagującej się wzdłuż naciągniętej długiej struny ma postać (w SI)
y ( x, t ) = 0,04 cos 0,05π ⋅ x + 6π ⋅ t . Wyznacz lub oblicz: amplitudę, długość, częstotliwość, prędkość fazową, kierunek
[
]
rozchodzenia się fali, maksymalną prędkość poprzeczną elementów struny. Jakie jest wychylenie elementów struny o współrzędnej x =
0,038 m w chwili t = 0,37 s?
17. Liniowa gęstość masy struny wynosi 2,2·10-4 kg/m. Po tej strunie biegnie fala (w SI) y ( x, t ) = 0,024sin 3 ⋅ x + 40 ⋅ t .
[
]
Podaj/oblicz prędkość fali i naprężenie struny.
18. Wyznaczyć długości i częstości rezonansowe fal akustycznych w tubie o długości 0,57 cm wypełnionej powietrzem:
a) dwustronnie otwartej, b) jednostronnie zamkniętej.
21. Zamkniętą z obu stron rurę o długości L=3m wypełniono nieznanym gazem, a następnie wytworzono w niej falę stojącą.
Stwierdzono, że czwarta częstość rezonansowa licząc od najniższej (podstawowej pierwszej) wyniosła f3=100 Hz. Jaka jest
prędkość dźwięku w tym gazie?
22. Częstotliwość tonu podstawowego wydawanego przez strunę wynosi f0 = 200 Hz. Jak zmieni się częstotliwość tonu
podstawowego, gdy strunę skrócimy o 1/4 długości?
23. Podwodne okręty Czerwony Październik (CP) i Blue Shark (BS) płyną naprzeciw siebie po tym samym kursie w
nieruchomej wodzie oceanu. Ich prędkości wynoszą: vCP = 50 km/h, vBS = 70 km/h. CP wysyła sygnały sonaru o częstotliwości
BS
1 kHz, których prędkość w wodzie wynosi 5470 m/s. Jaka jest częstotliwość f odb. sygnałów odbieranych przez BS? Jaka jest
CP
CP
częstotliwość f odb. odbieranych na pokładzie CP fal odbitych od BS? Jak mierząc f odb. wyznaczamy (nie znając prędkości
VBS) prędkość BS? Rozwiązanie. Równanie, które pozwala wyznaczyć nieznaną prędkość xBS = vBS ma postać
CP
CP
f odb.
= f nad
CP
CP
c + xBS c + vCP
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c
⋅
→ xBS =
.
CP
CP
c − vCP c − xBS
f nad ⋅ ( c + vCP ) + ( c − vCP ) f odb.
Wniosek: Za pomocą sonaru CP może namierzać cudzy okręt podwodny i zmierzyć jego prędkość. Wyprowadzenie powyższego
wzoru. BS odbiera sygnał (patrz zadanie 151.) o częstotliwości (uwaga, v [m/s] = v [km/h]/3,6)
c + vBS
≃ 1,1048 kHz. Fale te odbijają się od BS, który staje się ruchomym źródłem fal sprężystych dla CP
c − vCP
CP
BS c + vCP
odbieranych z częstością f odb. = f odb.
≃ 1,2226 kHz. Traktując vBS jako niewiadomą, możemy wyznaczyć ją w
c − vBS
BS
CP
f odb.
= f nad
oparciu o dane będące w dyspozycji CP, ponieważ
2
CP
BS
f odb.
= f odb.
CP
CP
f odb.
= f nad
c + vCP
,
c − vBS
BS
CP
f odb.
= f nad
c + vBS c + vCP
,
⋅
c − vCP c − vBS
CP
CP
f odb.
= f nad
c + vBS
,
c − vCP
c + xBS c + vCP
,
⋅
c − vCP c − xBS
CP
CP
= f nad
( c − vCP )( c − xBS ) f odb.
( c + xBS ) ⋅ ( c + vCP ) →
CP
CP
CP
CP
− ( c − vCP ) ⋅ xBS ⋅ f odb.
+ c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
= f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ xBS + f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c →
i kolejno otrzymujemy :
CP
CP
CP
CP
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c = f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ xBS + ( c − vCP ) ⋅ xBS ⋅ f odb.
→
xBS = vBS =
vBS =
CP
CP
c ⋅ ( c − vCP ) ⋅ f odb.
− f nad
⋅ ( c + vCP ) ⋅ c
→ podstawiamy i liczymy
CP
CP
f nad ⋅ ( c + vCP ) + ( c − vCP ) f odb.
( 332m/s ) ⋅  332m/s −
50
50



