x - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

Kurs e-learningowy
matematyka 12/1
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich
układów.
I.
Przypomnij sobie:
1. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności.
Ogólnie:
Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem „=”, np.:
2
itp.
log 3 x  4 ; x 4  1  0 ;
2 x  7  x3 ;
4
Nierówność to dwa wyrażenia algebraiczne połączone jednym ze znaków: „<”,
1
„”, „”, „>”, np.: 2,5  4 x 2  7 x ;
x 3  124  14  ; itp.
3x  27 ;
x
2. Co to jest pierwiastek równania oraz zbiór rozwiązań nierówności?
Pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania /rozwiązaniem nierówności z
niewiadomą x nazywamy każdą liczbę, która spełnia to równanie /tę nierówność,
tzn. taką liczbę, która wstawiona w miejsce x zmienia równanie /nierówność w
zdanie prawdziwe.
3. Jakie równania nazywamy oznaczonymi, tożsamościowymi, sprzecznymi?
W zależności od liczby rozwiązań równania dzielimy na:
- oznaczone – gdy jest skończona ilość rozwiązań,
- tożsamościowe - gdy jest nieskończona ilość rozwiązań,
- sprzeczne - gdy brak rozwiązań.
4. Jakie równania /nierówności nazywamy równoważnymi i jak je otrzymujemy?
Równania /nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór
rozwiązań i równe dziedziny.
Równania / nierówności równoważne otrzymujemy między innymi:
- dodając (lub odejmując) do obu stron równania /nierówności to samo
wyrażenie,
- mnożąc (lub dzieląc) obie strony równania /nierówności przez tę samą liczbę
lub wyrażenie różne od zera, pamiętając przy mnożeniu (lub dzieleniu)
nierówności przez liczbę ujemną lub wyrażenie o wartości ujemnej o zmianie
znaku nierówności na przeciwny, tzn. > na <; < na >;  na ;  na .
Równania /nierówności rozwiązujemy przekształcając je kolejno na równania
/nierówności równoważne.
Kurs e-learningowy
matematyka 12/2
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
5. Jakie równania /nierówności nazywamy liniowymi?
Równanie liniowe ma postać ax  b  0 , gdzie a, b  R ( a – współczynnik przy
niewiadomej x; b – wyraz wolny; x – niewiadoma).
Nierówność liniowa ma jedną z postaci: ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 lub
ax  b  0 , gdzie a, b  R .
6. Co to jest układ równań liniowych ?
Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy
układ postaci:
{
a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2
, gdzie a1  b1  0 i a2  b2  0 .
2
2
2
2
Układ równań liniowych może być: oznaczony (gdy ma dokładnie jedno
rozwiązanie); nieoznaczony (gdy ma nieskończoną liczbę rozwiązań); lub
sprzeczny (gdy zbiór rozwiązań jest pusty).
7. Znane Ci metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema
niewiadomymi x i y:
a. metody algebraiczne:
- metoda podstawiania,
- metoda przeciwnych współczynników,
b. metoda graficzna.
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Jeżeli 2  2  y   2  2  x  , to wartość wyrażenia
A. –2,
B. –1,
x
, gdy y  0 , jest równa:
y
1
C.  ,
2
D. 1.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie: 2  2  y   2  2  x 
22 y  22 x
yx
Wykorzystujemy ten związek obliczając wartość wyrażenia
Odpowiedź B.
x y
=
 1 .
y
y
Kurs e-learningowy
matematyka 12/3
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 2.
Zbiorem rozwiązań układu nierówności
A.  ;2 ,
B.  ;1 ,
{
2 x  1  3
jest przedział:
1
x 1
2
C. 2; ,
D.  2;2 .
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy obie nierówności i szukamy części wspólnej obu rozwiązań (bo w układzie
równań /nierówności muszą być spełnione oba warunki):
1
x  1 / 2
2 x  1  3
2
2 x  1 1  3 1
1x  2
x2
2 x  4 / : 2
x  2
x2
Oba warunki jednocześnie spełniają liczby z przedziału  2;2 .
Odpowiedź D.
Przykład 3.
Zosia i Ania kupiły w barze każda po dwie kiełbaski. Zosia poleciła usmażyć tylko jedną i
zapłaciła za dwie 7,50 zł, a Ania poleciła usmażyć dwie i zapłaciła 9 zł. Wynika z tego, że
jedna nieusmażona kiełbaska kosztuje:
A. 1,50 zł,
B. 2,25 zł,
C. 2,75 zł,
D. 3 zł.
Rozwiązanie:
Ponieważ jest to zadanie typu testowego, to możemy przeprowadzić nieskomplikowane
rozumowanie:
1. usmażenie jednej kiełbaski kosztuje 9 - 7,5 = 1,5 zł,
2. jedna kiełbaska usmażona kosztuje 9:2 = 4,5 zł, więc
3. kiełbaska nieusmażona kosztuje 4,5 - 1,5 = 3 zł.