m/s  ⋅ 1,2226 ⋅ 103Hz − 103Hz ⋅ ( 332m/s ) ⋅  332m/s +
m/s 
3,6
3,6



→
50
50

 

3
3
10 Hz ⋅  ( 332m/s ) +
m/s  +  ( 332m/s ) −
m/s  ⋅ 1,2226 ⋅ 10 Hz
3,6
3,6

 

129122, 318 − 114835,111
xBS = vBS =
≃ 19, 45m/ s = 70 km/ h.
345,8889 + 388,9226
Tak więc kapitan CP zna prędkość BS, którą wyznacza oprogramowanie sonaru na podstawie własnej prędkości oraz
zmierzonych wartości częstotliwości wysyłanych i odbieranych przez sonar.
24. Zagadnienie egzaminacyjne. Scharakteryzuj kinematykę i dynamikę ruchu drgającego danego równaniem
d2 x ( t )
+ ω02 x ( t ) = 0, jeśli znana jest wartość parametru ω0. Jaka jest jednostka miary ω0? Podaj postać
2
dt
zależności x(t), wyjaśnij sens fizyczny użytych symboli, podaj przykłady układów fizycznych, których
ruch drgający opisuje powyższe równanie. Przy jakich warunkach powyższe równanie jest słuszne? Jak
warunków początkowych wyznaczamy amplitudę oraz fazę początkową drgań?
A1) Uzasadnij, że okres drgań opisanych powyższym równaniem wyraża się wzorem T = 2 π ω0 .
A2) Pokaż, że energia kinetyczna ciała o masie m wykonującego drgania opisane powyższym równaniem
jest zachowana.
A3) Uzasadnij stwierdzenie: Jeśli pionowo zwisająca sprężyna wydłuży się ∆x po podwieszeniu do niej
ciała, to okres małych drgań tego ciała na tej sprężynie jest równy okresowi małych drgań wahadła
matematycznego o długości l = ∆x.
B) Wyznaczanie wartości okresów małych drgań.
B1) Do pionowo wiszącej swobodnie sprężyny o współ. sprężystości k1 (jej górny koniec jest zamocowany) podwieszono inną sprężynę o współ. sprężystości k2. Do swobodnego końca dolnej sprężyny
podwieszono ciało o masie M. Wyznacz okres małych drgań podwieszonego ciała w tym układzie.
B2) Cienką jednorodną obręcz o promieniu R zawieszono na poziomym pręcie i wprawiono w małe drganie. Obręcz wykonuje drgania w ten sposób, że jej płaszczyzna jest
prostopadła do pręta. Wyznacz okres tych drgań.
B3) ) Rysunek z lewej strony przedstawia dwie identyczne sprężyny
połączone równolegle, do których podwieszono ciało o masie m. Rysunek
po prawej stronie przedstawia te same sprężyny połączone szeregowo, a
ciało o masie m jest podwieszone do sprężyny niższej. Pokaż, że okres
małych drgań ciała o masie m podwieszonego jak na rysunku z prawej
strony jest dwukrotnie dłuższy od okresu małych drgań tego ciała
podwieszonego na rys. z lewej strony.
3
B4) Wahadło fizyczne o masie m jest podwieszone w punkcie O (Pivot), co
ilustruje rysunek poniżej i jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy CM wynosi
ICM. Uzasadnij, że okres małych drgań tego wahadła względem osi
prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt O dany jest
wzorem T = 2π I CM + md 2 mgd .
B5) Pokaż, że wartość okresu T osiąga minimum dla d min. = I CM m .
C) Wyjaśnij sens fizyczny zjawiska rezonansu mechanicznego.
25. Zagadnienie egzaminacyjne. Podaj definicję fali sprężystej. Jakie
konieczne warunki powinny być spełnione, aby możliwe było obserwowanie fal sprężystych? Jakie
rodzaje prędkości są związane z ruchem falowym? Jak prędkość propagowania się fali zależy od
właściwości mechanicznych ośrodka?
B) W długiej strunie, naciągniętej siłą 200 N propaguje się fala poprzeczna postaci
y ( x , t ) = 10 −4 sin ( 2πt − 2 ⋅ 10 −2 πx ) .
B1) Opisz sens fizyczny użytych w powyższej formule wielkości/wartości.
B2) Wyznacz okres i prędkość fazową tej fali.
B3) Jak zależą od czasu wychylenia z położeń równowagi elementów struny znajdujących się w
odległości 100 m od źródła fali?
B4) Jaka jest gęstość liniowa masy tej struny?
B5) Oblicz maksymalną wartość energii, jaką może pobrać od tej struny odbiornik umieszczony
w odległości 100 m od źródła.
C) Zmierzono zależność okresu T tonu podstawowego
dźwięku wytwarzanego przez naciągniętą i zamocowaną
dwustronnie strunę, od jej długości L. Wyniki pomiarów
ilustruje sąsiedni wykres. Oszacuj w m/s prędkość c fali
akustycznej rozchodzącej się w tej strunie. Jaki powinien
być naciąg struny w każdym z pomiarów, aby
oszacowana wartość prędkości c była wiarygodna?
D) Wzdłuż naciągniętej struny rozchodzi się fala
kosinusoidalna o okresie T = 0.1 s z prędkością c = 40
m/s. Po upływie czasu t1= 10 s od rozpoczęcia drgań
źródła w odległości (62/3) m od niego wychylenie z położenia równowagi elementów ośrodka było
równe 2 cm. Określić w tym samym momencie czasu wychylenie elementów ośrodka znajdujących się
w odległości (73/3) m od źródła.
E) Udowodnij, że fala podłużna u ( x , t ) = A sin ( ωt − kx ) biegnąca w jednorodnym pręcie o gęstości masy
ρ wnosi do fragmentu tego pręta o masie ∆m i rozmiarach liniowych dużo mniejszych od długości tej fali,
energię równą ∆m⋅v2/2, gdzie v jest maksymalną prędkością drgań fragmentu preta o masie ∆m wokół
położenia równowagi.
26. Zagadnienie egzaminacyjne. A) Podaj określenie/definicję fali sprężystej/mechanicznej. Jakie konieczne
warunki muszą być spełnione, aby możliwe było rozchodzenie się fal sprężystych? Jakie rodzaje prędkości są
związane z ruchem falowym? Jak prędkość propagowania się fal sprężystych zależy od właściwości
mechanicznych ośrodka? Dźwięk jest falą podłużną czy poprzeczną?
B) Równanie y ( x , t ) = 10 −4 cos ( πt − πx / 90 ) opisuje w SI falę poprzeczną biegnącą/propagującą się w długiej
strunie, naciągniętej siłą 202,5 N. Opisz sens fizyczny użytych w powyższej formule wielkości/wartości i podaj ich
jednostki miar.
B1) Wyznacz okres i prędkość fazową tej fali. Jaka jest częstotliwość drgań źródła tej fali?
B3) Podaj wzór opisujący zależność od czasu wychyleń z położenia równowagi elementów struny. znajdujących
się w odległości 100 m od źródła fali.
Wrocław, 25 lutego 2015
W. Salejda
4