Odpowiedź D.
Jako zadanie otwarte należałoby raczej rozwiązać je np. przy pomocy układu równań:
Wprowadzamy oznaczenia, np.: k – cena jednej kiełbaski; s – cena usmażenia jednej
kiełbaski. Wówczas dla Zosi mamy: 2k+1s = 7,5 a dla Ani: 2k+2s = 9. Otrzymujemy w ten
sposób układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi, który rozwiązujemy
{
2k  s  7,5 /  1
2k  2 s  9
Kurs e-learningowy
matematyka 12/4
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
{
 2k  s  7,5
2k  2 s  9
Dodajemy te równania stronami (czyli stosujemy metodę przeciwnych współczynników –
współczynniki przy niewiadomej k są teraz –2 i 2). Otrzymujemy:
 2k  s  2k  2s  7,5  9
s  1,5
Wstawiamy tę wartość do jednego z równań i obliczamy interesującą nas wartość s, np.:
2k  1,5  7,5
2k  7,5  1,5
2k  6 / : 2
Odpowiedź D.
k  3 , czyli nieusmażona kiełbaska kosztuje 3 zł.
Przykład 4.
Jeśli b biletów zostanie rozdzielonych równo miedzy trzy szkoły, to każda z tych szkół
otrzyma 25 biletów mniej, niż gdyby były one rozdzielone pomiędzy dwie szkoły. Oblicz
liczbę b biletów.
Rozwiązanie:
Jeśli b biletów zostanie rozdzielonych równo miedzy trzy szkoły, to każda z tych szkół
1
otrzyma b biletów. Gdyby były one rozdzielone równo pomiędzy dwie szkoły, to każda z
3
1
1
1
nich otrzymałaby b biletów. Z treści zadania wiemy, że b jest o 25 mniejsze od b .
2
3
2
1
1
Układamy równanie: b +25 = b (aby móc postawić znak równości musimy 25 dodać po
3
2
stronie mniejszego wyrażenia) i rozwiązujemy je:
1
1
b +25 = b /6
3
2
1
1
6  b  6  25  6  b
3
2
2b  150  3b
150  3b  2b
b  150
Odpowiedź: Rozdzielono 150 biletów.
Możemy jeszcze sprawdzić sobie poprawność wyniku: przy podziale między trzy szkoły,
każda z nich otrzymałaby po 150:3 = 50 biletów, a przy podziale między dwie szkoły, każda z
nich otrzymałaby po 150:2 = 75 biletów, czyli o 25 więcej, co zgadza się z treścią zadania.
Kurs e-learningowy
matematyka 12/5
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 5.
Za 5 lat córka będzie 4 razy młodsza od mamy, a za 10 lat mama będzie 3 razy starsza od
córki. Ile lat ma teraz każda z nich?
Rozwiązanie:
Najłatwiej rozwiązać takie zadanie konstruując tabelkę:
Wiek córki
Wiek mamy
Teraz
x
y
Za 5 lat
x+5
y+5
Za 10 lat
x+10
y+10
Następnie tworzymy układ równań (jedno równanie do sytuacji za 5 lat, a drugie – za 10 lat):
{
{
{
{
4   x  5  y  5
3  x  10  y  10
i rozwiązujemy go:
4 x  20  y  5
3x  30  y  10
4 x  y  5  20
3x  y  10  30 /  1
4 x  y  15
 3x  y  20
4 x  y  3x  y  15  20
x5
 3  5  y  20
 15  y  20
y  20  15
y  35
Odpowiedź: Obecnie córka ma 5 lat a jej matka 35 lat.
Rzeczywiście:
za 5 lat córka będzie w wieku 10 lat, czyli będzie 4 razy młodsza od matki (40 lat);
natomiast za 10 lat matka (45 lat) będzie 3 razy starsza od córki (15 lat).
Kurs e-learningowy
matematyka 12/6
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Jeżeli liczbę a zmniejszymy o 4, to otrzymamy
1
A. 3 ,
5
B. 5
1
,
3
1
tej liczby. Liczba a jest równa:
4
1
C. 1 ,
3
D. 4 .
C. -13,
D. 20.
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeżeli 20  x  7 , to x nie może być równe:
A. 13,
B. 27,
Zadanie 3. (1 pkt)
Każdemu z układów równań:
{
1.
x y 3
{
2.
2x  y  4
{
3.
6x  y  3
3x  3 y  12
x y  2
12 x  2 y  6
przyporządkuj odpowiadającą mu interpretację geometryczną przedstawioną na rysunku:
Odczytaj z wykresów liczbę rozwiązań układu równań i podaj rozwiązanie układu
oznaczonego.
Zadanie 4. (2 pkt)
Michał ma tyle samo braci co i sióstr, a jego siostra ma dwa razy więcej braci niż sióstr. Ile
dzieci jest w tej rodzinie?
Uwaga: Postaraj się rozwiązać to zadanie przy pomocy równania lub układu równań.